高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第38练双曲线(原卷版+解析)

第38练双曲线一、课本变式练1.（人A选择性必修一P127习题3.2T4（3）变式）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（

）A． B． C． D．2.（人A选择性必修一P127习题3.2T3变式）已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．3.（人A选择性必修一P127习题3.2T3变式）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（

）A． B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．4.（人A选择性必修一P124练习4变式）已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是二、考点分类练(一)双曲线的定义与方程5.设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．6.（2023届安徽省宣城中学高三模拟）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（

）A． B．C． D．7.（2023届贵州省贵阳市高三上学期开学联合考试）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，．若的最小值是9，则双曲线的离心率是_____．(二)双曲线的离心率8．（2022届江西省宜春市丰城中学高三模拟）已知点、为双曲线的渐近线上关于原点对称的两点，为双曲线的焦点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．29.（多选）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（

）A． B． C． D．210.（2022届浙江省金太阳高三下学期5月仿真考试）已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________．(三)双曲线的渐近线11.（2022届河南省睢县高级中学高三上学期12月月考）已知双曲线的上焦点为，M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆相切于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．12.（2023届广东省六校高三上学期第一次联考）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．为定值 D．的取值范围为13.已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．(四)定点定值及范围问题14.（2023届广东省广州市高三上学期8月阶段测试）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.(1)求双曲线的方程；(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.15.（2022届山东省临沂市高三下学期三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．(1)求的方程；(2)若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．16.（2022届陕西省渭南市临渭区高三下学期第二次质量检测）已知椭圆：的离心率为，其短轴长与双曲线的实半轴长相等.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与曲线：相切，与椭圆交于，两点，求的取值范围.三、最新模拟练17.（2023届顶尖计划河南省高三上学期第一次考试）设双曲线的左、右焦点分别为点，过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且直线的斜率为3，则的离心率为（

）A． B． C． D．18.（2022届吉林省吉林市高三第四次调研）已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（

）A．且 B． C．为定值 D．的最小值为219.（多选）（2023届重庆市重庆十八中两江实验中学校高三上学期第一次适应性强化训练）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（

）A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B．该双曲线的离心率为C．若和在双曲线的同一支上，则D．若和分别在双曲线的两支上，则20.（2022届四川省内江市高三第三次模拟）已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.21.（2023届湖南省三湘创新发展联合高三上学期起点调研）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.(1)求C的方程；(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.22.（2022届福建省晋江市第一中学高三上学期第三次阶段考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．四、高考真题练23.（多选）(2022高考全国卷乙)双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C交于M,N两点,且,则C的离心率为（）A. B. C. D.24.(2022高考全国卷甲)若双曲线的渐近线与圆相切,则_________．25.（2022新高考全国卷2）已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.26.（2022新高考全国卷1）已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若,求的面积．五、综合提升练27.（2022河南省信阳市高三下学期第二次质量检测）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为A． B． C． D．28.（多选）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（

）A．B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆C．该双曲线的共轭双曲线的方程为D．过的弦长为5的直线有且只有1条29.已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．30.已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．第38练双曲线一、课本变式练1.（人A选择性必修一P127习题3.2T4（3）变式）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线离心率为，得，所以所以，所以双曲线方程为，将代入得.所以双曲线的方程为.故选D2.（人A选择性必修一P127习题3.2T3变式）已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得，，由，且，得故C的渐近线方程为故选A3.（人A选择性必修一P127习题3.2T3变式）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（

）A． B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．【答案】CD【解析】双曲线：焦点在轴上，，，对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误对于C选项，，故C正确对于D选项，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，故D正确故选CD4.（人A选择性必修一P124练习4变式）已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是【答案】【解析】由题意得：双曲线的一个顶点是，焦点在轴上，设双曲线方程为，渐近线方程为，，，该双曲线的标准方程为

．二、考点分类练(一)双曲线的定义与方程5.设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选B.6.（2023届安徽省宣城中学高三模拟）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知焦距为4，所以，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以，即，由解得，所以双曲线方程为：，故选C.7.（2023届贵州省贵阳市高三上学期开学联合考试）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，．若的最小值是9，则双曲线的离心率是_____．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，双曲线的，则，可得，，由双曲线的定义可得，可得，则，当，，共线时，取得等号．，则整理得：解得或，由于，则，故不符合所以，，则双曲线的离心率为．(二)双曲线的离心率8．（2022届江西省宜春市丰城中学高三模拟）已知点、为双曲线的渐近线上关于原点对称的两点，为双曲线的焦点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因为，所以，又因为点、关于原点对称，所以，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选D.9.（多选）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC【解析】若曲线是椭圆则其离心率为；若曲线是双曲线则其离心率为；故选AC10.（2022届浙江省金太阳高三下学期5月仿真考试）已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________．【答案】2【解析】设，且E的焦距为4，则，因为点A是圆上的一个动点，所以．因为B是的中点，所以，即，所以，所以B点在圆上，同时B在E的一条渐近线上．设E的渐近线：，所以直线与圆有公共点，即，又．(三)双曲线的渐近线11.（2022届河南省睢县高级中学高三上学期12月月考）已知双曲线的上焦点为，M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆相切于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，则该圆的圆心坐标为，半径为设切点，可知，则，解得，，由，得，得：代入双曲线，整理得：，双曲线的渐近线方程为

