教案：人教B版高中数学选择性必修第一册27

2.7.2抛物线的几何性质

学习目标核心素养

1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准

线等几何性质.（重点）通过抛物线的几何性

2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问质的学习，培养直观

题.（重点'难点）想象、数学运算素养.

3.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一■个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛

物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光（射）线由抛物面上反射

出来之后，其反射光（射）线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计

了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等.当然这条性质本身

也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线

的几何性质.

1.抛物线的几何性质

y2=2px(py2=~2px(j)>x2=—

标准方程x1=2py(j}>0)

>0)0)2Pxp>0)

图形

Z—%X

范围

性质

对称轴X轴y轴

顶点(0.0)

离心率e=l

思考1：抛物线f=2pyg>0)有几条对称轴？

［提示］有一条对称轴.

思考2：抛物线的范围是x©R,这种说法正确吗？

［提示］抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2=2pxg>o)的范围是

xNO,yGR,故此说法错误.

思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？

［提示］参数对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点R且

垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以"越大，开口越大.

2.焦点弦

设过抛物线焦点的弦的端点为A(xi,yi),B(X2,y2),则

y2=2px(p>0)\AB\=xi-\-X2~\-p

y2=~2px(p>0)\AB\=p—(xi+%2)

x2=2py(p>0)\AB\=yi+y2~\~p

f=-2py(p>0)\AB\=p—(y\+yi)

E初试身毛」

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)抛物线是中心对称图形.()

(2)抛物线的范围为x©R.()

(3)抛物线关于顶点对称.()

(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

［提示］(l)x在抛物线中，以一X代X,一丁代y,方程发生了变化.

⑵x抛物线的方程不同，其范围不同，>2=2e¥(/?>0)中工之0,yGR.

⑶x

(4)V离心率都为1,正确.

2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是6,则点尸到该抛物线焦点R

的距离是()

A.8B.6C.4D.2

A[V抛物线的方程为＞2=8与

其准线/的方程为》=一2,

设点P(xo,yo)到其准线的距离为d,

则d=\PF\,

即[Pf]=d=xo—(―2)=xo+2,

•点P到y轴的距离是6,

♦•xo=6,

/.|PF|=6+2=8.]

3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xi,yi),B(xi,y2),若xi十

X2=6,则|A3|=.

8[y^=4x,2p=4,p=2.

•.•由抛物线定义知：|AF|=xi+l,IBF]=X2+1,

.,.|AB|=XI+X2+〃=6+2=8.]

4.顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方

程是_____

产=2以或V=—24x「.•顶点与焦点距离为6,即?=6,.•.2p=24,又对称

轴为无轴，二.抛物线方程为＞2=24%或9=—24%.]

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

.类型1~由抛物线的几何性质求标准方程

【例1】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,l),若线段。4的垂直

平分线过抛物线＞2=2pxS＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是.

(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9X2+4/=36短轴所在的直线,

抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.

(l)y2=5x[线段的垂直平分线为4x+2y—5=0,与x轴的交点为g,0),

.•.抛物线的焦点为ok其标准方程是y2=5x.]

(2)解：椭圆的方程可化为，+1=1,其短轴在x轴上，.•.抛物线的对称轴

为x轴，

设抛物线的方程为y=2px或y2=-2px(p>0).

,：抛物线的焦点到顶点的距离为3,

即§=3,:邛=6,

抛物线的标准方程为y2=l2x或y2=~12x,

其准线方程分别为x=—3和x=3.

1.........规律c方法............................

用待定系数法求抛物线方程的步骤

提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置.不同的焦点设出不同的

方程.

［跟进训练］

1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点尸到准线及

对称轴距离分别为10和6,求抛物线方程.

［解］设抛物线方程为y2=2ax(a#0),点P(xo,yo).

因为点P到对称轴距离为6,所以yo=±6,

因为点P到准线距离为10,所以xo+g=10.①

因为点尸在抛物线上，所以36=2axo.②

由①②,得1〃==92,

ci=-18,ci=-2,

或J或J

Lxo=_1lxo=-9.

所以所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±36x.

、类型2抛物线性质的应用

【例2】(1)抛物线廿=以的焦点为R准线为/,点A是抛物线上一点，

且/4歹。=120。(。为坐标原点)，AKM,垂足为K,则△AKR的面积是.

(2)已知正三角形A03的一个顶点。位于坐标原点，另外两个顶点A,3在

抛物线y2=2pxS>0)上，求这个三角形的边长.

(1)4小[如图，设A(xo,yo),

过A作轴于H,

在RtzXAfH中，尸H]=xo-1,

由NARO=120。，得/AFH=60。,

故yo=|A//]=V3(xo—1),

所以A点的坐标为

(xo,小(xo—1)),

将点A坐标代入抛物线方程可得3X6-1OXO+3=O,

解得xo=3或xo=；（舍），故&AKF=TX（3+1）X24=44.]

(2)解：如图所示，设正三角形。43的顶点A,3在抛物线上，且坐标分别

为A(xi,yi),3(x2,>2),则y?=2/7XI,yi=2px2.

