全国高中数学联赛试题及模拟试题集-全国高中数学联赛模拟试题(一)

企国名中数老寐赛模加裁敢(一)

(命题人：吴伟朝)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、方程6X(5a2+/)=5c2满足cW20的正整数解(a,b,c)的个数是

(A)1(B)3(C)4(D)5

r2

2、函数y=―-(xGR,xWl)的递增区间是

(A)x22(B)xWO或x»2

(C)xWO(D)xWl-后或及

3、过定点P(2,l)作直线/分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使aAOB(。

为原点)的面积最小，贝卜的方程为

(A)x+y-3=0(B)x+3y-5=0

(C)2x+>-5=0(D)x+2y—4=0

4、若方程cos2x+百sin2x=a+l在0,—上有两个不同的实数解x,则参

L2」

数a的取值范围是

(A)OWaVl(B)-3《<1

(C)a<\(D)0<a<l

5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

(A)42(B)45(C)48(D)51

6、在1,2,3,4,5的排列中，满足条件42>。3,43VM。4

>。5的排列的个数是

(A)8(B)10(C)14(D)16

二、填空题：(每小题9分，共54分)

1、国表示不大于x的最大整数，则方程;X*+X]=]9X+99的实数解x

是.

2

2、设m=1,an+i—2an+n,则通项公式a“=.

3、数799被2550除所得的余数是.

4、在△ABC中，ZA=—,sinB=—,则cosC=______________.

313

5、设屋6是实数，使得关于x的方程/一(2k+l)x+F—1=0的两个根为

sin。和cosa则由勺取值范围是.

6、数(5+后广(〃£N)的个位数字是.

三、(20分)

已知x、y、z都是非负实数，且x+y+z=L

求证:x(1—2x)(1—3x)+y(1—2y)(1—3y)+z(1—2z)(1—3z)0,并确

定等号成立的条件.

四、(20分)

(1)求出所有的实数a,使得关于x的方程?+(a+2002)x+«=0的两根

皆为整数.

(2)试求出所有的实数a,使得关于x的方程/+(—a2+2a+2)x—2/—

2a=0有三个整数根.

五、(20分)

试求正数r的最大值，使得点集T={(x,y)|x、y^R,且》2+。一

</}一定被包含于另一个点集S={(x,y)|x、y£R,且对任何66R,都有

cos29+xcose+y20}之中.

第二试

一、(50分)

设a、b、cWR,b#ac,aW-c,z是复数，且z?—(a—c)z—b=0.

求证：-(a+c、)z=i的充分必要条件是(a—c)2+46W0.

ac-h

(50分)

如图，在△ABC中，NA8C和NACB均是锐角,

BD

。是边上的内点，且AO平分NBAC,过点。分别向两条直线A6、AC

作垂线OP、DQ,其垂足是P、Q,两条直线。尸与8。相交与点K.求证：

(1)AK±BC；

(2)AK<AP=AQ<AABC,其中S^BC表示△ABC的面积.

BC

三、（50分）

给定一个正整数〃，设〃个实数处,。2,…，斯满足下列n个方程:

n%4

(j=l,2,3,-,n).

E2/77

/=1i+j

确定和式的值（写成关于〃的最简式子）.

白2»+1

参考琴嗓

第一试

一、选择题:

题号123456

答案CCDABD

二、填空题：

1181或1587.\2°2

1>----或----；2>7X2n-n—2〃一3；

3838

1/5有-12

3、343；4、-------；

26

5、{4用2〃4十诫2”不一?，«eZ}；6、1（〃为偶数）；7（〃为奇数）.

111

x=y=—„"='=2或y=z=-

三、证略’等号成立的条件是-2或<1•

2=0y=02=0

四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-I960,-2664,一4000,-2040；

(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax-4A/^".

第二试

一、证略（提示：直接解出一",通过变形即得充分性成

2

立，然后利用反证法证明必要性）.

二、证略（提示：用同一法，作出8C边上的高AR,利用塞瓦定理证明AR、BQ、

CP三线共点，从而AK_L8C；记AR与尸。交于点T,则2s.=4R>AT>

AQ=AP,对于可证NAPKVNAKP）.

1

三、S=一+1.

