三角函数图象与性质的八大应用讲义高三数学一轮复习

2.三角函数的图像与性质应用中的八大核心考点一.基本原理1.正弦函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函数，周期是,最小正周期为.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：减区间：(6).对称性:对称轴：，对称中心：2.正弦型函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数，周期是.(4).奇偶性:当时为奇函数；当时为偶函数.(5).单调性:当时：令，求解增区间.令，求解减区间.当时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令，求解对称中心坐标.3.一些复杂的性质①.零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍；②.对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍；③.若在区间上单调,则必要条件是：区间长度不超过半个周期,即,充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即综上可得,④.对称轴公式：(1).(2).⑤.中心对称公式：(1).，(2).⑥.最值表示：二．典例分析题型1.识图例1．函数的图象可能是（

）A． B．C． D．解析：因为定义域为，对于AB，，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；对于C，时，，所以，所以，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.故选：D.题型2.由图象的基本性质求参数（解析式）这里的基本性质主要指的是函数图像与坐标轴交点，对称轴等基本性质.例2.（2020全国1卷.）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.B.C. D.解析：由图可得：函数图象过点，又它是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：，故的最小正周期为，故选：C.点评：再利用图象求参数时，要注意“升降零点”的概念，此题中就是余弦函数上升中的零点，这样做的好处就是可以在一个周期内考虑问题，从而有效地缩小参数范围.再看同款下例.例3.（2021甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．解析：由图可知，即，所以；由降零点可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.题型3.由图像的几何性质求解析式这里指的是依托于图像的对称性等性质进一步构造几何图形来刻画的关系，相较于上一类，这类题目具有一定的综合性.例4．若函数与图象的任意连续三个交点构成等腰直角三角形，则正实数（

）A． B． C． D．解析：作出函数和的图象，设两图象相邻的3个交点分别为A，B，C，如图所示，作，垂足为D，易知，又为等腰直角三角形，所以，所以的最小正周期，即，所以.故选:A.

题型4.图像对称轴（中心），周期公式的综合应用例5.（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为．若，且的函数图象关于点中心对称，则A． B． C． D．解析：，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．例6.（2022全国乙卷）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_________.解析：由于，故，且，故，，故的最小值为3.例7．已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.解析：由题意可得：的最小正周期，∵，且，则为的一条对称轴，∴，解得，又∵，则，故，∵，则，若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，故的取值范围是.题型5.图象平移下面看到函数图象的平移问题，这也是三角函数图象中的经典考题.例8.（2021全国乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则A. B.C. D.解析：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以.注：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.题型6.三角函数加绝对值全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯，本文通过对几道常见的带绝对值的三角函数性质研究，力争探索出一些解题的通性通法，提高解题能力.此类问题的解题顺序可以归纳为：①.分析奇偶性，周期性；②.去绝对值，写成分段函数；③.画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值.我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.二．典例分析例9．（2019全国卷一）关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解析：的定义域为，因为，故为偶函数，结论①正确，再分析周期性，周期为.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当，当，故当时，故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.【答案】A例10.已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．解析：由，所以函数的最小正周期是，于是函数的最小正周期是，因此函数的最小正周期为，所以，则，因此．由于对任意的恒成立，所以在处取得最小值，于是，即，因为，所以的最小值为．故选：C例11.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④解析：因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选：D.题型7.三角函数求w例12.已知，函数在上单调递减，求的取值范围.分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）是最大减区间的子区间.解析：，由于，故欲使得在区间递减，只需使得在递减，即可解得.例13.已知区间在上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．解析：设，则，有两个零点可得，即。又因为有三个极值点，，所以，所以，综上得，即选C．例14．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④解析：当时，，∵在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若在单调递增，则，即，∵，故③正确．故选D例15．已知函数在区间上单调，且，，则的最大值为A．7 B．9 C．11 D．13解析：由题意，函数在区间上单调，则，解得，所，即，又由，则，即，解得.当时，此时，则，又由，即，解得，即，此时函数在区间上不单调，不满足题意.当时，此时，则，又由，即，解得，即，此时函数在区间上是单调函数，满足题意，所以的最大值为，故选B.题型8.实际应用中的三角函数图像建构例16．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（

）.

A． B． C．π D．解析：由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，因为，所以令，即，故选：D.例17．一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．解析：以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，依题意，设函数解析式为，显然，则，，函数的周期，则，因当时，，即有，则，于是得，所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.故选：C三．习题演练1．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．解析：令，则，令，则，则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：，解得：.故选：B2．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由得，而当，时，，又，函数在内有且仅有两个零点，于是得，解得，所以的取值范围是.故选：D3．（多选题）已知函数图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．，B．直线为的图象的一条对称轴C．若在单调递增，则的最大值为D．对任意，关于的方程总有奇数个不同的根解析：选项A.由题意可知，，得，，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，因为函数的图象关于轴对称，所以,得，因为，所以

，所以，故A正确；选项B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确；选项C.当时，，由题意可知，，，，得，，只有当有解，得，所以的最大值为，故C错误；选项D.，所以函数关于对称，而也关于对称，所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称，所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确.故选：ABD4．（多选题）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．函数的周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递减D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到解析：观察图象可得函数，，的最小值为，故设函数的最小正周期为，由图象知，则，故，故A正确；由可得，又，所以，所以，因为，故B错误；由，可得，，所以的单调递减区间为，取知，函数在上单调递减，，故C正确；的图像向左平移个单位后得，故D错误．故选：AC．5．（多选题）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B．若，则当时，的取值范围为C．若在区间上恰有3个极大值点，则D．若在区间上单调递减，则解析：由题可得对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；对于B，，，则，，所以，B正确；对C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；对于D，，则，因为单调递减，所以，，且即，解得，，且，当时，，当时，，D错误.故选：BC.三．习题演练1.（2024年新课标全国Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【详解】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为