人教A版选择性必修第一册：第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（难）（学生版+解析版）

第二章直线和圆的方程单元检测卷（难）

一、单选题.

1.（2021•浙江高二期末）圆。：/+/-2》+6），=0和圆O?:x2+y2-6x=0的公共弦4B的垂直平分线的

方程是（）

A.2x-3y+3=OB.2x-3y-5=0

C.3x-2y-9=0D.3x-2y+7=0

2.（2019•安徽高二期中（文））已知G：（x-iy+（y+l）2=l，圆g:（x-4『+（y-5）2=9,点、M,N分

别是圆G，圆G上的动点，尸为x轴上的动点，则归的最大值是（）

A.7B.3石+4C.9D.2^5+2

3.（2020•福建莆田二中高一月考）曲线》=庐巨+1（-24x42）与直线丫=依-24+4有两个不同的交点

时实数女的范围是（）

<531「5）（\31（5、「3）

人•居MB.后，+叼C.匕旬D,心目七,+可

4.（2021•四川高二期末（理））已知圆£+丁=1与直线ax+&y+l=0-（。，b为非零实数）相切，则

13

了+记的最小值为（）

A.10B.12C.13D.16

5.（2020•安徽安庆一中高二期中）已知点夕（1,0）及圆GV+y2=2,点〃,N在圆C上，若PM工PN,

则|MN|的取值范围为

A.[0-1,6+1]B.12-2+'75]

C.12—6—1,2+61D.|^2—5/2—1,2+5/3J

6.（2021,全国高三其他模拟（理））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥

曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数

Z（Z>（Uwl）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点A（-2,0）、3（2,0）,动点C满

足|AC|=2忸C],则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,已知点。在圆尸上（点。在第一象

限），AO交圆户于点E,连接£8并延长交圆P于点尸，连接。F,当NDFE=30时，直线AO的斜率为（）

7.（2021•上海高二专题练习）设直线系M:xcos6+（y-2）sin6=l,04,42万，对于下列四个命题：

（1）M中所有直线均经过一个定点；

（2）存在定点P不在M中的任意一条直线上：

（3）对于任意整数〃，“23,存在正”边形，其所有边均在M中的直线上；

（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（）

A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）

8.（2021•江苏高三专题练习）如图，圆C与x轴相切于点T（1,O）,与丫轴正半轴交于两点A、B（B在A

的上方），且|A@=2,过点A任作一条直线与圆O：/+y2=l相交于M、N两点，诉+二方的值为（）

二、多选题.

9.（2021•全国高二课时练习）在AMC中，asinA+加inB—csinC=O,圆C：/+丁=1与直线/：

ax+by+c=O,则（）

A.AABC是直角三角形B.圆C与直线相离

C.圆C与直线相切D.圆C与直线相交

10.（2021•全国）已知圆C：x2+y2-"+2y+_L%2-%+i=o,下列说法正确的是（）

4

A.k的取值范围是％>0

B.若％=4,过/（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为2月，方程为12x—5y-16=O

C.若％=4,圆C与圆V+y2=i相交

12

D.若2=4,相>0,n>0,直线如一—1=0恒过圆。的圆心，则一十—28恒成立

mn

11.（2021•湖南）已知点Q（4,0）,过圆（x-4）?+y2=I6上的一动点P作圆（x-4）2+V=4的两条切线以

、PB,切点分别为A、B,两个切点A、8之间的线段AB称为切点弦.则下列结论正确的是（）

A.PQ-LABB.|PA|=2>/3

C.\AB\=3-D.四边形4P8Q的面积为4道

12.（2021•全国）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值；I（4#1）

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知A（-4,2）,8（2,2）,点p

满足百寸=2,设点P的轨迹为圆C,下列结论正确的是（）

A.圆C的方程是（x-4y+（y-2）2=16

TT

B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为§

C.过点A作直线/,若圆C上恰有三个点到直线/距离为2,该直线斜率为土史

5

D.在直线＞=2上存在异于A,B的两点3,E,使得阴=2

\PE\

三、填空题.

