高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件113正弦定理与余弦定理的应用

11.3正弦定理余弦定理的应用

学习目标1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．情景引入在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望星空会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？其实，早在1671年，两个法国科学家就测出了地球与月球之间的距离大约为.情景引入好望角柏林月球情景引入在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望星空会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？其实，早在1671年，两个法国科学家就测出了地球与月球之间的距离大约为.为检测云龙湖水质，要在A，B两处设置滤网，某人在通道上选点C，测得CA=3百米，CB=2百米，，求滤网AB的长.ABC3260°情景引入某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?.C现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B,C两点的距离?.B.A160°45°情景引入从天文测量到精密仪器的制造,从治水到索道的修建，再到河两岸的土地丈量，······人们都离不开对几何图形的测量、设计、和计算.而几何图形的计算很多都是通过解三角形来完成的.正弦定理，余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，因此在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着非常广泛的应用.ABC3260°数学应用题型一：距离问题数学建构方法归纳：(1)画示意图，弄清题目条件．根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．(2)选准入手点．找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解．概念形成1．实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做___________;视线在水平线下方所成的角叫做___________.仰角俯角概念形成(2)方向角与方位角①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做_______．目标方向线的方向一般用________________”来表示.前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示:北偏东60°、北偏西75°、南偏西15°、南偏东40°.②指北的方向线_______时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．方向角某偏某多少度顺概念形成(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．坡角数学应用例2：在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方,在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高．解：如图所示，山高为CD，AB＝300.由题意知∠ADB＝45°，∠DAC＝30°,∠DAB＝60°，∴∠ABD＝180°－(45°＋60°)＝75°.题型二：高度问题数学建构数学应用例3：某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达A城?解：如图所示，假设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得题型三：多三角问题数学建构方法归纳：多个三角形的求解：(1)将平面图形合理地分解为若干三角形．(2)注意直角三角形、等腰三角形、等边三角形中的角角、边边关系、三角形外角及内角关系以及三角形内角和定理．(3)将问题归结到一个或几个三角形中，结合三角恒等变换,合理地运用正、余弦定理求解．数学应用练：如图所示，在河岸上可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离．数学应用练：如图所示，在河岸上可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离．数学应用例4.科考队从C点出发登陆A岛完成科考任务后原路返回至E处时，突然接收到附近某渔船发出的求救信号.科考队立即测得该渔船正在方位角315o，距离E处10海里的G处，并测得该渔船正以方位角255o的方向，以10海里/h的速度前行，科考船立即以

海里/h的速度前去营救，求科考船的航向和靠近渔船所需的时间.北FGE北题型四：速度问题数学建构方法归纳：速度与时间的求解办法：(1)出现速度，设时间．(2)出现时间，设速度．(3)速度时间的乘积是距离．数学应用∴∠BCD＝30°.答：缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.数学应用例5.鉴于AC海域附近有着丰富的海洋资源，科考人员决定沿着AC建立如图海洋保护区ACNM,其中ACNM在同一平面内且∆MNC为等边三角形.已测量AC为30海里，AM为15海里,试求该保护区面积的最大值.ACMNα题型五：最值问题数学建构方法归纳：最优解问题处理办法：(1)利用正弦定理余弦定理面积公式建立函数关系．(2)自变量可以是角或边长，也可以是速度或时间．数学应用练.如图所示，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA＝2，点B为半圆上的一个动点，以AB为一边作等边△ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？.解：设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα，于是，四边形OACB的面积为数学建构课堂达标1.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5nmile，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为___nmile.2.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝

x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40