2021-2022学年江苏省南京市秦淮区五校联考九年级(上)期中数学试卷-附答案详解

第=page22页，共=sectionpages22页第=page11页，共=sectionpages11页2021-2022学年江苏省南京市秦淮区五校联考九年级（上）期中数学试卷下列方程是一元二次方程的是A. B. C. D.用配方法解方程时，配方后所得的方程A. B. C. D.如果一个多边形的每个内角都是，那么这个多边形的边数是A. B. C. D.如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，切点为，若大圆的半径是，小圆的半径是，则的长为A.

B.

C.

D.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果销售这批衬衫每天盈利元，设衬衫单价降了元，根据题意，可列方程A. B.

C. D.如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为A.

B.

C.

D.方程的解是______．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：型号数量双鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是______填“平均数”、“众数”或“中位数”若一个正方形的外接圆的半径为，则这个正方形的边长是______．如图，五边形是正五边形，过点作的垂线交于点，则______

设，是关于的方程的两个根，且，则______．将圆锥的侧面沿一条母线剪开并展平，可以得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长，则扇形的圆心角的度数是______超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩分如果将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按：：的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是______分．如图，点是的外心，，，垂足分别为、，点、分别是、的中点，连接，若，则______．

百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形如图，以下结论：

；

若，，则；

若，则；

存在凹四边形，有，．

其中所有正确结论的序号是______．如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则______

解方程：．

解方程．

阅读解方程的途径．

方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想--转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．

请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．

求方程的解．

某校开展了一次数学竞赛竞赛成绩为百分制，并随机抽取了名学生的竞赛成绩本次竞赛没有满分，经过整理数据得到以下信息：

信息一：名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组每组数据含前端点值，不含后端点值．

信息二：第三组的成绩单位：分为：

根据信息解答下列问题：

补全第二组频数分布直方图直接在图中补全；

第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______分；

若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的人数．

如图，的弦、相交于点，且求证．

已知关于的方程为常数．

求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；

若方程有一个根是，求的值．

如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，请用两种方法求的度数．

请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．用虚线表示画图过程，实线表示画图结果

如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的一条直径；

如图，，是中的两条弦，是上一点，，在图中画一个含有角的直角三角形．

如图，是的直径，点、在上，，过点作，垂足为，交的延长线于点．

求证：直线是的切线；

若，，则半径长为______．

年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是元，每个“嫦娥五号”模型的售价是元，该店在月份售出“天问一号”模型个，“嫦娥五号”模型个．该店决定从月日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，

月份，每个“天问一号”模型的售价与月份相同，销量比月份增加；每个“嫦娥五号”模型的售价在月份的基础上降价，销量比月份增加．

用含有的代数式填表不需化简：月份销量销量的增长率月份销量“天问一号”模型______“嫦娥五号”模型____________据统计，该店在月份的销售总额比月份的销售总额增加，求的值．

在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：

这样的点唯一吗？

点的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上点、除外，小华同学画出了符合要求的一条圆弧如图．

小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．该弧所在圆的半径长为______；面积的最大值为______；

经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图所示的弓形内部，我们记为，请你利用图证明．

请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动点可以与点、重合，发现使得的位置有两个，则的取值范围为______．

答案和解析1.【答案】

【解析】解：是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.是分式方程，故本选项符合题意；

D.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：．

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

2.【答案】

【解析】解：，

，

故选：．

根据配方法即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

3.【答案】

【解析】解：一个多边形的每个内角都是，

这个多边形的每个外角都是，

这个多边形的边数．

故选：．

先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数．

本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．

4.【答案】

【解析】解：连接、，如图，

为小圆的切线，

，

，

在中，，，

，

．

故选：．

连接、，如图，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．

5.【答案】

【解析】解：设每件应降价元，根据题意，

得．

故选：．

由题意，可设衬衫的单价应下降元．则每天可售出件，每件盈利元．再根据相等关系：每天的获利每天售出的件数每件的盈利；列方程即可．

考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利每天售出的件数每件的盈利；是解答本题的关键，注意判断所求的解是否符合题意．

6.【答案】

【解析】解：，

点在以为直径的上运动，运动路径为，连接，

，，

，

，

的长为，

故选：．

由，得点在以为直径的上运动，运动路径为，连接，代入弧长公式即可．

本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点在以为直径的上运动是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，