13.（2021•鄂尔多斯市第一中学高一月考（文））已知定点“（0,2）、N（-2,0）,直线/：kx-y-2k+2=0

（%为常数），若点M、N到直线/的距离相等，则实数上的值是

14.（2021•广西南宁三中高二月考（文））数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心

在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点A（2,0〉、8（0,4）,其“欧拉线”的直线方程

为x-y+2=0,则“13c的顶点C的坐标.

15.（2021•全国高二专题练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，。是

滑槽的中点，短杆。N可绕。转动，长杆MN通过N处的钱链与。N连接，上的栓子。可沿滑槽A8

滑动,当点。在滑槽A8内作往复移动时，带动点N绕。转动，点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为,

点M的运动轨迹为G.若ON=£W=1,MN=3,过G上的点P向作切线，则切线长的最大值为

16.（2019•陕西西安市远东一中高三期中（文））唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登

山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从

山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中，设

军营所在平面区域为｛（X,力9,河岸线所在直线方程为假定将军从点3,）1）处出发，

422

只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为.最短总路程为

五、解答题.

17.（2021•江苏省梅村高级中学高一月考）在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方

向移动，移动速度的大小为40km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动

趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精

确到Imin）?（参考数据：75=1.414,/a2.646）

18.（2020•江苏南京市•金陵中学高一期中）已知圆M:（x-iy+y2=i,3（01）,

C（0,/-4）（0<r<4）,直线P8,PC都是圆M的切线，且点P在>轴右侧.

(1)过点A的直线/被圆M截得的弦长为名，求直线/的方程;

(2)当f=l时，求点尸的横坐标；

(3)求APBC面积的最小值.

19.(2021•江西省南城一中高一月考(理))如图，在平面直角坐标系中，已知圆。：x2+y2=4,

点Q(0』)，过点P(0,4)的直线/与圆。交于不同的两点AB(不在y轴上).

(1)若直线/的斜率为3,求|AB|；

(2)设直线QAQ8的斜率分别为加右，求证：占+&为定值，并求出该定值;

(3)设A8的中点为M,是否存在直线/,使得|MO|=?若存在，求出直线/的方程；若不存在,

说明理由.

20.(2021•湖南)已知圆M经过两点人卜,6),8(2,2)且圆心用在直线丫=犬-2上.

(1)求圆M的方程；

(2)设E,尸是圆M上异于原点。的两点，直线。4,。尸的斜率分别为勺，J且%「&=2,求证：直

线E/经过一定点，并求出该定点的坐标.

21.(2021•浙江永嘉中学高一期中)在直线/上任取不同的两点4,B,称而为直线/的方向向量与直线

/的方向向量垂直的非零向量称为/的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线乙是函数y=2x-4的图象,

直线4是函数产一5+4的图象.

(1)求直线/「和直线4所夹成的锐角的余弦值；

(2)已知直线4平分直线小与直线4所夹成的锐角，求直线4的一个方向向量的坐标；

(3)已知点尸(3,4),［是4与了轴的交点，万是4的法向量.求存在万上的投影向量的坐标(求出一个即可)，

并求点P到直线4的距离.

22.（2021•江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知圆C:/+（y-4）2=4,直线

/:（3〃?+l）x+（l-机）y-4=0.

（1）求直线/所过定点/的坐标；

（2）求直线/被圆C所截得的弦长最短时用的值及最短弦长；

（3）已知点M（-3,4）,在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M）,满足：对于圆C上任一

点P,都有\P扁M为\一常数，试求所有满足条件的点/V的坐标及该常数.

第二章直线和圆的方程单元检测卷（难）

一、单选题

1.（2021•浙江高二期末）圆。1：/+/-2》+6），=0和圆Q:Y+y2-6x=0的公共弦AB的垂直平分线的

方程是（）

A.2x-3y+3=0B.2x-3y-5=0

C.3x-2y-9=0D.3x-2y+l=0

【答案】C

【详解】

解：圆。］+y2-2x+6y=。的圆心a（1,-3）,

圆Q：/+）/-63=0的圆心。2（3,。），

所以。02的中点坐标为（甘\誓），即（2,-|）,

_0-（-3）_3

%。』一_JTj__i

所以两圆的公共弦AB的垂直平分线即是圆心。0?所在的直线：y+|3=j3（x-2）,即3x-2y-9=0,

故选：C.