故选D12.（2023届广东省六校高三上学期第一次联考）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．为定值 D．的取值范围为【答案】BCD【解析】设，则，因为，，故，依题意有，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，离心率，故选项A错误，选项B正确；因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，所以，故C正确；设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，因为P在x轴上方，则，或，函数在和上单调递增，所以，故D正确.故选BCD.13.已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】【解析】由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，联立方程，解得点的坐标为，有，又由直线的斜率为，可得，有，故双曲线的渐近线方程为．(四)定点定值及范围问题14.（2023届广东省广州市高三上学期8月阶段测试）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.(1)求双曲线的方程；(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设､，线段AM､AN的中点分别为､，由已知，得；两式相减，得，即①根据中点坐标及斜率公式，得，，，.代入①，得②同理，得③，②③相乘，得.∵，，∴④由，与④联立，得，，双曲线的方程为：.（2）①当时，设，，，，由AM､AN互相垂直，得，由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M､N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.②当不成立时，设直线，､代入得，且∵∴，即，解得：或.当时，过点，与条件不符，舍去.∴，，过定点∴AP中点，由于（D为垂足），故.综上所述，存在定点，使得为定值.15.（2022届山东省临沂市高三下学期三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．(1)求的方程；(2)若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．【解析】(1)易知点、、，，，所以，，解得，，则，所以，双曲线的方程为.(2)分以下两种情况讨论：①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，设点、，联立可得，则，可得，则，不妨点、分别为直线与直线、的交点，联立可得，联立可得，此时，.综上所述，点与点的横坐标之积为定值.16.（2022届陕西省渭南市临渭区高三下学期第二次质量检测）已知椭圆：的离心率为，其短轴长与双曲线的实半轴长相等.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与曲线：相切，与椭圆交于，两点，求的取值范围.【解析】(1)双曲线的实半轴长为2，则，又椭圆的离心率，解得，所以椭圆的方程为.(2)由（1）知，曲线：为圆，与圆相切的直线斜率不存在时，直线：，由解得：，则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由消去并整理得：，有，即，，，又直线与圆：相切，有，即，显然，则，于是得，令，则，而，即，因此，，所以的取值范围为.三、最新模拟练17.（2023届顶尖计划河南省高三上学期第一次考试）设双曲线的左、右焦点分别为点，过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且直线的斜率为3，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得直线的方程为，直线的方程为，所以，解得，即，将代入双曲线可得即，所以，因为所以故选B18.（2022届吉林省吉林市高三第四次调研）已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（

）A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2【答案】D【解析】，，，，则选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确；选项B，，所以该选项正确；选项C，，∴，∴，所以该选项正确；选项D，因为，所以，故该选项错误；故选D.19.（多选）（2023届重庆市重庆十八中两江实验中学校高三上学期第一次适应性强化训练）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（

）A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B．该双曲线的离心率为C．若和在双曲线的同一支上，则D．若和分别在双曲线的两支上，则【答案】BC【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，则，可得，且有，无解，A错；对于B选项，，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，，，，.若和在双曲线的同一支上，则，可得，则，C对；若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，，可得，则，若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.故选BC.20.（2022届四川省内江市高三第三次模拟）已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【答案】【解析】若，，且，则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，∴，，∴双曲线方程为，其渐近线方程为，则曲线上存在点满足，等价于与双曲线相交，∴．21.（2023届湖南省三湘创新发展联合高三上学期起点调研）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.(1)求C的方程；(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，所以.又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.设，，则，.设，（），则得直线AM的方程为，直线BN的方程为，两个方程相减得，①因为，把上式代入①得：，所以，因此直线AM与BN的交点在直线上.22.（2022届福建省晋江市第一中学高三上学期第三次阶段考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．【解析】（1）由题意．且．联立解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，过点的动直线为：．设，，联立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化简得，所以，．化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上．综上，，，或者，．四、高考真题练23.（多选）(2022高考全国卷乙)双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C交于M,N两点,且,则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依题意不妨设双曲线焦点在轴,设过作圆的切线切点为,若分别在左右支,因为,且,所以在双曲线的右支,又,,,设,,在中,有,故即,所以,而,,,故,代入整理得到,即,所以双曲线的离心率若均在左支上,同理有,其中为钝角,故,故即,代入,,,整理得到：,故,故,故选AC.24.(2022高考全国卷甲)若双曲线的渐近线与圆相切,则_________．【答案】【解析】双曲线的渐近线为,即,不妨取,圆,即,所以圆心为,半径,依题意圆心到渐近线的距离,解得或（舍去）．25.（2022新高考全国卷2）已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】（1）设,∵C的右焦点为,∴,即,∵C的渐近线方程为,∴,即,由得,,∴C的方程为.（2）由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,从而,与已知不符；总之,直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上,等价于；两渐近线方程合并为,联立消去y并化简整理得,设,线段中点,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：,,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中,得,解得,同理得,∴∴,∴条件②等价于,综上所述：条件①在上,等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得,∴③成立；选①③推②：由①③解得,,∴,∴②成立；选②③推①：由②③解得：,,∴,∴,∴①成立.26.（2022新高考全国卷1）已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若,求的面积．【解析】（1）因为点在双曲线上,所以,解得,所以双曲线C的方程为,设,易知直线l的斜率存在,设,由得,,所以,,．由得,即,即,所以,化简得,,即,所以或,当时,直线过点,与题意不符,舍去,故．（2）不妨设直线的倾斜角为,因为,所以,由（1）知,,当均在双曲线左支时,,所以,即,解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去；当均在双曲线右支时,因为,所以,即,即,解得（负值舍去）,于是,直线,直线,联立可得,,因