(2〃+1)2

全国裔中数老寐赛模料信奥（二）

（命题人：江厚利审题人：李潜）

第一试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、已知集合A=<(x,y)^~~|=a+l>,5={(x,y)|(a2-l)x+(a-l)y=若

4口8=0，则。的所有取值是

(A)-1,1(B)-1,

2

(C)±1,2(D)±1,

2、如图1,已知正方体ABC。一AiBiGQ,点

在ABi、BC,±,S.AM=BN.那么，

®AAi±MN；

②AC〃MN；

③MN〃平面AiBiGQ；

④MN与4G异面.A

以上4个结论中，不正确的结论的个数为'图1।

(A)1(B)2(C)3(D)4

3、用工与斯分别表示区间［0,1)内不含数字9的九位小数的和与个数.则

lim区的值为

…S“

3579

(A)-(B)-(C)-(D)-

4444

4、首位数字是1,且恰有两个数字相同的四位数共有

(A)216个(B)252个(0324个(D)432个

5、对一切实数x,所有的二次函数/(x)=ax2+bx+cQa<b)的值均为非负

实数.则士巴-的最大值是

a+b+c

(A)-(B)-(C)3(D)2

32

22

6、双曲线三-2=1的一个焦点为为，顶点为4、①，P是双曲线上任意

ab

一点.则分别以线段PF】、A1A2为直径的两圆一定

(A)相交(B)相切

(C)相离(D)以上情况均有可能

二、填空题(每小题9分，共54分)

,7+j

1、已知复数Z1=2+i,2z,=m—.若△A6C的3个内角NA、/B、

⑵+1)-芍

NC依次成等差数列，且"=cosA+2icos25,则M+Z2I的取值范围

是.

2、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线/,分别交x、y轴的正半轴于A、

B两点.那么，尸屋十尸)取最小值时，直线/的斜率为.

3、若△A6C是钝角三角形，则arccos（sinA）+arccos（sin6）+arccos（sinC）的取

值范围是.

4、在正四面体A8CO中，点M、P分别是AO、CO的中点，点N、。分别

是△BCO、AABC的中心.则直线MN于PQ的夹角的余弦值为.

5、在（«+2片的展开式中，x的幕指数是整数的各项系数之和是.

6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集AUBUC=｛1,2,3,…则满足

条件的三元有序集合组（A,8,0的个数是.

三、（20分）

设p>0,当P变化时，Cp：y2=2px为一族抛物线，直线/过原点且交

。于原点和点A。.又M为x轴工异宇原点的任意点，直线MA2交Cp于点

A。和场.求证：所有的点跖在同一条直线上.

四、（20分）

对于公差为d（dWO）的等差数列｛为｝,求证：数列中不同两项之和仍是这

一数列中的一项的充要条件是存在整数1,使ax=md.

五、（20分）

求最大的正数2使得对任意实数。、b,均有

Aa2b2(a+byW(a2+ab+h2^f.

第二试

一、（50分）

如图2,。。切△ABC的边A6于点O,切边AC于点C,M是边8c上

一点，AM交CD于点、N.求证：M是8C中点的充要条件是ONLBC.

二、（50分）

求出能表示为“=（"+力+，'）一（a、氏cCZ+）的所有正整数〃.

abc

三、（50分）

在一个（2"-l）x（2"-1）（〃22）的方格表的每个方格内填入1或一1,如

果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这

种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.

参考答嗓

第一试

一、选择题:

题号123456

答案DBDDAB

二、填空题:

4ab

2、

a

1

4、

18

6、7”.

三、证略.

四、证略.

五、4ax年77

第二试

一、证略；

二、1,2,3,4,5,6,89

三、1种(每空填1).

