第11讲基本不等式的证明（三大题型归纳易错分层练）（原卷版）

第11讲基本不等式的证明【苏教版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01基本不等式的推导与证明 2题型02用基本不等式证明不等式 4题型03用基本不等式求最值 7易错归纳 1分层练习 23夯实基础 12能力提升 18创新拓展 18基本不等式的推导与证明基本不等式：如果a，b是正数，那么eq\r(ab)________eq\f(a＋b,2)，当且仅当________时，等号成立．我们把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)称为基本不等式．对于正数a，b，我们把____________称为a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为a，b的________________．注意点：(2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等题型01基本不等式的推导与证明【解题策略】在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．一正：a，b均为正数；二定：不等式一边为定值；三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解【典例分析】【例1】(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(2)不等式a＋1≥2eq\r(a)(a>0)中，等号成立的条件是()A．a＝0 B．a＝eq\f(1,2)C．a＝1 D．a＝2（3）下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)①若x>1，则x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；②若x<0，则x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4；③若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.【变式演练】【变式1】（2223高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2324高一上·江苏·课前预习）一般地，对于正数，总有，当且仅当时等号成立，这个不等式常称为基本不等式.【变式3】（2223高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立．题型02用基本不等式证明不等式【解题策略】利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”【典例分析】【例2】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.【变式演练】【变式1】（2324高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数.求证：.【变式2】（2324高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数.(1)若，求证：；(2)若，求证：.【变式3】（2324高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：；（2）求证：．题型03用基本不等式求最值【解题策略】拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件【典例分析】【例3】（2023高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式演练】【变式1】（2324高一上·广东广州·期中）设均为正数，且，则的最小值是．【变式2】（2324高一上·天津·期中）已知，，且，则的最小值为．【变式3】（2223高一上·云南大理·期末）设，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.易错点1忽略变量的取值范围致错【例1】求的最大值.易错点2忽略定值的条件致错【例2】[黑龙江大庆实验中学2023高一月考]已知，则的最小值为（）易错点3多次应用基本不等式致错【例3】已知，，且，求的最小值.【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（

）A．6 B．9 C． D．2．（2122高二上·广西桂林·阶段练习）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（

）A．B．C．D．3．（2021高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．4．（2021高二下·云南昭通·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2324高一上·广东珠海·期中）若，则（

）A． B．C． D．三、填空题7．（2324高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式应用条件

公式

取等条件8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则．9．（2122高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式：①；②；③；④.其中正确的不等式有.（填上所有正确的序号）四、解答题10．（2324高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：；（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.11．（2021高一上·江苏南通·阶段练习）（1）描述并证明基本不等式；（2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：；【能力提升】一、单选题1．（2021高一上·江苏常州·期中）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．2．（2021高一·全国·单元测试）已知，均为正数，且，则（

）A． B．C． D．3．（2122高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．4．（2021高一上·全国·单元测试）若a，b，，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2324高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．6．（2324高一上·浙江金华·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．7．（2223高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2324高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是．①若，则；②若，则；③若，则.9．（2324高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式的公式为，此公式的适用范围是；当且仅当时等号成立.四、解答题10．（2324高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数，(1)试比较与的大小，并证明；(2)当时，求证：．11．（2324高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题:(1)“”是“”的充要条件；(2)“”是“”的充分条件.【创新拓展】一、单选题1．（2122高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件二、填空题2．（2021高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）给出下列不等式：①，②，③，其中恒成立的是