新定义型几何图形问题（解析版） -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题09新定义型几何图形问题

【专题训练】

一、解答题

1.(2020•河南信阳市•八年级期末)如图1,我们把对•角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是.

(2)性质探究：如图2,已知四边形A6CD是垂美四边形，试探究其两组对边A&CD与BC,之间的数量关系，并写出

证明过程.

(3)问题解决：如图3,分别以mAACS的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形A8DE,连接CE,BG,

GE,CE交A6于点M,已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】

(I)菱形，正方形.

(2)AD^B^A^+CI^.

证明：连接AC,BD,设其交点为E.

图2

•••四边形48co是垂美四边形,

：.AC±BD,

即N4£D=ZAEB=£BECMCED=90\

由勾股定理，得Af^+BGM^+D^+B^+CE2,AB'CgAE+BP+CR+DE2,

」.ADMCJA¥+CD2.

(3)连接CG,BE.

图3

•••ZC1G=ZBAE=90°,

ZCAG+zBAC=Z.BAE+Z.BAC,

即NGAB=ZCAE.

於△

在^GABfllACAE中，AG=AC,ZGAB=，CAE,AB=AEt△GACAE.

ZABG=CAEC.

又・•.NAEC+ZAME=90°,

ZABG+NAME=90°.

又•「ZBMC=ZAME,

zABG+Z.8MC=90°.

CE1BG,

四边形CG£8是垂美四边形.

由（2）,得CG'BE^CBlGEL

VAC=4,AB=5,

由勾股定理，得CB2=9,C&=32,8守=50,

G^CCr+B^-CB2^.

GE=T73.

【点睛】

本题主要考查了四边形综合应用，准确利用性质是解题的关键.

2.(2020.洪泽外国语中学八年级月考)如果三角形的两个内知这与万满足a-*=90。，那么我们称这样的三角形为“准互余三

角形

(1)若AABC是“准互余三角形"，ZA>90%N8=20。，求NC的度数：

(2)如图①，在^AA8c中，zB4C=90\AB=4,BC=5,点。是SC延长线上一点.若△48。是“准互余三角形”，求

8的长；

(3)如图②，在四边形A5CD中，AC,3D是对角线，AC=4,CD=5,ZBAC=90°,1ACD=2z.ABC,且△ACD是“准

互余三角形”，求80的长.

【答案】

解：（1）;△4BC是“准互余三角形“，ZA>90°,Z5=20%

若NAW8=90。，则NA=110。，

/.zC=180°-110o-20o=50%

若NA-NC=90°,

.ZA+NB+ZC=180°,

zC=35。：

故zC=50。或35・；

(2).N助。=90。，48=4,BC=5,AC=7BC2-AB2V25-16=3>

「△ABO是“准互余三角形”，N84D-N8=90。，或N840-NADZ?=90。，

当NBAD-zADB=90a,/.ZBAC+ZCAD-Z,08=90°,zCAD=ZADB,

•.AC=CO=3;

当N加O-N6=90°,..NBAC+NCAD-NBngO。，

CDADAC

ZAZ)C=NBDA,：.△ADC-△BDA,

CDAD345

——=-----------=—,CD=一；

ADCD+547

(3)如图，符AAEC沿BC翻折得到AE8C,

CE=AC=4,zBCA=£BCE,ZCBA=Z.CUE,zE=ZBAC=90°,

：.zABE+z.ACE=180°,/Z4c£>=2/ABC=ZABE,

.,.NACD+NACE=180。，.•.点O,点C,点E三点共线，

.Z5CD=ZACD+ZACB=2AA8C+NAC6=90°+NABC,

..ZBCD-ZC8£>=90。，BCD是"准互余三角形"，,ZBCD-ZCDB=9C,

900+ZABC-ZCDB=90°,/.ZCDB=NABC=Z.EBC,

CEBE4BE

又N£=/E,△CEB-△BED,；.~BE~~ED即——=——BE=6,

BE9

BD=JBE?+DE?=736+81=3旧

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解"准互余三角形”的定义并能运

用是本题的关键.