5L\OA\=\OB\,所以才+。=—+於,

即xi+2pxi—2pxi=Q,

整理得(xi—X2)(xi+%2+2p)=0.

Vxi>0,%2>0,2p>0,

/.X1=X2,由此可得|yi|=,

即线段AB关于无轴对称.

由此得N49x=30。，

.‘A/3

所以yl=2Xi^与«=2pxi联立，

解得yi=2事p.：.\AB\=2yi=4-y［3p.

利用抛物线的性质可以解决的问题

(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.

(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.

(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.

(4)焦点：解决焦点弦问题.

提醒：解答本题时易忽略A,3关于x轴对称而出错.

IJ

［跟进训练］

2.已知双曲线最一，=l(a>0,少>0)的两条渐近线与抛物线y2=22xS>0)

的准线分别交于A、5两点，。为坐标原点，若双曲线的离心率为2,△AOB的

面积为小，求抛物线的标准方程.

［解］由已知得/=2,所以一^2—=4,解得

即渐近线方程为y=土木x,而抛物线准线方程为x=一、,于是

R.坐p),从而AAOB的面积为与=小.

2，

可得p=2,因此抛物线开口向右，所以标准方程为>2=4%.

%类型3焦点弦问题

［探究问题］

以抛物线>2=28。>0)为例，回答下列问题：

(1)过焦点R的弦长|A为如何表示？还能得到哪些结论？

［提示］①|AB|=2(xo+3(焦点弦长与中点关系).

②|AB|=XI+X2+.='^^(6为AB的倾斜角).

2

③A,3两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xrx2=/，y\-y2=~p.

④S"OB=^.

112

⑤而j+西=1(定值).

(2)以A3为直径的圆与直线/具有怎样的位置关系？

［提示］如图，A3是过抛物线y2=2px(p>0)焦点R的一条弦，设A(xi,yi),

3(x2,yi),AB的中点M(xo,yd),相应的准线为/.

所以以A3为直径的圆必与准线/相切.

(3)解决焦点弦问题需注意什么？

［提示］栗注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端

点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.

【例3】已知抛物线方程为y2=2Rg>0),过此抛物线的焦点的直线与抛

物线交于A,3两点，且履5|=|“，求A3所在直线的方程.

［思路探究］根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程.

［解］,?过焦点的弦长\AB\=^p,

.•.弦所在的直线的斜率存在且不为零，

设直线AB的斜率为左，且A(%i,yi),B(X2,yi).

\*y2=2px的焦点为期,0).

直线方程为外

y=l^x—^\,

由，I2）整理得

y=2px,

Fx2—（Jcp+2p）x+*p2=o（左wo）,

.।心P+2P

・・XI十12一产,

,,l<^p+2p1

\AB\=x\+xi+p=记+〃，

又|A5|=|p,

.生母_5.

••F।p-2〃，••左一±2.

.,.所求直线方程为y=21甘）或y=—21一驾.

母题探究1

L（改变问法）本例条件不变，求弦A3的中点M到y轴的距离.

［解］设AB中点为Af（xo,yo）,

3

由例题解答可知2XO=XI+X2=V，

所以A3的中点M到y轴的距离为%.

2.（变换条件）本例中，若43在其准线上的射影分别为Ai,求NAifBi.

［解］由例题解析可知AB的方程为y=A（x—fj,

即

代入'2=2打消%可得y2=与y+p2,即,2—普y—p2=0.*__o

•-yiy2=­p.

由Ai点的坐标为（甘，yij,Bi点的坐标为［一多日，得kAiF=_彳kBiF

P'

：.kAiF-kBiF=^=-l,

P

：.ZAiFBi=90°.

「........规®法............................

解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线

方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公

式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

必।备素养G

1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，

也可以根据待定系数法求抛物线的方程.

2.解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定

义.

3.抛物线y2=±2px（/?>0）的过焦点的弦长|AB|=xi+尤2+p,其中xi,X2分别

是点A,3横坐标的绝对值；抛物线-=±20；防>0）的过焦点的弦长履3|=券+券

+p,其中yi,竺分别是点A,3纵坐标的绝对值.

4.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、

中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合

问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.

堂以致用G

1.若抛物线V=2x上有两点A、3且A3垂直于X轴，若依3|=2啦，则抛

物线的焦点到直线AB的距离为（）

1111

C

A.2-B.4-6-D.8-

抛物线的焦点坐标为0）,则焦点

A［线段A3所在的直线方程为x=l,

到直线AB的距离为1—3=今]

2.在抛物线y2=i6x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()

A.(4隹±2)B.(±4隹2)

C.(±2,4也)D.(2,±4^2)

D[抛物线>2=i6x的顶点。(0,0),焦点网4,0),设P(x,y)符合题意，则有

y2=16x,[y2=16x,fx=2,

y+y2=(x—4)2+y2[x=2[y=±4-\[2.

所以符合题意的点为(2,±47