全国方中剧学藤赛模加曲奥(三)

(命题人：吴伟朝)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、若集合S={〃|〃是整数，且22〃+2整除2003“+2004},则S为

(A)空集0(B)单元集(C)二元集(D)无穷集

2、若多项式f—x+1能除尽另一个多项式/+/+仆+灰q、b皆为常数).则

a+b等于

(A)0(B)-1(C)1(D)2

3、设。是整数，关于x的方程工2+5一3废+/=0的两个实根为修、通，且

tan(arctanxi+arctanx2)也是整数.则这样的a的个数是

(A)0(B)1(C)2(D)4

4、设一个四面体的体积为匕，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其

体积为V2.则匕■为

匕

i9

(C)常数，但不等于工和4

23

(D)不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其

余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数.所有这样的

递降正整数的个数为

(A)1001(B)1010(C)1011(D)1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点

组的个数是

(A)36(B)37(C)48(D)49

二、填空题：(每小题9分，共54分)

1、若直线xcose+ysin9=cos2。-sin2e(0V6V7T)与圆x?+y2=工有公共点，

则阴勺取值范围是.

2、在平面直角坐标系尤0y中，一个圆经过(0,2)、(3,1),且与x轴相切.则

此圆的半径等于.

3、若常数。使得关于x的方程

lg(x2+20x)—lg(8x—6a—3)=0

有惟一解.则。的取值范围是.

r2

4、/(x)=—+xcosx+cos(2x)(xGR)的最小值是.

8

5、若女是一个正整数，且2k整除

C，6+C；0063a…+CK3,+…+C牒3?。。3

则k的最大值为.

6、设A8CD为凸四边形，AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面积S的取

值范围是(a力］.则。+匕=.

三、(20分)

设椭圆的左右焦点分别为8、F2,左准线为/，点P在椭圆上.作尸Q_L

I,。为垂足.试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P,使得「。r出

为平行四边形？说明理由(答案用关于离心率e的等式或不等式来表示).

四、(20分)

设ao=l,ai=2,an+i=2an.i+n,“=1,2,3,….试求出a”的表达式(答

案用有限个关于〃的式子相加的形式表示，且项数与〃无关).

五、(20分)

试求出所有的有序整数对(a,6),使得关于x的方程x4+(2b-a2)x2—2ax

+从一1=0的各个根均是整数.

第二试

一、（50分）

点P在△ABC内，SLZBAP^ZCAP,连结6P并延长交AC于点Q.设

N6AC=60°且上+!」

BPPCPQ

求证：P是△ABC的内心.

二、（50分）

b

设正数。、人满足。＞且使得关于x的不等式

＞Jx—12aJx+1—b

总有实数解.试求式a力）=。2—3帅+/的取值范围.

三、（50分）

试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整

数四,。2,…，伙（允许相等），必定存在相应的左的整数Xg,…网（也允许相

等），且|却＞2«=1,2,㈤+闷+…+网会。，使得2003整除xg+x2a2

+…+x*a«.

参考答嗓

第一试

一、选择题:

题号123456

答案CCBADC

二、填空题：

1、HU停用；2、15±66

5、2004；6、27210.

四、。2"=2"-2—2〃-3；42"+i=3X2"+i—2〃-4.

五、（a,b）=⑵一1,产一/—1）（V/£Z）

第二试

一、证略（提示：将条件变形为£9・必+1=",然后应用正弦定理，进行三角

PAPBPQ

变换，得N8PC=120°,利用同一法即证）；

二、(一8,-1).

全国裔中赵学赛赛模料能奥(8)

(命题人：刘康宁)

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)：

1、函数/(%)=是奇函数的充要条件是

|x+tz|-a

(A)一1《VO或OVaWl(B)后一1或心1

(C)a>0(D)a<0

2、已知三点4(-2,1)、8(—3,—2)、。(一1,一3)和动直线/：y=kx.当点A、

8、C到直线/的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是

(A)点A在直线/上(B)点B在直线/上

(C)点。在直线/上(C)点A、B、。均不在直线/上

3、如图，已知正方体ABCD-AXB\C\D\,过顶点Ai

在空间作直线I，使I与直线AC和BCi所成的角

都等于60°.这样的直线/可以做

(A)4条(B)3条

(C)2条(D)1条

4、整数的〃=C黑两位质因数的最大值是

(A)61(B)67

(C)83(D)97

5、若正整数。使得函数y=/(x)=x+J13-2办的最大值也是整数,则这个

最大值等于

(A)3(B)4(C)7(D)8

6、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1,

再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9

后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连

续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列

1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由1

开始的第2003个数是

(A)3844(B)3943(C)3945(D)4006

二、填空题(每小题9分，共54分)：

1、在复平面上，的顶点A、B、。分别对应于复数z+1、2z+l、(z

+1-A为直角顶点，且⑶=2.设集合{训z"'eR,机£N+},P={x\x

=《，m&M}.则集合「所有元素之和等于.

