人教A版（2019）必修第二册10.3频率与概率(精讲)(原卷版+解析)

10.3频率与概率（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一频率与概率概念的辨析【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（

）个①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．概率是随机的，在试验前不能确定2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（

）A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（

）A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（

）A．① B．② C．③ D．④考点二频率与概率的计算【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：10

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11那么频率为0.4的范围是（

）A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（

）A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中【一隅三反】1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554490131352017191男婴数2716489968128590男婴出生频率________________（2）这一地区男婴出生的概率约是______.3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？考点三随机模拟【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192

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431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.52．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（

）A． B． C． D．3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：顾客年龄岁20岁以下70岁及以上手机支付人数3121491320其他支付方式人数0021131121从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（

）A． B． C． D．4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：①某厂产品的次品率为；②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．考点四综合运用【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【一隅三反】1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是()A．游戏1 B．游戏1和游戏3C．游戏2 D．游戏32.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．3．（2022·高一课时练习）某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．满意不满意男顾客5010女顾客5030(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．(2)估计顾客对该商场满意的概率．(3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．10.3频率与概率（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一频率与概率概念的辨析【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（

）个①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.综上所述，真命题个数为个.故选：A.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】A【解析】A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确.B选项，频率与实验次数有关，B选项错误.C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误.D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误.故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（

）A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是【答案】D【解析】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.故选：D3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（

）A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确【答案】C【解析】选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%，不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选：C.4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.故选：ACD.考点二频率与概率的计算【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：10

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11那么频率为0.4的范围是（

）A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5【答案】C【解析】5.5~7.5的频率为，7.5~9.5的频率为，9.5~11.5的频率为，11.5~13.5的频率为，所以C选项正确.故选：C【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（

）A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中【答案】A【解析】由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误，投篮10次或100次相当于做10次或100次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误；故选：A【一隅三反】1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.【答案】【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面向上，要么反面向上，因此第999次出现正面朝上的概率是，故答案为：2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554490131352017191男婴数2716489968128590男婴出生频率________________（2）这一地区男婴出生的概率约是______.【答案】

0.49

0.54

0.50

0.50

0.50【解析】（1）根据得：1年内男婴出生频率为；2年内男婴出生频率为；3年内男婴出生频率为；4年内男婴出生频率为；（2）根据频率估计概率，频率的稳定值为，所以，这一地区男婴出生的概率约是.故答案为：；；；；.3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定【解析】（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.（2）击中靶心的次数大约为.（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.（4）由概率的意义知，不一定.考点三随机模拟【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192

907

966

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393

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431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【答案】D【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为故选：D【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【解析】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：569,989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.2．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：116,812,730,452,125,217,109,361,284,147,318,027,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，故选：A.3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：顾客年龄岁20岁以下70岁及以上手机支付人数3121491320其他支付方式人数0021131121从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．故选：A.4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：①某厂产品的次品率为；②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．【答案】①答案见解析；②答案见解析．【解析①“某厂产品的次品率为”是指任取一件产品为次品的可能性为，即若从该产品中任取件产品，其中可能有件次品，而不是一定有件次品；②“服用某种药物治愈某种疾病的概率为”是一个随机事件，概率为说明这种药治愈此种疾病的可能性是，但不是表示其一定能治愈，只是治愈的可能性较大．考点四综合运用【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案】(1)应选方案B,猜“不是4的整数倍数”;(2)应当选择方案A;(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”【解析】(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.【一隅三反】1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是()A．游戏1 B．游戏1和游戏3C．游戏2 D．游戏3【答案】D【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq\f(1,3)，游戏是不公平的．故选D.2.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机