直接开平方得，，

故答案为．

利用直接开平方法求解即可．

本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．

用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．

用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

8.【答案】众数

【解析】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．

故答案为：众数．

众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．

本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

9.【答案】

【解析】解：如图所示：

四边形是正方形，

，，

是的直径，是等腰直角三角形，

，，

故答案为：．

由正方形的性质得，，再由圆周角定理得是的直径，则是等腰直角三角形，即可解决问题．

此题主要考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和圆周角定理是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：五边形是正五边形，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

利用多边形的内角和定理可得，由，可得的度数，利用三角形的内角和定理可得，易得结果．

本题主要考查了多边形的内角与外角，解答此题的关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．

11.【答案】

【解析】解：根据题意，知，则，

将其代入关于的方程，得．

解得．

故答案是：．

根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

12.【答案】

【解析】解：设扇形的圆心角的度数是．

根据题意得，

解得．

故答案为．

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

13.【答案】

【解析】解：，

分．

则该应聘者的总成绩是分．

故答案为：．

根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．

此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：连接，如图，

点是的外心，

是三边垂直平分线的交点，

，，

为的中点，为的中点，

是的中位线，

．

点、分别是、的中点，

是的中位线．

．

故答案为：．

连接，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到为的中点，为的中点，利用三角形的中位线定理即可求得结论．

本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：连接并延长至点，如图所示：

为的外角，

，

为的外角，

，

，

故正确；

连接，，如图所示：

在和中，

，

≌．

，

又，

为等腰三角形，

，

故正确；

若，由可得，

不能得出，

故不正确；

连接，假设存在凹四边形，有，，

则在和中，

，

≌．

，

又，

故不正确；

故答案为：．

连接并延长至点，由三角形外角的性质即可得出；

连接，，证明≌，由等腰三角形三线合一即可得出；

若，由可得，不能得出；

连接，证明≌进行判断即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质、凹四边形的定义、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，作点关于、的对称点、，连接、分别交、于点、，连接、，则此时的周长最小，

，，

，

，

点关于、的对称点为、，

，，

，，

，

，

故答案为：．

要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点关于、的对称点、，由，得出，继而得出，由得出得出，，进一步得出，即可得出答案．

本题考查了轴对称最短路线问题，根据已知得出、的位置是解题的关键．

17.【答案】解：，，；

；

，

，．

【解析】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．

公式法的步骤：化方程为一般形式；找出，，；求；代入公式．

18.【答案】解：，

，

，

或，

，．

【解析】先把方程变形为，，再利用因式分解法解方程即可．

本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

19.【答案】解：，

．

即或．

，．

故答案为：，；

两边平方，得．

整理，得．

．

，．

经检验，是增根，舍去．

所以原方程的解为．

【解析】利用因式分解法求出一元二次方程的两个根即可；

通过方程两边平方，把无理方程转化为整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可．

本题考查了高次方程和无理方程，掌握转化的思想和一元二次方程的解法是解决本题的关键．

20.【答案】

【解析】解：人，补全频数分布直方图如下：

第三组数据中出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，

将抽取的名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，因此中位数是分，

故答案为：，；

人，

答：该校名学生中成绩不低于分的大约人．

求出第二组的频数即可补全频数分布直方图；

根据众数、中位数的意义进行计算即可；

求出样本中学生成绩不低于分的人数所占的百分比，估计总体中成绩不低于分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数即可．

本题考查频数分布直方图，众数、中位数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的关键．

21.【答案】证明：连接．

，

，即，

，

．

【解析】连接，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．

本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

22.【答案】证明：

，

即，

不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；

解：方程有一个根是，

，

，

．

【解析】先计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；

把代入原方程得到，求得代入代数式即可得到结论．

本题主要考查根的判别式，计算出其判别式大于是解题的关键．

23.【答案】解：方法一：、分别是的切线，、为切点，

，，

，

，

，

，

；

方法二：连接，如图，

、分别是的切线，、为切点，

，，

，

，

，

，

，，

．

【解析】方法一：根据切线的性质和切线长定理得到，，则，于是可计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求的度数；

方法二：连接，如图，根据切线的性质得到，再计算出，然后根据等角的补角相等得到的度数．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．

24.【答案】解：如图，线段即为所求；

如图，即为所求．

【解析】利用网格即可画出这个圆的一条直径；

根据直径所对圆周角是直角，同弧所对圆周角相等即可画一个含有角的直角三角形．

本题考查作图应用与设计，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】；

在中，，，

，

在中，，

，

．

则半径长为．

故答案为：．

【解析】解：证明：连接，．

，

，

，

．

在中，，

，

，

，

，

即，

又点在上，

直线是的切线．

连接，，由，得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，推出，于是得到结论；

设的半径为，根据度角所对直角边等于斜边一半即可得到结论．

本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】

【解析】解