3.（2020・湖南怀化市•中考真题）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

（1）下面四边形是垂等四边形的是（填序号）

①平行四i力形：②矩形：③菱形：④正方形

（2）图形判定：如图1,在四边形ABCZ）中，ADIIBC，ACIBD^过点。作BO垂线交sc的延长线于点七，且

/DBC=45。，证明：四边形A3CO是垂等四边形.

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在图2中，面积为24的垂等四边形

A3CD内接于€）0中，ZBCD=60°.求。。的半径.

【答案】

（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是：②矩形对角线相等但不垂直：③菱形的对角线互相垂直但

不相等：④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；

⑵AC1BD.ED1.BD

ACWDE,

又ADHBC.

四边形AOEC是平行四边形，

AC=DE,

又NDBC=45。，

△以犯是等腰直角三角形，

BD=DE,

BD=AC,

一•四边形A8CD是垂等四边形.

(3)如图，过点。作OE_L3O,

-------

图2

---四边形ABC。是垂等四边形，

AC=BD.

又•一垂等四边形的面积是24,,根据垂等四边形的面积计算方法得:

AC=BD=46,

又ZBCD=60°

ZDOE=60°.

设半径为「，根据垂径定理可得:

在△ODE中，OD=r,DE=?6，

DE2囱，

r=_______——4

sin600由,

~2

口。的半径为4.

【点睛】

本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键.

4.（2020•内蒙古通辽市•九年级学业考试）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

⑴概念理解：如图2,在四边形ABC。中，A8=AD,C8=CZ>,问四边形A5CZ）是垂美四边形吗?请说明理由;

⑵性质探究：如图1,四边形48co的对角线4C,3。交于点0，ACVBD.

试证明：AB1+CD1=AD2+BC2^

⑶解快问题：如图3,分别以RtNiACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形，CFG和正方形A8OE，连结

CE,8G,GE.已知NC4B=30°,CB=1,求GE的长.

图1图2图3

【答案】

解：（1）是

理由：・.・4）=4?，

A在8。的乖H平分线上.

CD=CB

.­.。在80的垂直平分线上.

AC垂直平分80.

四边形ABCD为垂美四边形.

(2)如图2,连接4。和6£),

vACABD,

AH2=AO2+BO2•

DC2=CO2^CO2^

AD2=AO2+DO2

BC2=BO2+CO2

AB2+DC2=AO2+BO2+CO2+DO2

BC2+AD2=BO2+CO2+AO2+DO2

AB2+DC2=BC2+AD2

(3)连接CG、BE,

•/ZCAG=ZB4£=90%

ZC4G+Z84C=N84E+NBAC,即NGAB=4CAE,

在4648和4CAE1中,

AG=AC

，NGAB=乙CAE.

AB=AE

：.△GAB^△CAE(SAS),

：.ZABG=NAEC,又NAEC+ZAME=90°,

zA8G+NAME=90°,即CELBG,

四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG+BE=CB0G*

.ZCAB=30°,CB=l,

・•.AC=7J,48=2,CG=娓,BE=2y/2'

GE^CC^+BR-CBjg,

GE=V13.

图3

【点晴】

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活

运用勾股定理是解题的关犍.

5.（2019•河南九年级其他模拟）若4ABC绕点、A逆时针旋转a后，与^ADE构成位似图形，则我们称4AB*AAQE互为"旋

转位似图形

D

图①图②

(1)知识理解：

如图1,△A8C与AAOE互为“旋转位似图形”.

①若Q=25。，N0=100。，ZC=28%MzBAE=；

②若4D=6,DE=7,AB=4,则8C=

(2)知识运用:

如图2,在四边形A8co中，NAOC=90。，AE_L8。于点£z.DAC=£DBC,求证：△4C。与△A8E互为“旋转位似图形”.

(3)拓展提高：

如图3,AABG为等边三角形，点C为4G的中点，点厂是A8边上的一点，点。为C尸延长线上的一点，点E在线段C尸

DE

上，且△A8O与AACE互为“旋转位似图形”.若A8=6,AD=4,求——的值.

