第04讲直线的两点式方程（知识清单5类热点题型讲练分层强化训练）（原卷版）

第04讲直线的两点式方程课程标准学习目标①理解与掌握两点确定一条直线的公理。②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。③理解与掌握直线的截距式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方程。通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.知识点01：直线的两点式方程已知条件（使用前提）直线上的两点，（，）（已知两点）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在且不为0；当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（

）A．＝B．＝C．D．＝知识点02：直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.【即学即练2】（2324高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（

）A． B． C．2 D．4知识点03：中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．题型01直线的两点式和截距式方程辨析【典例1】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）下列说法中错误的是（

）A．不过原点的直线都可以用方程表示B．若直线，则两直线的斜率相等C．过两点，的直线都可用方程表示D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直【典例2】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（

）A．过任意两点，的直线方程可以写成B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1【变式1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（）A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B．与是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为【变式2】（多选）（2324高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（

）A．直线的倾斜角越大，斜率越大B．过点的直线方程是C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条D．直线在y轴上的截距是3题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）【典例1】（2324高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2324高二·全国·课堂例题）经过两点，的直线方程是.【典例3】（2324高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程．【变式1】（2324高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为.【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.【变式3】（2324高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程．题型03直线的截距式方程【典例1】（2324高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2324高二上·山东济宁·期中）坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为.【典例3】（2324一年级·全国·单元测试）直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程．【变式1】（2324高二上·江苏南通·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（

）A．4条 B．2条 C．3条 D．1条【变式2】（2324高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．【变式3】（2324高二·全国·课后作业）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的截距式方程．题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题【典例1】（2324高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)直线的斜率为；(2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为.【典例2】（2324高一下·江苏南京·开学考试）求分别满足下列条件的直线l的方程．（1）经过直线和直线的交点且与直线垂直；（2）与直线平行且与坐标轴围成的三角形面积为．【变式1】（2324高一上·甘肃张掖·期末）求过点且分别满足下列条件的直线方程（1）在两个坐标轴上的截距相等.（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.【变式2】（2324高二·江苏·课后作业）已知直线l经过点P(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.【变式3】（2324高一下·江西九江·期末）（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程.题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题【典例1】（2324高三·全国·课后作业）过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为（）A． B． C． D．【典例2】（2324高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为．【典例3】（2324高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．【变式1】（2324高二上·全国·课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为，此时的直线方程为．【变式2】（2324高一下·重庆沙坪坝·期中）已知点M为直线与直线在第一象限的交点，经过点M的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，则当取得最小值为时，a的值为.【变式3】（2324高二·全国·课堂例题）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使面积最小的点的坐标.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2324高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（

）A．，2 B．，2 C．， D．，2．（2324高二上·江苏南通·期中）直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或4．（2122高二·全国·课后作业）过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是（）A． B．C． D．5．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（

）A． B．或C． D．或6．（2324高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（

）A．2 B． C． D．7．（2324高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（

）A． B． C． D．8．（2021高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2324高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（

）A． B． C． D．10．（2122高二上·江苏无锡·期中）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（

）A． B． C． D．三、填空题11．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．12．（2324高二上·陕西西安·期中）已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为．四、解答题13．（2324高二上·全国·课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点，斜率为3；(2)经过点，斜率为；(3)经过点，斜率为0；(4)斜率为，在y轴上的截距为；(5)斜率为，与x轴交点的横坐标为.14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．B能力提升1．（2324高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为，当的面积取最小值时直线l