2.（2019•安徽高二期中（文））已知G：（x-iy+（y+l）2=l，圆G：（x-4y+（y-5）2=9,点M,N分

别是圆G，圆G上的动点，尸为x轴上的动点，则|PMT/W|的最大值是（）

A.7B.3石+4C.9D.2y/5+2

【答案】C

【详解】

解：由题意可知，圆G的圆心G（L-i），半径为1，

圆a的圆心G（4,5）,半径为3,

要使得归取最大值，需的值最大，1PM的值最小.

其中|PN|的最大值为|PG|+3,|PM的最小值为归端-1

则网卡必的最大值为（|PCJ+3）-（归。-1）=|股|-W£|+4

点G（4,5）关于X轴的对称点G'（4,-5）,

2

|PC』一|PCj=\pc'\-\PCt\<=，（4一1『+（-5+1）=5,

所以归川-归⑼的最大值为5+4=9.

故选：C.

3.（2020•福建莆田二中高一月考）曲线+I（_24X42）与直线y=^-2%+4有两个不同的交点

时实数人的范围是（）

A・（53]后B.[「透5+4、C.匕（1旬31D.心1正5卜、匕「3，+叼、

【答案】A

【详解】

由题意得，yul+Em即/+（）」1）2=4（丫21）,其表示以（0,1）为圆心，2为半径的圆的上半部分，而

y=A（x-2）+4表示经过定点P（2,4）的一条动直线，如卜.图所示，当直线与半圆相切于点B时，由t且=2

收+1

得怎B=5S，又点冬一捕八则厚人二4-:1^^二；3，由图可知即即…即弓53

12L—\—L）4124

4.（2021•四川高二期末（理））已知圆f+丁=1与直线〃x+屉＞，+i=o（a,b为非零实数）相切，则

我1+方3的最小值为（）

A.10B.12C.13D.16

【答案】D

【详解】

因为圆V+y2=[与直线av+向？+1=0相切，

lo+o+il

所以%==L=l,所以/+3从=1,

>Ja2+3h2

所以《+擀=("2+3〃)仪+旬=10+率+/210+6^5=16，

取等号时片=〃=[,

13

所以/+乒的最小值为16.

故选：D.

5.（2020•安徽安庆一中高二期中）已知点P（l,0）及圆C：x2+y2=2,点在圆C上，若PM工PN,

则|MV|的取值范围为

A.[6-1,百+1]B.12-+

C.12-1,2+6]D.|^2—A/2—1,2+5/3J

【答案】A

【详解】

解：由题意，设点机八；的中点为。（％y）,

因为用小孙所以直角三角形胸斜边的中线等于斜边的一半，即忸0|=券,

又由垂径定理有竽=必2,

所以叶,即|P球=|OM|2-|OD|2,

则有(x-1)2+y2=2-+y2),化简得r-x+y2=g,即+y2=当

所以点。的轨迹为以（3，°）为圆心，亭为半径的圆，

所以由圆的性质有|0P|.=且-1,1。尸1=3+，，

Ilimn22Imax]?

X|MN|=2|PD|,

所以N"m=/T，KC=G+1，

所以|M/V|的取值范围为[6-1,6+1],

故选：A.

6.（2021•全国高三其他模拟（理））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥

曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数

%仕>0#*1）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点A（-2,0）、B（2,0）,动点C满

足|AC=2忸C|,则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,已知点。在圆P上（点。在第一象

限），AD交圆P于点£,连接£8并延长交圆P于点尸，连接DF,当NDFE=30时，直线A£）的斜率为（）

.x/39R726「石n9

131344

【答案】A

【详解】

如图所示，设动点。（乂》，则J（X+2『+y2=2“X_2）2+y2,

化简可得X2+/-yX+4=0,化为标准方程可得圆尸：[-1J+V4.

因为/。q£=2/。F£=60,\PE]=\PD\,则ADPE为等边；角形,

4>/3

过圆心P作PG_LQE于点G,则|PG|=|PEkin60=竽，sinZPAG=^=^-_V3

-4

73

所以cos/PAG=—>所以砥°=tan/PAG=-^=,

4V1313

4

故选：A.