CE

【答案】

(I)©V△ABC和^ADE互为“旋转位似图形”，

△ABC^△ADE,

/.ZD=Z8=100。，

又a=25°,N£=28"»

zBAE=m0-100°-25°-28°=27°：

②:&ABC-△ADE,

BCAB

~DE~^D

.40=6,DE=1,48=4,

BC_4

••,

76

故答案为：27。：一；

3

(2)-.1ZD0A=ZCOB,ZDAC=ZDBC,

△DOAsACOB,

AODOAOBO

-----,即Qi-------=------

~B0CODOCO

又.../£)"=/408,

△AOBs△DOC,

：.ZDC4=ZEBA,

又「NAOC=90°,AELBD,

•.NAOC=NAEB=90。，

△ABE^&ACD,

/.zDAC=ZEAB,

1•.△AEB绕点A逆时针旋转NDAE的度数后与△ADC构成位似图形,

△AC。和互为"旋转位似图形”：

11

(3)AC=——AG=—AB=3,

22

ECACAE_1

由题意得

:~BD~~AB~~AD~2

---40=4,

AE=2,

,：zDAE=z.FAC=60°,

1

cos乙DAE=cos601t=—,

2

ZDEA=90°,

••由勾股定理可得CE=y]AC2-AE2=正4=逐，

DE=AE»tanZ.DAE=2yf^,

DE_2y[32y[i5

~CE~l/5~~r~

【点睛】

本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用.在解

答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键.

6.（2020•常州市第二十四中学九年级期中）若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三

角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线"，如图①，AO是△A8C的角平分线，当4O=A8时，则△A8c是“弱等腰三

角形”，线段A。是AABC的“弱线”.

（1）如图②，在△48C中.ZB=60°,ZC=450.求证：△ABC是“弱等腰三角形”:

（2）如图③，在矩形A8CD中，A8=3,BC=4.以8为圆心在矩形内部作AE,交6c于点E,点F是AE上一点，连

结CF.且C尸与AE有另〜个交点G・连结6G.当BG是△6CT的“弱线”时，求CG的长.

(3)已知△ABC是“弱等腰三角形"，40是"弱线"，且A6=38。，求AC：6C的值.

【答案】

(1)证明：如图②作A4BC的角平分线B。，交AC于。

1

•.乙DBC—NA6c=30°,

2

ZABC=60°,ZC=45\

•.NA=180°-ZABC-ZC=180°-60°-45*=75%

.ZADB=NOBC+NC=30.+45・=750,

NADB=AA,

：.BA=BD,

△A8C是“弱等腰三角形”：

(2)如图③，连接EG,

8G是ASCF"的"弱线"，

BG平分NFBC,

NFBG=NGBE,

；BF=BE,BG=BG,

&BGF^&BGE(SAS),

ZBGF=NBGE,

.BG=BE,

ZBGE=£BEG=—(180°-ZGBE),

2

二.N/GE=180°-NG8E,

.ZCGE=1800-NFGE,

NCGE=乙CBG,

■：ZGCE=ZBCG,

」.△GCE-△BCG,

CG_BC

~CE~~CG

•.CE=4-3=1,

CG2=CE»BC=M=4,

CG=2；

(3)①如图④，当48=4。时，在AC上取一点E,使得连接DE,

•••AD是“弱线"，

.・人。是ZkABC的角平分线，

二NBAD=乙CADt

---AD=AD,

△ABD^△AED(SAS),

DE=BD,ZB=NAED,

■：AD=AB,

：.ZB=ZADB,

..ZAED=Z.ADB,

：.ZCED=1800-ZAED,Z4DC=1800-ZADB,

NCED=£ADCt

NC=NC,

△ADC^△DEC,

CEDCDEBDJ_

~DC~~AC~~AD~~AB3

11

CE=-CD,CD=-AC,

33

1

CE=-AC,

9

139

/.CE=-AE=-BD,CD=3CE=-BD,

888

27

AC=9CE=—BD,

8

917

BC=BD+—BD=—BD,

88

..AC：8c=27：17；

②当4C=A。时，如图⑤，在45上取一点E,使4E=AC,连接。E,

DEBD1CD1]7

同理可得，------=-------=-，即-------=—，由上面计算可得，BC=-----CD,

ADAB3AC38

.AC=3CD,

..AC：6c=24：17.

