全国名校高考数学试题分类汇编（12月 第四期）N单元选修4系列（含解析）

【备考】届全国名校数学试题分类汇编（12月第四期）N单元选修4系列（含解析）目录N单元选修4系列 1N1选修4-1几何证明选讲 1N2选修4-2矩阵 3N3选修4-4参数与参数方程 4N4选修4-5不等式选讲 6N5选修4-7优选法与试验设计 9N1选修4-1几何证明选讲【数学理卷·届山西省山大附中高三上学期中考试试题（11）】22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．（1）求证：；（2）若，求的长．第22题图第22题图【知识点】几何证明N1【答案】(1)略；(2).【解析】解析：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……2分又∵,∴,∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……5分（Ⅱ）∵,∴，∵∴由（1）可知：，解得.……7分∴．∵是⊙的切线，∴∴，解得．……10分【思路点拨】（I）由已知可得，得到．由平行线的性质可得，于是得到，再利用对顶角的性质即可证明．于是得到．利用相交弦定理可得进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得，再利用切割线定理可得，即可得出PA．【数学文卷·届山西省山大附中高三上学期期中考试（11）】22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长．第22题图第22题图【知识点】弦切角N1【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）解析：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……2分又∵,∴,∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……5分（Ⅱ）∵,∴，∵∴由（1）可知：，解得.……7分∴．∵是⊙的切线，∴∴，解得．……10分【思路点拨】利用与已知可得EC的长，进而得到BE，利用相交弦定理可得，得到AE．再利用，可得，得到PE，进而得到PB，再利用切割线定理可得即可得出.N2选修4-2矩阵【数学理卷·届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（12）】1.已知矩阵的一个特征值是3，求直线在作用下的直线方程.【知识点】特征值、特征向量的应用.N2【答案】【解析】解析：∵矩阵的一个特征值是3，设则解得∴.设直线上任一点在作用下对应的点为则有整理得，则，代入，整理得.∴所求直线方程为.【思路点拨】根据矩阵的一个特征值是3可求出a的值，然后设直线上任意一点在作用下对应的点为根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．N3选修4-4参数与参数方程【数学理卷·届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（12）】2.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程.【知识点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．N3【答案】【解析】解析：由消去得曲线是以点为圆心，1为半径的圆，∴在极坐标系中，曲线是以点为圆心，1为半径的圆，∴曲线的极坐标方程是【思路点拨】求得圆C的直角坐标方程为把x=ρcosθy=ρsinθ代入化简可得曲线C的极坐标方程．【数学理卷·届山西省山大附中高三上学期中考试试题（11）】23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．【知识点】极坐标参数方程N3【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】解析：（Ⅰ）由，得所以曲线C的直角坐标方程为.……5分（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.设、两点对应的参数分别为、，则，，∴，当时，的最小值为4.……10分【思路点拨】由化简可得曲线的直角坐标方程；直线与曲线联立可得方程，利用两点间的距离公式结合韦达定理求得的最小值．【数学文卷·届山西省山大附中高三上学期期中考试（11）】23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）的最小值为4解析：（Ⅰ）由，得所以曲线C的直角坐标方程为.……5分（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.设、两点对应的参数分别为、，则，，∴，当时，的最小值为4.……10分【思路点拨】（1）利用即可化为直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．N4选修4-5不等式选讲【数学理卷·届河北省唐山一中高三12月调研考试（12）】24．(本小题满分10分）（选修4-5不等式选讲）设函数．求证：（1）当时，不等式成立．（2）关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．【知识点】选修4-5不等式选讲N4【答案】(1)略（2）【解析】(1)证明：由得函数的最小值为3，从而，所以成立. (2)由绝对值的性质得，所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.【思路点拨】利用分段函数最值证明结论，根据绝对值的意义求出a的最大值。【数学文卷·届重庆市巴蜀中学高三12月月考（12）】已知函数，（其中是自然对数的底数）。[]若，求函数在上的最大值；若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围；若对任意的，，不等式都成立，求实数的取值范围。【知识点】导数的应用；绝对值不等式的性质.B12N4【答案】【解析】(1)；(2)（3）（-1,1）解析：(1)当a=-1时，，由得：x=0或x=-1，经检验x∈（-1,0）时，，x∈（0,2）时，，所以函数在（-1，0）上递减，在（0,2）上递增.又当x=-1时y=，x=2时，y=，所以函数在上的最大值为.（2）当a=-1时，关于的方程为，即.令，经检验得h(x)在上递减，在（1,2）上递增，所以函数h(x)在x=1处有极小值h(1)=,在x=2处有极大值h(2)=,而x趋向于时，h(x)趋向于0，所以实数k的取值范围是.（3）不等式，即，只需，因为，是增函数，所以>0，>0，所以，设，则，而得，经检验时有极小值，也是最小值，所以h(x)是[0,2]上得增函数，而，所以.【思路点拨】（1）利用导数确定函数的单调性、极值性，从而求得此函数的最大值；（2）采用分离常数法求k的取值范围；（3）利用绝对值不等式的性质，转化为求函数在[0,2]上，任意两点确定直线的斜率的最小值，|a|小于此最小值即可.【数学文卷·届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期第二次联考（12）】22.（本小题满分10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若a>0,求证：.【知识点】绝对值不等式的解法；绝对值不等式性质的应用.E2N4.【答案】【解析】(1)；(2)证明：见解析.解析：（1）由题意，得，因此只须解