7.（2021•上海高二专题练习）设直线系用：xcos，+（y-2）sin6»=l,O<0<2TT,对于下列四个命题:

（1）"中所有直线均经过一个定点；

（2）存在定点户不在M中的任意一条直线上；

(3)对于任意整数〃，n>3,存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上;

(4)M中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

【答案】A

【详解】

因为点(0,2)到直线系M:xcosO+(y-2)sin0=l(0<0<2句中每条直线的距离”=及。笠:工彳万=1,直

线系"：题05。+(尸2同110=1(04。《2万)衣示圆/+(>-2)；!=1的切线集合.

(1)由于直线系表示圆f+(y-2)2=l的所有切线，其中存在两条切线平行，所有M中所有直线均经过一

个定点不可能，故(1)不正确；

(2)存在定点户不在M中的任意•条直线匕观察知点M(0,2)符合条件，故(2)正确；

(3)由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数〃(“23),存在正”变形，其所有

边均在M的直线上，故(3)正确；

(4)如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如一类是△BCD,显然这两类三角形

的面积不相等，故(4)不正确.

8.(2021•江苏高三专题练习)如图，圆C与x轴相切于点7(1,0),与>轴正半轴交于两点A、B(B在A

的上方)，且|4?|=2,过点A任作一条直线与圆O:/+y2=l相交于两点，不+焉的值为()

【答案】C

【详解】

如图，取A8的中点E,连接C8、CE,

因为|A曰=2,点E是弦A8的中点，所以忸E|=l,CEYAB,

则|CE|=1,|BC|=7|£C|2+|B£|2=42,圆C的半径r=忸1=忘，

故C（l,a）,圆C的标准方程为（x-iy+（y-五/=2,

x=0屋=0

联立]g）Ry一河b解得k&rA（°,&T，B（O,VM，

设点N（AO，%）,则片+y：=l,

NB|J"：+[%—（0+1）[J*：+-2（血+】）%+（&+1）

蜘Jx：+[%_（&-•]+-2（收T）%+（&-1）

4+272-2（72+1）^（垃+1）（21-2%）I2

_^4_20_2（应K应-加也-2%jMl2+1'=>/2+1,

\MB\

同理可得扁r

故牌爵"

1=2五,

V2+1

故选：C.

二、多选题

9.（2021•全国高二课时练习）在AABC中，asinA+6sinB—csinC=0,圆C：/+>2=1与直线/：

ax+by+c=0,则（）

A.AABC是直角三角形B.圆C与直线相离

C.圆。与直线相切D.圆。与直线相交

【答案】AC

【详解】

因为asinA+6sin3-csinC=0,所以由正弦定理得，+82—1=0,即才+62=],所以^ABC是直角三角

形；圆心以0,0）到直线/：ax+6y+c=0的距离"=7=可萍=1=八故圆C：炉+”=1与直线/：ax+

by+c=0相切.

故选：AC

10.（2021•全国）已知圆C：/+丁一日+2〉+1%2-&+1=0,下列说法正确的是（）

4

A.A的取值范围是我〉0

B.若4=4,过河（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为26,方程为12x-5y-16=O

C.若&=4,圆C与圆V+y2=l相交

12

D.若k=4,m>0,n>0,直线小一”）」1=0恒过圆C的圆心，则一+—28恒成立

mn

【答案】ACD

【详解】

对于A,方程表示圆可得（-%）2+4-4（；%2_k+]）>0,

解得k>0,故A正确；

对于B,若k=4,可得圆方程：（x—2p+（y+l）2=4,

过M（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为26,

则圆心（2,-1）到直线的距离为1,当直线的斜率不存在时，x=3,满足条件，故B不正确;

对于C,（x-2）2+（y+l）2-4,圆心（2,-1）,半径｛=2,

圆厂+=1,圆心为（0,0）,半径4=1，

两圆心的距离为｛-4=1<小22+（-1）2=右<｛+々=3,两圆相交，故C正确；

对于D,直线侬-”yT=0恒过圆C的圆心，

可得242+鹿一1=0=>2"/+〃=1.

当且仅当，〃=!，〃=!时取等号，故D正确.

42

故选：ACD.