2、函数段）=|sinx|+si/2x+|cosx|的最大值与最小值之差等于

3、关于x的不等式

x2+（2a2+2）x—a2+4tz—7

x-++4ti-5）x-ci~+4ci—7

的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4,则实数。的取

值范围是.

4、银行计划将某项资金的40%给项目“投资一年，其余的60%给项目N.预

计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的

年利润.年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为

使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%,

则给储户的回扣率的最小值是.

5、已知点（。,6）在曲线arcsinr=arccosy上运动，且椭圆ax2+by2=\在圆x2

2

的外部（包括二者相切的情形）.那么，的取值范围

忑arcsinb

是.

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a,

球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为a、生则

tan（a+0的值是.

三、（20分）

△ABC的三边长a、b、c（aWbWc）同时满足下列三个条件

(i)。、b、c均为整数；

(ii)a、b、c依次成等比数列;

（iii）a与c中至少有一个等于100.

求出的所有可能的解.

四、（20分）

在三棱锥O-A6C中，AD=a,BD=b,AB=CD=c,且ND46+NR4C

+ND4C=180°,ZDBA+ZABC+ZDBC=180°.求异面直线AO与8c

所成的角.

五、（20分）

设正系数一元二次方程数2+云+。=0有实根.证明:

4

（1）max{a,b,c}2—（a+b+c）；

(2)min{o,Z?,c}W—(G+5+C).

4

第二试

一、（50分）

已知AABC的外角ZEAC平分线与△ABC的外接圆交于。，以CO为直

径的圆分别交BC、C4于点P、Q.

求证：线段PQ平分aABC的周长.

二、（50分）

已知x（）=1,Xi=3,xn+\—6x（l—xn.i（〃GN+）.

求证：数列｛%“｝中无完全平方数.

三、（50分）

有2002名运动员，号码依次为1,2,3,…，2002.从中选出若干名运

动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人

的号码数的乘积.那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选

取方案，并简述理由.

永考率案

第一试

一、选择题:

题号123456

答案CDBACB

二、填空题：

1、-；2、V2；

7

3、［1,3］；4、10%；

u「乃万乃1/4柩R

|_64)(43」3a

三、可能解为(100,100,100),(100,110,121),(100,120,144),(100,130,169),

(100,140,196),(100,150,225),(100,160,256),(49,70,100),(64,80,100),

(81,90,100),(100,100,100).

\b2-c2\

四、arccos---；~~1.

五（1）证略（提示：令a+b+c=f,分和4/?〈与4讨论）；

99

（2）证略（提示：分和讨论）；

44

第二试

一、证略；

二、证略（提示：易由特征根法得X„=lp342A/2）4-（3-2-\/2）,设为=

■^=^（3+2-72）"-（3-2A/2）,于是x；-2y：=1,原结论等价于方程X4-27

=1无整数解，由数论只是可证）.

三、43.

企国富中数君寐赛模料徐敢(A)

(命题人：罗增儒)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、空间中〃(〃23)个平面，其中任意三个平面无公垂面.那么，下面四个

结论

(1)没有任何两个平面互相平行；

(2)没有任何三个平面相交于一条直线；

(3)平面间的任意两条交线都不平行；

(4)平面间的每一条交线均与〃-2个平面相交.

其中，正确的个数为

(A)1(B)2(C)3(D)4

2、若函数y/x)在口⑸上的一段图像可以近似地看作直线段，则当ce(a,b)

时，犬c)的近似值可表示为

(A)儿)+阳

-2

(C)仅一，)/(2+(；-。)/⑸(D)/(a)—_[/⑸一/⑷]

[b-a)b-a

3、设Q>6>C,Q+6+C=1,且〃2+。2+02=1,则

(A)a+b>1(B)a+b=\(C)a'\-h<1

(D)不能确定，与〃、。的具体取值有关

4、设椭圆W+A=1的离心率6=无，已知点p(o,3］到椭圆上的点的最远

a2b22I2)

距离是2,则短半轴之长q

4

(A)—(B)-(C)-(D)-

16842

5、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等

差数列.那么，这样的三元子集A的个数是

(A)C2003(B)C100l+C]0O2

(C)A100)+AI002(D)A2003

6、长方体ABC。-AiSGOi，AG为体对角线.现以A为球心，AB.AD.