【点睛】

考查了圆的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题关键

是正确的理解题意，并灵活运用其性质和判定.

7.（2020•江西抚州市•金溪一中九年级一模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5,那么称这个三角

形为"准黄金"三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底

（概念感知）

（1）如图1,在口人〃。中，AC=12，BC=10.NACB=30。，试判断是否是"准黄金"三角形，请说明

理由.

（问题探究）

（2）如图2,口4/C是"准黄金"三角形，是"金底"，把LJA6C沿BC翻折得到△D8C，连4B接AD交的延长

AB

线于点上，若点c恰好走△ABD的重心，求一的值.

BC

（拓展提升）

（3）如图3,“〃2，且直线/,与/2之间的距离为3,"准黄金”□ABC的"金底"8C在直线/2上，点4在直线4上.空=巫

BC5

若NABC是钝角，将NA5C绕点。按顺时针方向旋转。（0°〈二＜90。）得到丫4"。，线段AC交《于点D

①当a=30。时，则8=；

②如图4,当点8落在直线4上时，求——的值.

CD

【答案】

解：(1)□ABC也"准黄金"三角形.

理由：如图，过点A作AZ)_L8C于点。，

AC=12，ZACB=30°.

AD=-AC=6.

2

AD:BC=6:\0=3:5.

UA8c是"准黄金"三角形.

(2)V点A,。关于8c对称，

BELAD，AE=ED

.口ABC是"准黄金"三角形，8c是“金底”,

AE:BC=3:5

不防设AE=3左，BC=5k，

.•点C为AAB。的重心，

BC:CE=2:\.

〜5k"15k

CE=——.BE=----.

22

AR丫“、23则L

AB=.vl--2--J+(3k)=---2----k-

AB3回，-3晒

——=-------k:5k=-------

BC210

(3)①作AE_LAC于E,O『_LAC于兄如图:

由题意得AE=3,

AE3

~BC=5

BC=5,

ABVio

=19

BC5

在&AABE中，由勾股定理得:

BE=7(V10)2-32=b

EC=l+5=6,

4。=打+62=36

.ZAEC=ZDM=90%ZACE=NDAF,

△ACE^△DAF,

DF_AE_3_}

~AF~~EC~~6~2,

设DF=x，则AF=2x,

NACD=30。，

CF=6X，

AC=(2+y/3)x=3>/5,

解得：DF=x=6小-3小

CD=2DF=12后-6岳

②如图，过点4作AEJ_3c于点匕则AE=3.

..UABC是"准黄金"三角形，8。是“金底〃，

AE:BC=3:5

BC=5.

,ABM

---=­,

BC5

AB=yf\O

BE=y/AB2-AE2=1-

CE=BE+BC=6AC=y/CE2+AE2=>/36+9=3x/5

分别过点3'，。作?G_L3C,DF1AC垂足分别为点G,F.

ZffGC=ZDFC=90°.B'G=3,CB'=CB==5,则CG=4.

NGCB'=NFCD=a，

AAFC^ADM.

DF:FC:CD=B'G:GC:CB'=3:4:5.

.•设Ob=3Z，FC=4k‘CD=5k

­•"〃2，

ZACE=ZC4D.且ZA£C=Z/VD=90。.

AAEC^ADM.

DFAF

~AE~~EC

T=3后f解得人也

3610

.CD=5k=^~，AD=ylAF2+DF2

AD_2_3_3>/5

CO-3b一有一5

【点暗】

本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股

定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答.

8.(2020•江苏南通市•八年级月考)定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做"等垂四边形”.

(1)如图①，四边形A3C0与四边形AEEG都是正方形，135°vNAEB<180。，求证：四边形5EGO是"等垂

四边形”；

(2)如图②，四边形A3CD是"等垂四边形"，AOw/C，连接30,点E，F，G分别是A。，BC,8Q的中点，

连接EG,FG,EF.试判定口占巾的形状，并证明；

(3)如图③，四边形ABC。是"等垂四边形"，A£>=4，BC=6,试求边AB长的最小值.