11.（2021•湖南）已知点。（4,0）,过圆（x-4y+V=i6上的一动点尸作圆（x—4）?+y2=4的两条切线以

、PB,切点分别为A、B,两个切点A、8之间的线段A8称为切点弦.则下列结论正确的是（）

A.PQA.ABB.|PA|=2x/3

C.\AB\=3D.四边形AP8Q的面积为

【答案】ABD

【详解】

因为Q（4,o）为两已知圆的圆心，由几何性质可知1%卜|「目，|。4|=|。即，所以PQLAB,故选项A正确;

因为|P@=4,|4口=忸。|=2,所以|PB|=|PA|=J|QP|2-|QA『=2百,故选项B正确；

|AO|1

因为sin44尸。=屈=5,又NAPQ为锐角，所以NAPQ=30",同理可得NBPQ=30,所以NAP3=60。，

则△AP8为等边三角形，所以卜却=26,选项C错误；

SAPBQ-2sMpQ-1PA|,|AQ|=4>Q,选项D正确.

故选：ABD.

12.（2021•全国）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值彳（4#1）

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系X。），中，已知A（T,2）,8（2,2）,点p

满足IP扁AI=2,设点P的轨迹为圆C,下列结论正确的是（）

A.圆C的方程是（x—4），（y—2）2=16

7T

B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为§

C.过点A作直线/,若圆C上恰有三个点到直线/距离为2,该直线斜率为士姮

5

PD

D.在直线y=2上存在异于A'B的两点＞E,使得正=2

【答案】ABD

【详解】

因为A（Y,2）,B（2,2）,点尸满足周=2,

J(x+4)，(y-2)2

设点p（x,y）,则—2,

化简得：x2+y2-8x-4>,+4=0,即(x-4)2+('-2)?=16,故A正确;

因为AC=8,R=4,所以sinW=£=（，则]=解得a=£,故B正确；

2AC2263

易知直线的斜率存在，设直线/：履-丫+奴+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线/距离为2,则圆心到直线

的距离为：d=-f^==2,解得％=±姮，故C错误；

x/P+115

/、/、J（x-/7?）2+（y-2）2

假设存在异于A,B的两点。（〃?,2）,E（n,2）,则当----=Lr=2,

J（i）~+（y-2）-

化简得：f+j+百电.4），+苑二鲁^=0,因为点。的轨迹方程为：x2+/-8x-4y+4=0,所以

3fZH=12[m=-4/、/、

“22s解得A或。（舍去）,故存在。12,2.6,2,故D正确；

4〃--"+12,[〃=6\n=2

---------------=4ii

I3

故选:ABD

三、填空题

13.（2021•鄂尔多斯市第一中学高一月考（文））已知定点M（O,2）、N（-2,0）,直线/：kx-y-2k+2=0

（%为常数），若点M、N到直线/的距离相等，则实数％的值是.

【答案】1或;

【详解】

,,2-0,

当直线〃/MV时，满足条件，=0（2）=，

或是当宜线/经过线段MV的中点时，满足条件，MN的中点坐标是（-14）,

代入直线方程得，-k-\-2k+2=Q,得k=

所以实数人的值是1或g.

故答案为：1或！

14.(2021•广西南宁三中高二月考(文))数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心

在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知AABC的顶点4(2,0)、8(0,4),其“欧拉线”的直线方程

为x-y+2=0,则AABC的顶点C的坐标.

【答案】(-4,0)

【详解】

/2+4+、

设C(m,n),由重心坐标公式得“ABC的重心为——,

2+4+〃

代入欧拉线方得手一手+2=。，整理得〃?一"+4=0①,

因为线段A8的中点为(1,2),心三=-2,所以A3的中垂线的斜率为;,

0—2/

所以线段48的中垂线方程为y-2=；(x-l),即x-2y+3=0,

x-2y+3=0|x=-l

联立,解得尸］

x—y+2=0

所以，的外心坐标为(T1),则+1)'+(〃-1)'=J(2+11+:②,

联立①②解得二；或m=0

7?=4

当加=0,〃=4时，点B、C两点重合，舍去.

所以，机=T,n=0,即“ABC的顶点C的坐标为(-4,0).

故答案为：(-4,0).

