湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考 数学试卷（含解析）VIP

湖北省“腾•云”联盟2024—2025学年度上学期八月联考高三数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.设，“复数是纯虚数”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的一个对称中心的是（）A.B.C.D.4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.B.C.D.5.中国航天英雄太空旅程时间一览表如下，则太空旅程时间数据的下四分位数为（）神舟五号神舟六号神舟七号神舟九号神舟十号神舟十一号神舟十二号神舟十三号神舟十四号神舟十五分神舟十六神舟十七号21时23分5天3天13天15天33天90天183天183天187天154天187天A.3B.8C.9D.1836.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（）A.B.C.D.7.直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为（）A.9B.C.D.8.已知函数，且恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.则下列说法中正确的是（）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，.）A.B.C.D.10.已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（）A.无论翻折到何处，B.四面体的体积的最大值为C.当时，四面体的外接球的体积为D.当时，二面角的余弦值为11.已知定义域为的函数满足：①若，则；②对一切正实数，则（）A.B.C.，恒有成立D.存在正实数，使得成立三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面内不共线的向量两两夹角相等，且，则__________.13.从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为__________.14.已知抛物线，从抛物线内一点出发平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，直线与轴交点横坐标为__________；的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的内角所对的边分别为，且满足.（1）求；（2）若，且的面积为，求.16.（15分）已知函数，（1）求函数的单调区间和极值；（2）讨论关于方程的解的个数.17.（15分）如图，已知四棱锥中，平面，且（1）证明：平面；（2）已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.18.（17分）已知点是圆上的任意一点，，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；已知直线与相交于点，与相交于点，线段和线段的中点分别为.（1）求曲线和曲线的方程；（2）已知的面积为，求直线的斜率的值.19.（17分）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.（1）当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；（2）当时，求数列的通项公式；（3）是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.湖北省“腾·云”联盟2024-2025学年度上学期8月联考高三数学试卷命题学校：江夏区第一中学命题教师：汤文审题教师：胡军郑俊考试时间：2024年8月12日下午15：00-17：00试卷满分：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【详解】因为，所以.故选：B2.【答案】A【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以"复数是纯虚数"是""的充分而不必要条件，故选：A3.【答案】D【详解】，故D正确.4.【答案】A【详解】中，，即5.【答案】C【详解】将数据从小到大排列后得到21时23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位数为第三个数和第四个数的平均数，即9.6.【答案】B【详解】设当底面水平放置时，液面高为，依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，所以水的体积，解得.故选：B7.【答案】A【详解】，，关于点对称，则直线经过点，即，故选：A8.【答案】C【详解】当时，若，则，要使恒成立，即若，则，要使恒成立，即，即当时，在上单调递增要使恒成立，即综上所述，的取值范围为二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【详解】由题意可设，所以；所以A正确，B错误；由题意可得：坐公交车用时可得，故C错误；，那么，坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.故D正确.10.【答案】ACD对于选项，取线段的中点，连接，是等边三角形，中，平面，平面，又平面故A正确；对于选项B，当平面平面时，四面体的体积最大，最大值为故B错误；对于选项，当时，，即两两垂直将四面体补成正方体，则外接球半径为，外接球体积为故C正确.对于选项D，当时，，将四面体补成正方体取中点中点，易得平面，是二面角的平面角，故D正确.11.【答案】BCD【详解】A错，无法确定的值；B对，令，代入条件②中，，即C对，当时，，且当时，D对，D对，取，由于，从而成等差数列，即成等差数列，即而公差，所以当n充分大时，可使.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】因为平面内不共线平面向量两两的夹角相等，即两两的夹角为，13.答案：【详解】用表示事件"第次摸到红球"，表示事件"第次摸到红球"，.14.【答案】；【详解】设切线与轴交于点，由抛物线的光学性质可知，过焦点，即与轴交点横坐标为；，直线的斜率为直线的倾斜角为，且即四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）由题设及正弦定理得，即.，整理得，即，，即.（2）由得，由余弦定理得即.16.（1）函数的定义域为令，解得当时，单调递减；当时，单调递增当时，有极小值综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为极小值为，且无极大值.（2）令，解得当吋，；当时，.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而当时，结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示，方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.由（1）可得当时，有最小值由图可得，当时，方程有0个解当或时，方程有且仅有1个解.当时，方程有且仅有两个解.17.【详解】（1）法一：如图1，延长和相交于点，连接，，，即又，即平面平面平面法二：如图2，过作平行交于点即，，，，均平行于平面，且是平面内的两条相交直线，平面平面，又平面平面法三：如图2，过作平行交于点，连接，且平行，，即平行于，..均平行于平面，且是平面内的两条相交直线，平面平面，又平面平面（2）法一：平面平面平面平面如图3，过点作交于平面平面平面平面过点作交于平面为二面角的平面角，设，则平面平面，又，中，，则过点作交于点，连接，则为二面角的平面角，综上所述，二面角的余弦值为法二：如图4，在平面内过点作的垂线于的延长线交于点过作交于，连接，平面平面平面平面平面平面平面平面平面又平面，即为二面角的平面角平面平面，又，中，，则，，中，边上的高设二面角的平面角为平面综上所述，二面角的余弦值为.法三：如图5，平面在平面内过点引的垂线记为轴，以所在直线为轴，轴如图建立空间直角坐标系，平面平面，又，中，，则设平面的法向量为，取，则，平面的法向量为二面角的正弦值为，①，设二面角的平面角为，平面的法向量为②由①解得，代入②中，得综上所述，二面角的余弦值为.18.（1）依题意可得，点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即依题意可得，点的轨迹是以为焦点，1为实轴长的双曲线，即（2）设联立消去得，，由韦达定理可得联立.去得，，由韦达定理可得则线段的长度为点到直线的距离为，即，，，法一：，令在上单调递增，，19.【答案】（1）8；（2）；【详解】（1）将数列1，2进行第一次"型拓展"得到1，2，2；进行第二次"型拓展"得到；进行第三次"型拓展"得到1，