【答案】

(1)如图，延长BE,DG交于点”，

HG

B

.・四边形ABCD叮四边形AEFG都为正方形

AB=ADAE=AG>ZBAD=ZEAG=90°

ZBAE=ZDAG

△ABEgaADG(SAS).

BE=DGZABE=ZADG

ZABD+ADB=90°

ZABE-^ZEBD+ZADB=ZDBE+ZADB+ZADG=90°

即NEBD+NBDG=90。，ZBHD=90°.

BE±DG

又BE=DG,

四边形5EGO是等垂四边形.

<2)[lEFG是等腰直角三角形.

理由如下：如图，延长5A,CO交于点〃，

H

四边形A3CZ)是等垂四边形，AD^BC

AB±CD^AB=CD

ZHBC+ZHCB=90°

•・,点EtF,G分别是AD,BC,BD的中点

EG=-AB.GF=-CD.EG!/ABGF//DC

22

ZBFG=ZC-ZEGD=ZHBDEG=GF

?EGF?EGD?FGD?ABD?DBC?GFB=?ABD?DBC?C?HBC?HCB9（T

•••□石FG是等腰直角三角形：

（3）如图，延长84,8交于点”分别取4。,8。的中点上,/,连接HE,EF,HF,

22

由（2）可知［ZEFG也等腰直角：角形，

GE=GF=-AB

2

.­.EF=yjGE2+GF2=微A，蹲噜1=与AB

AB=V2EF..A/2.

48最小值为J5•

【点睛】

本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三用形的性质、正方形的性质和勾股定理，颦决本题需利用新定义，逐一讨论,

解题中利用条件，构造直角三角形是解题的美犍.

9.（2020•江西九年级•模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂宜的线段，我们称其互为"等垂线段

知识应用：在AABC和AAOE中，AC=BC,AE=DE,且AE<AC,NACB=NAED=90。,连接8D,点P是线段6。的中点,

连接尸U.PF..

(1)如图1,当4E在线段AC上时，线段PC与线段PE是否互为“等垂线段”？请说明理由.

(2)如图2,将图1中的绕点4顺时针旋转90。，点。落在边上，请说明线段PC与线段PE互为“等垂线段”.

拓展延伸：(3)将图1中的A4OE绕点4顺时针旋转150。，若BC=3,DE=1,求PC的值.

【答案】

解：⑴线段PC与线段PE互为“等垂线段

理由：如图1，延长EP交BC于点尸.

.ZACB=ZAED=9O°,

DE//BC,

zFDP=zFHP

•・•点P是线段6。的中点,

PB=PD.

ZPBF=4PDE

在UFBP和中，＜P8=PO

/BPF=4DPE

：^FBP^：EDP(ASA)

1

:.PF=PE=—EF,BF=DE.

2

JAC=BC,心O£

AC-AE=BC-BF,即EC=FC.

又•「NAC8=90°,

△EFC是等腰直角三角形.

•••EP=FP,

:,PC=PE,PC工PE,

」•线段PC与线段PE互为"等垂线段"：

(2)如图2,作BF//DE,交EP的延长线于点F,连接CE,CF,

图2

.DE/{BF,

：.ZEDP=Z.FBP.

•••点P是线段BD的中点、,

PB=PD.

NPBF=NPDE

布和AEDP中，•PB=PD

NBPF=NDPE

:MBPWEDP(ASA)

BF=DE,PE=PF=—EF.

2

「DE=AE,

：.BF=AE.

ZCAE=90°,Z4ED=90°,

ED]!AC.

・・・ED〃FB，

FB/lAC,

NCBF=ZACB=900,

：.ZCBF=CCAE.

BF=AE

在IFBC和DEAC中，{/C8F=NC4£

BC=AC

：QFBC^：EAC(SAS)

CF=CE,zFCfi=ZECA.

.N4cB=90°,

/.ZFCE=90°,

△/CE是等腰直角三角形.