A4、AG为半径作四个同心球，其体积依次为匕、外、3、匕，则有

(A)V4<Vi+V2+V3(B)V4=VI+V2+V3

(C)V4>VI+V2+V3(D)不能确定，与长方体的棱长有关

二、填空题：（每小题9分，共54分）

•33

1、已知生注="等=左，则人的取值范围为___________________.

sinpcos/

2、等差数列｛%｝的首项m=8,且存在惟一的k使得点伏,四）在圆x2+/=102上，

则这样的等差数列共有个.

3、在四面体P—ABC中，PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且“Vb,贝H的取

b

值范围为.

4、动点A对应的复数为z=4（cos什isin如定点B对应的复数为2,点C为

线段A8的中点，过点C作AB的垂线交0A与。，则。所在的轨迹方程

为.

2003

5、之3«被8所除得的余数为.

k=]

6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为一.

三、（20分）

已知抛物线y2=2px（p>0）的一条长为1的弦AB.求A3中点M到y

轴的最短距离，并求出此时点用的坐标.

四、（20分）

单位正方体ABC。-A由中，正方形A8CO的中心为点〃，正方

形AiSGd的中心为点N,连AN、BiM.

（1）求证：AN、为异面直线；

（2）求出AN与的夹角.

五、（20分）

对正实数。、b、c.求证：

yla2+Sbcy/b2+8acVc2+8ab

--------d----------1---------39.

abc

第二试

一、(50分)

设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，。为APAB

的内切圆与边AB的切点.乘积PA•PB的值随着长方形ABCD及点P

的变化而变化，当PA•PB取最小值时，

(1)证明：AB22BC；

(2)求AQ-BQ的值.

二、(50分)

给定由正整数组成的数列

a,==2、

\12(心1).

4“+2=""+1+”“

(1)求证：数列相邻项组成的无穷个整点

(田㈤，(的㈤，…，(侬1M2。，…

均在曲线x2+xy-y2+l=0上.

(2)若设/)=》"+/*-斯¥-斯一1,g(x)=x2-x-l,证明：g(x)整除於).

三、(50分)

我们称A4,…4为集合4的一个〃分划，如果

(1)4U4U…U4,=A；

(2)4C\A^0,lWi<jWn.

求最小正整数m,使得对A={1,2,…,〃?}的任意一个13分划

442,…413,一定存在某个集合4(1WiW13),在4中有两个元素a、b

Q

满足

8

永考卷案

第一试

一、选择题:

题号123456

答案DCACBC

二、填空题：

1、(…他团；2、17；

5、4；6、117600.

2

四、(1)证略；(2)arccos—.

3

五、证略.

第二试

一、(1)证略(提示：用面积法，得最小值为2,此时NAPB=90°)；

(2)AQ•BQ=\.

二、证略(提示：用数学归纳法).

三、m=l17.

全国方中懿老联赛核加彼观(^)

(命题人：秦永苟春鹏)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、在复平面上，非零复数ZI、Z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上,

■■_

Z1,z2的头部为零，argzi=—,则Z2=

已知函数/(x)=logax-x+—在［1,2］上恒正，则实数。的取值范围是

_L23,+8

258

25

2，+°°

258

3、已知双曲线过点M(-2,4),M4,4),它的一个焦点为尸0,0),则另一个焦

点尸2的轨迹方程是

(A)=1或尸1(、工。)

(B)—~~—=1(x#0)或x=l(产0)

1625

(C)("4)+&T)=](>±0)或(xWO)

2516

(D)—~~—=1(x70)或y=l(xWO)

1625

4、已知正实数人匕满足a+b=l,则用二川+9+川+2匕的整数部分是

(A)1(B)2(C)3(D)4

5、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某•

角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是

(A)9米(B)10米(C)12米(D)15米

6、一条铁路原有机个车站，为适应客运需要新增加〃个车站(〃>1),则

客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站需要两种不同的车票)，那么

原有车站的个数是

(A)12(B)13(C)14(D)15

二、填空题：（每小题6分，共36分）

1、长方形A8C0的长A8是宽8c的2石倍，把它折成无底的正三棱柱，使

AO与重合折痕线E尸、G”分别交原对角线AC于M、N,则折后截

面AMN与底面AFH所成的角是.