15.(2021•全国高二专题练习)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，。是

滑槽A3的中点，短杆。N可绕。转动，长杆MN通过N处的较链与QV连接，MN上的栓子。可沿滑槽A8

滑动.当点。在滑槽A3内作往复移动时，带动点N绕。转动，点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为C1,

点M的运动轨迹为C?.若QN=£)N=1,MN=3,过G上的点尸向G作切线，则切线长的最大值为

ADB

VM

【答案】715

【详解】

以滑槽AB所在的直线为X轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.

因为|QV|=1，所以点N的运动轨迹G是以。为圆心，半径为1的圆，其方程为f+y2=i.

设点N的坐标为(cos。,sin6),由于|ON|=|£W|=1,易得。(2cos，,0),

山|MN|=3可得而7=3诟，设M(x,y),

则(x—cosay-sing)=3(cosa-sine),解得M(4cos6,-2sin。),

所以点M的运动轨迹C?是椭圆，其方程为江+广=1.

164

222

设C2上的点P(4cosa,2sintz),则依尸『=16coscr+4sina=4+12cos«<16,

则切线长为4折斤=后,即切线长的最大值为厉.

故答案为：厉.

16.(2019•陕西西安市远东一中高三期中(文))唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登

山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从

山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系x0y中，设

军营所在平面区域为｛(%。"旷Wf9,河岸线所在直线方程为假定将军从3点1J)处出发，

422

只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为.最短总路程为

【详解】

设Hg修)关于直线x+2广4K的对称点为P'5,ri),

1

n-1

f(9=T21

m=一,

m——10

则2解得

17

31n=一

m+—n+—10

——2-+2x—2--4=0,

22

因为从点尸到军营总路程最短,所以A为线段与直线户2了-44)的交点，

_17

联立F=21X，得片I(4-2力，解得片黄.

x+2y-4=0,255

所以“将军饮马”的最短总路程为J(0y+(U)2-叵二”,故答案为普，府T5

V10102105510

五、解答题

17.(2021•江苏省梅村高级中学高一月考)在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方

向移动，移动速度的大小为40km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动

趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长(精

确至Ulmin)?(参考数据：0*1.414,"=2.646)

【答案】气象台将受台风影响，大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.

【详解】

解：以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，则现在台风中心

的坐标为(-300,0),

根据题意，可知，"、时后，8的坐标为(-300+40fcos45o,40rsin45。)，

即卜300+20伍20"),

因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,

所以8在圆上或圆内时，气象台将受台风影响.

所以令|AB|4250,即（-300+20扃（20扃2卜25（）2,

整理得16r-l200f+27540，解得"比二5/<t<U正+5",

44

所以1.994/48.61,

故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.

18.（2020•江苏南京市•金陵中学高一期中）已知圆M:（x-iy+y2=i,B（0j）,

C（0,/-4）（0<r<4）,直线PRPC都是圆〃的切线，且点尸在y轴右侧.

（1）过点A的直线/被圆M截得的弦长为6,求直线/的方程；

（2）当f=l时，求点尸的横坐标；

（3）求面积的最小值.

【答案】（1）x=g或24x+10y_37=0：（2）3；（3）y.

【详解】

解：（1）由题意知，圆心M到直线/的距离♦'

V42

①当直线/的斜率不存在时，/：x=g,满足圆心M到直线/的距离等于3；

②当直线/的斜率存在时，设斜率为A,贝Wy-|=（x-g）,即履-y+?=0,圆心M到直线）的距离

L±

,k+21,解得％=-胃12，则/:24x+10y-37=0；

J—+i2

综上得，直线/的方程为X=；或24x+10y-37=0

（2）当t=i时，此时以o［），c（o,-3）,又因为直线尸8,尸c都是圆用的切线，且点尸在y轴右侧.

易得PB:y=l；且尸C斜率存在，设为"，

则PC:y—nx-3,即nr-y-3=0,

M到直线PC距离注里=1,解得〃=”

Vn'+13

44

则尸C:y=§x—3,把y=l代入y=§x—3,解得x=3,

则户的横坐标为3；

(3)因为BC=4为定值，且6、C在y轴上，

所以要求△心C面积的最小值，即求P的横坐标的绝对值的最小值,

设点P的横坐标为X,,,

由题知，直线PB,PC的斜率皆存在，

设PB的斜率为机，plijPB:y=mx+t,即〃zx-y+t=O.

