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2/2第二章理论习题参考答案7.假设连续型随机变量X的分布关于0对称，U=1,&X>00,&其他，求证：|X|证明：设Y=|X|，只要证对于∀y>0，有PP只证第一个式子，第二个类似。由于X的分布关于0对称，故P而PY≤y,U=1=P8.设连续总体X的分布关于原点0对称，X1,X2,⋯,Xn是来自X的简单随机样本，令Ui=1,&Xi证明：只要证P其中d是随机变量i=1nU设{1,2,⋯,n}的所有全排列为{(rP由第7题的结论知，Ri与Ui独立，故i=1nriPr最终有P9.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+E（提示：利用第8题结论）证明：不妨设总体的对称中心为原点，如果不是原点可以平移。此时T+=i=1nUiRi，由第E由于各Ui只与相应的Xi有关系，故各UiVar10.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+，当零假设成立时，证明T+的渐近正态性。（提示：基于第8、9题的结论，利用李雅普诺夫引理（李雅普诺夫中心极限定理）：设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯相互独立，且它们具有数学期望和方差，EXklim其中Φx为标准正态分布的分布函数证明：只要对T+验证李雅普诺夫中心极限定理的条件，由于T+与i=1niUi同分布，故令Xk=kUk,k=1,2,⋯，则各Xk相互独立，EXk

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