2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、。的对边，且满足/+/=2/,则角。

的最大值是.

3、从盛满。升（a>l）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1

升混合溶液后又用水填满，如此继续下去.则第n次操作后溶液的浓度

是.

4、已知函数Ax）与g（x）的定义域均为非负实数集，对任意x'O,规定

/（x）*g（x）=min{/（x）,gQ）}.若“x尸3-x,g（x尸-2x+5,则>/（x）*g（x）的最大

值为.

5、从1至U100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100,

则可有不同的取法.

6、若实数a>0,则满足/_/+。=2的。值属于区间：①（0,痴）；②（啦,4）；

③的什）；@（0,V2）.其中正确的是.

三、（20分）

求证：经过正方体中心的任--截面的面积不小于正方体的一个侧面

的面积

四、（20分）

直线Ax+8x+C=0（A•B-CW0）与椭圆b2^+a2y2=。2》2相交于p、Q

两点，。为坐标原点，且OP，。。.求证：

c2A2+B2

五、（20分）

某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名

售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，

根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元

营业额所得利润如表2.商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时

适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且

满足19WcW19.7,又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万

元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货

员？

表1各部每1万元营业额所需人数表

部门人数

百货部5

服装部4

家电部2

表2各部每1万元营业额所得利润表

部门利润

百货部0.3万元

服装部0.5万元

家电部0.2万元

第二试

一、（50分）

矩形A8CO的边以45为直径在矩形之外作半圆，在半

圆上任取不同于A、B的一点尸，连PC、PO交AB于E、F,若AE2+BF2=AB2,

试求正实数4的值.

二、(50分)

若qWR-(i=l,2,,,•,«),S=£勾，且2W"WN.

/=1

求证：之/力上汽。〉

hi3一4n-\.&=]

三、（50分）

无穷数列｛.｝可由如下法则定义：,+1=|1-"2金||,而OWc0.

（1）证明：仅当Q是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列.

（2）存在多少个不同的C1值，使得数列自某项之后以T为周期（对

于每个T=2,3,…）?

参考答嗓

第一试

一、选择题:

题号123456

答案ACABCC

二、填空题:

5、2500；6、③④.

三、证略.

四、证略.

五、8,23,29或10,20,30（万元），对应40,92,58或50,80,60（人）.

第二试

二、证略.

三、(1)证略.

(2)无穷个.

企周名中数学藤赛模料徐改(七)

(选题人：李潜)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

7、a、b是异面直线，直线c与。所成的角等于c与b所成的角，则这样的

直线C有

(A)1条(B)2条(C)3条(D)无数条

8、已知於)是口上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若4x)-g(x)=/+2x+3,

则本)+g(x尸

(A)-X2+2X-3(B)W+2x—3(C)-x2-2x+3(D)x2-2x+3

9、已知△43C,。为△ABC内一点，ZAOB=ZBOC=ZCOA=—,则使

3

AB+BC+CA^m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

(A)2(B)-(C)V3(D)—

32

10>设x=0.82°°,y=sinl,z=log3V7则x、y、z的大小关系是

(A)x<y<z(B)y<z<x(C)z<x<y(D)z<y<x

10年

11、整数的末尾两位数字是

US+3

(A)10(B)01(C)00(D)20

12、设(a,6)表示两自然数a、b的最大公约数.设3/)=1,则(“2+管,/+63)

为

(A)1(B)2(C)1或2(D)可能大于2

二、填空题：(每小题9分，共54分)

1>若f(x)=x]°+2X9-2J;8-2X7+X6+3X2+6X+],则V2—1)=.

2、设Q、&是双曲线x2-y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从Fi

引平分线的垂线，垂足为〃，则点M的轨迹方程是.

3、给定数列{4},