,JPE=PF,

：.PC±PE,PC=PE,

：.线段PC与线段PE互为“等垂线段”;

(3)如图3

作BFI：DE,交"的延长线于点F，连接CE,CF,过点E作E〃_LAC交CA的延长线于点

当旋转角为150。时，由旋转可知，ZCAE=150%与8C所夹的锐角为30。，

ZFBC=NEAC=l50°.

■：DE/!BF,

：.ZEDP=NFBP.

.・.点户是线段8。的中点，

PB=PD.

4PBF=/PDE

在DEB尸和△瓦用中，PB=PD

NBPF=/DPE

:1FBPWEDP(ASA)

1

BF=DE,PE=PF=—EF.

2

DE=AE,

：.BF=AE.

BF=AE

在口用。和DEAC中，NC5b=NC4E

BC=AC

:nFBC^EAC(SAS)

CF=CE,ZFCfi=ZECA.

・N476=90°,

ZFCE=90e,

二.A/CE是等腰直角三角形.

.PE=PF,

•.PC工PE,PC=PE=—EC.

2

在对UAHE中，ZE4”=30°,AE=DE=1,

..HE=-,AH=—.

22

又..4C=8C=3,

/.CH=AC+AH=3+—.

2

在放UCE”中，

由勾股定理得EC=JC〃2+E〃2=J(3+等y+(；)2=Jio+3j5.

PC=—EC=—xV10+3>/3=^2Q+6^--

222

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，解直角三角形，掌握全等三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角的三角函数值是

基础，能够作出辅助线构造全等三角形是关键.

10.(2020•沈阳市第一二六中学九年级月考)如图1,平面内有一点尸到△ABC的三个顶点的距离分别为小、PB、PC,若有

PA^PB^PC2则称点P为匕ABC关于点A的勾股点.

(1)如图2,在4x5的网格中，每个小正方形的长均为1,点力、戾。、。、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点。是△ABC

关于点的勾股点：在点E、F、G三点中只有点是AABC关于点A的勾股点.

(2)如图3,E是矩形488内一点，且点。是AA8E关于点A的勾股点，

①求证：CE=CD；

②若ZM=OE,Z4EC=120%求NAOE的度数.

(3)矩形A3CO中，48=5,8c=6,E是矩形ABC。内一点，且点C是△A8E关于点A的勾股点，若是等腰三角形，

直接写出AE的长.

【答案】

(1),.DA2=l2+22=5,DB2=12+32=IO,DC2=DA1=5

DB^DC^+DA2

点D是4ABC关于点B的勾股点

・「£42=42+42=32,EB2=22+52=29,EG=4

.•.点E不是△ABC的勾股点

M2=32+42=25,FB2=22+42=20,FC2=l2+22=5

FA^FB^FC2

点”是△ABC关于点A的勾股点

G42=42+22=20,GB』22+3』13,6(^=22+22=8

.•.点G不是△ABC的勾股点

故答案：B；F.

(2)①证明：如图3中，•.•点C是AABE关于点4的勾股点

CA2=CB2+CE?

四边形ABC。是矩形

AB=CD,AD=BC,ZADC=90°

CA2=AD2+Cb2=CB2+CI>2

CB2+C£2=CB2+CD2

/.CE=CD

②如图3中，设/CM=a,WOzCDE=zCED=a

ZADE=z.ADC-ZCDE=90°-a

.ZAEC=120*

/.ZAED=Z.AEC-ZCED=120。-a

,JDA=DE

ZDA£=zDEA=\20°-a

1.1ZDAE+ZDE4+ZADE=180°

.--2(120°-a)+(90°-a)=180。

解得：a=50°

Z4DE=900-500=40°

(3),矩形ABCD中，AB=5,«C=6

AD=BC=6,CD=AB=5

•.•点。是4ABE关于点A的勾股点

CE=CD=5

i)如图1,若DE=DA,PIODE=6

过点E作MALL4B于点M,交OC于点N

zAME=NMND=90°

••・四边形AMNO是矩形

MN=AD=6,AM=DN

设AM=DN=x,贝ljCN=CD-DN=5-x

；RsDEN中,E/V2+DN2=DE2；RsCEN中,E^W=CE?