\m+t\,|一产

因为尸B与圆M相切，所以片=^=1,得〃?=」.

\lrn~+12t

I—产।_4)2

所以P8:y=」-x+/.同理可得小:y=>二x+f-4.

2tZ(f-4)

I-/2

)=-----x+f

2r-8r

由，L解得中

2

-----------x+r-4.r-4/+l■

)'=2(/-4)

2t2-4/+1।1

贝lj-=-2---=1+-—.

/f—4/r-4t

23

因为0</<4,所以0>/—4/NT,所以二工公,华.

当f=2时，此时S“=gxgx4若.

所以APBC面积的最小值为号.

19.(2021•江西省南城一中高一月考(理))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：X2+/=4,

点Q(O，D,过点尸(。，4)的直线/与圆。交于不同的两点A3(不在y轴上).

(1)若直线/的斜率为3,求⑷;

(2)设直线QAQB的斜率分别为配内，求证：尢+&为定值，并求出该定值；

(3)设A8的中点为M,是否存在直线,,使得|M0|=半|MQ|?若存在，求出直线/的方程；若不存在,

说明理由.

【答案】(1)生叵；(2)证明见解析，定值为0；(3)不存在，理由见解析.

5

【详解】

(1)由直线/的斜率为3,可得直线/的方程为y=3x+4,

|4|4

所以圆心O到直线/的距离为=指'所以|AB|=2

(2)由题设可知直线/必定存在，故可设直线/的方程为》="+4,

代入圆。:炉+>2=4可得方程(1+公卜2+8在+12=0(*)

设A(X|,yJ,8(孙力)，则X|+X2=J^T，为“2=潢7，

心公=皿+===+—=2八3仕+1，

X]x2X]x2IX]x2?

3x~~'k

=2k+=2k+—=2k+(-2k)=0,

x/12

i+k2

所以K+&为定值，定值为0.

(3)设点M(x(),%),由|NO|=,可得：2|用O『=3|MQ「,

即2（x；+y；）=3［x；+（%-l）］，化得：片+#-6%+3=0,

因为M为AB的中点，由(2)可得/=土产=*，^=^+4=-^,

乙1十K,1IK,

所以+3=0,即女4一2公一5=（）,

所以公=?即左=±姮.

33

又由（2）的（*）可得△=（8Q2_4-（1+公）/2>0,解得％2>3,

所以42=：不符合题意，所以不存在符合条件的直线/.

20.(2021•湖南)已知圆加经过两点A0,6)，8(2,2)且圆心M在直线y=x-2上.

(1)求圆M的方程；

(2)设E,尸是圆M上异于原点。的两点，直线OE,。尸的斜率分别为勺，k2>且&=2,求证：直

线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)(X-2)2+/=4；(2)证明见解析，定点(-4,0).

【详解】

(1)设圆”的方程为：(尢-4)2+(*-6)2=户(广>0),

(3_力+(6_4=产卜=2

由题意得：(2-a)2+(2-fr)2=r2="=0,

b=a-2r=2

圆M的方程：（x-2『+y2=4.

（2）设直线"：y=kx+b,

由.（无一2）+）'.4n（［+/卜2+（2岫—4）x+Z?2=0,

y=kx+b、'

△=（2奶-4）2-4（1+公）/=4（4-4妨-62）＞0=4妨+从＜4,

设E（x”y3网肛％）,…=',J）,"2=占’

yy（3+。）（仇+〃）k2xx+kb^x+x）+b2

•・k]k）—2}2x2

x}x2%马x}x2

-妨（2奶-4）+〃（l+公）4k+h

=2,

b2b2b

l+H

：.4k=b,代入丫=履+6得y=Z(x+4),

直线所必过定点(-4,0).

21.(2021•浙江永嘉中学高一期中)在直线/上任取不同的两点4,B,称荏为直线/的方向向量与直线

/的方向向量垂直的非零向量称为/的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线4是函数y=2x-4的图象,

直线4是函数y=-1+4的图象.

(1)求