DE2-D^2=CE2-CM

62-.?=52-(5-x)2

解得：x=—

5

—ME中，AE=>JAM2+ME2

2如图2,若4E=OE,则E在AO的垂直平分线上

过点E作P01M。于点P,交BC于点Q

AP=DP=—AD=3,ZAPQ=APQC=9O0

2

四边形CDPQ是矩形

..PQ=CD=5,CQ=PD=3

・•.RsCQE中,EQ=ylcE2-CQ2=\l52-32=4

PE=PQ-EQ=\

■■■RmAPE中，AE=ylA^+PE2=V32+l2=Vio

iii）如图3,若AE=AO=6,则4炉+口^=⑷^+5二^^

AZ4fC=90°

取AC中点O,则点A、8、Cs。在以O为圆心、。4为半径的。O上

.,.点E也在OO上

•1•点E不在矩形4BCO内部，不符合题意

综上所述，若△ADE是等腰三角形，4E的长为或痴.

【点睛】

木题考查了对新概念的理解，首先根据题干理解勾股点的定义，本题还用到了矩形的性质、三角形内角和定理等知识点，是

综合性很强的一道题.

11.(2320•浙江宁波市•九年级零模)当一个角冏定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角.

(1)如图1,墙角NO=30。，如果48=3,长度不变，在角内滑动，当。4=6时，则求出此时08的长度.

(2)如图2,墙角NO=30°,如果在AN的右边作等边△A5C，48=3,长度不变，滑动过程中，请求出点。与点C的最大

距离.

3

(3)如图3,墙角sinO=g时，如果点E是NO-•条边上的一个点,NDEF=90°,其两条边与NO另条边交于点尸

与点求”的最大值.

OD

图2图3

图1

【答案】

(1)如图1,过A点作AE_LO8,

图1

Z0=30°,0A=6

/.AE=—OA=3

2

又人8=3,AE±OB

・••8点与E点重合

OB=S#-AB?=3坦

(2)如图2,在C点的另一侧作等边三角形A8。'，连接00',连接O'C交A8于点，则N4O'8=60。，以O'为圆心，

以3为半径作圆，则A、8点在圆上，又因为/4。5=30。=l/4。'B,故。点在圆上，当。、。'、C三点共线时，点。与

2

点c的距离最大.

图2

「△ABC、AABO,为等边三角形

二•四边形AO'8C为菱形

13

O'C与A3互相垂直平分，AD=-AB=~.ZCAD=60°

22

-CD=ADtanZCAD=—

2

O'C=2CD=3+

当。、。、c三点共线时，点。与点c的最大距离为当+0c=3+3j§

（3）如图：过点尸做FG_LOE。点G,过点。做OH_LOE。点H,

ZDHE=NFGE=90°

3

sinO=-»设FG=3a，DH=3b,则OG=4a，OH=4b,GH=4b-4a(b>a)

NDEF=90。

ZDEH+NFEG=90%ZFEG+ZEFG=900

ZDEH=/EFG=

SFGEsAEHD

FG二GE

~EH~~DH

FG*DH=GE・EH

即9ab=GE(4b—4a—GE)

GE1-4(b-a)GE+9ab=0

△>0

\6(b-a)2-36ab>0

化简后得到：(b-4a)(4b-a)>0

b>a-

4Z?-a>0.

b-4a>0

b>4a

■：FG//DH,

OFOG4aa1

----=----=—<----=—

ODOH4b4a4

【点睛】

本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，

根据圆或相似三角形是解答的关键.

12.(2019•江西南昌市•八年级期中)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形.

观察发现：如图1,对垂四边形A6C。四边存在数量为：AD2+firi=A52+CZ)2.

应用发现：如图2,若AE,60是AABC的中线，AE±BD,垂足为。AC=4,BC=6,求A8=

应用知识：如图3,分别以股△ACB的直角边47和斜边48为边向外作正方形ACFG和正方形A8OE,连接CE,BG,GE,

已知AC=0,A8=G求GE长.

拓展应用：如图4,在平行四边形48CQ中，点E、F、G分别是A。，BC,8的中点，BE上EG,AD=4,AB=3,求Af•的长

图1图2图3图4

【答案】

应用发现：

连接。E,如图所示:

AE,8。是ZkABC的中线，AC=4,BC=6,

1-

•,AD-2,BE-3,DE--AB

2

1•,AE1BD,垂足为0,

••・四边形八BE。是对垂四边形,

AB^D^AD^+BE1,

1

：.AB2+(-AB)9^22+32,

.A」后

5

应用知识：

连接CG、BE,如图所示:

D

AE

G

.ZCAG=ZB4E=90°,

/CAG+/RA「=/RAE"RAC.即/GAR=/CAE,

在乙GA8；fllACAE中，

AG=AC

<NGAB=NCAE,

AB=AE

△GA於△CAE,

zABG=NAEC,又NAEC+ZAME=90°,

ZA6G+NAME=90°,即CE工BG,

••・四边形CGEB是对垂四边形，

/.CG+BRnC/+GR,

：AC=应，AB=6

BC=，CG=d(yp^)2+(>/^)2=2,醛=)2+(6丫='

..22+(K)2=i2+GE2,

GE=3；

拓展应用：

(3)如图，连接4C,EF交于H,4c与BE交于点。，设BE与A尸的交点为P,连接P讯

•・•点E、G分别是4Z8的中点

EGIIAC,

BEA.EG9

/.REIAC,

二•四边形是对垂四边形，

・二四边形48co是平行四边形，

ADWBC,AD=BC=4,

zEAH=ZFCH,

,•1E,尸分别是4。，8c的中点，

11

AE=—AD,BF=—BC,

22

cnJ

:.AE=BF—AD=2,

2

又「AEWBF,

••・四边形A6在是平行四边形，

/.EF=AB=3,AP=PF,

・•・EP分别是△4所的中线，

在和^CFH中,

ZEAH=ZFCH

•ZAHE=ZFHC,

AE=CF

：.△AEHW△CFH(AAS),

EH=FH,

：.AH分别是A4FE的中线，

1113

.PH=-AE=\,EH=-EF=-AB=-,

2222

••・四边形AP”E是对垂四边形，

Pff+AE'EFfi+AP?,

又.夕分别是AAFE的中线,

AF=1AP=y/\\.

【点睛】

考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾般定理的应用，解题关植是正确理解对垂四边形的定义和

灵活运用勾股定理.

13.（2019•浙江杭州市•九年级期中）定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的•半，则称该三角形为“半高"三角形,

这条高称为“半高

（1）如图1,A4BC中，NACB=9O。，BC=2AC，点P在A8上，PO_L4C于点O，PE工BC千点E，

连接80，求证：ABDE是"半高”三角形;

（2）如图2,AA3C是“半高”三角形，且8c边上的高是"半高"，点尸在A8上，PQMBC交AC干点、Q，PM工BC

于点M，QN人BC于HN.

①请探究8W，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；

②若AA3c的面积等于16,求MQ的最小值.

【答案】

解：（1）证明：由题意可证得APBE：］AA3C，

PEACI

BE=2PE，

由题意可证得四边形CEPD为矩形，DC=PE

BE=2DC

△BDE是"半高"三角形.

（2）①BM+CN=2PM.理由如下：

如图，过4作他_13。于E，交PQ于D

,•AABC是"半3"：角形，且边上的高是"半高”，

BC=2AE

PQ//BC.

AAPQUAABC,

PQ=2AD,

BC-PQ=2（AE-AD）,

由题意可证得四边形MNQP是矩形，石PQ=/WN.PM=DE=QN.

BC-MN=2PM，

即8W+CN=2PM.

②Swc=gBCxAE=：BC2=16,故8c=8，

设尸M=x，由①得PQ=8—2x,

MQ=(8-=^5x2-32x4-64=^5(x-y)2+y.

二.当工=”时，MQ取得最小值白叵.

55

【点睛】

本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定

义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题.

14.(2020•江苏扬州市•八年级期中)阅读下列材料：如图(1),