第1章一元二次方程复习讲义-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1页（共1页）第1章一元二次方程复习讲义-数学九年级上册苏科版eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)高频考点梳理高频考点梳理1．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．4．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．6．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．7．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．8．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．清易错清易错1．用合适的方法解下列方程：（1）x（x﹣3）＝x﹣3；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3，移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）2x2﹣3x﹣1＝0，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．2．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．（1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？（2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？【解答】解：（1）设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是（x+5）元/件，根据题意得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，∴x+5＝10+5＝15（元）．答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件；（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件，根据题意得：y（200﹣10y）＝960，整理得：y2﹣20y+96＝0，解得：y1＝8，y2＝12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝8．答：B系列产品的实际售价应定为8元/件．3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由，得，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍），∴1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于5cm，由PQ2＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t1＝0，t2＝2，∴0秒或2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）不能，理由如下：由题意，得：，整理得：x2﹣5x+8＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣32＝﹣7＜0，∴该方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于8cm2．eq\o\ac(

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,学)精选好题精选好题一．选择题（共8小题）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6 B．﹣2＝0 C．x2+y2＝4 D．6x+1＝02．若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝x+2化成一般形式得（）A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x﹣3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣x+1＝04．一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（）A．1，5，1 B．0，5，﹣1 C．1，5，﹣1 D．0，5，15．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝96．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠07．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（）A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝918．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（）A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25 C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣8x＝0的解是．10．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式8﹣a﹣b的值为．11．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是．12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围．13．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为m．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝．15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．若点A（1，1），B（﹣2，2），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有个．16．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为．三．解答题（共6小题）17．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；（2）x2﹣10x+16＝0；（3）2x2+3x﹣1＝0．18．已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求b的值；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值．19．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长．20．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？22．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）

第1章一元二次方程复习讲义-数学九年级上册苏科版参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6 B．﹣2＝0 C．x2+y2＝4 D．6x+1＝0【解答】解：3x2﹣5x＝6符合一元二次方程的定义，故选项A正确；﹣2＝0不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；x2+y2＝4是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；6x+1＝0是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．故选：A．2．若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0，解得m＝3．故选：C．3．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝x+2化成一般形式得（）A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x﹣3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣x+1＝0【解答】解：由（x+1）（x﹣1）＝x+2得：x2﹣1＝x+2，即：x2﹣x﹣3＝0，故选：A．4．一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（）A．1，5，1 B．0，5，﹣1 C．1，5，﹣1 D．0，5，1【解答】解：一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，﹣1．故选：C．5．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9【解答】解：由原方程，得x2+2x＝5，x2+2x+1＝5+1，（x+1）2＝6．故选：A．6．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，∴，解得：k≤1且k≠0．故选：C．7．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（）A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91【解答】解：依题意得：1+x+x2＝91．故选：D．8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（）A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25 C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25【解答】解：根据题意得：25（1﹣x）2＝20.25．故选：A．二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣8x＝0的解是x1＝0，x2＝8．【解答】解：方程分解得：x（x﹣8）＝0，可得x＝0或x﹣8＝0，解得：x1＝0，x2＝8．故答案为：x1＝0，x2＝810．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式8﹣a﹣b的值为4．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣4＝0得a+b﹣4＝0，所以a+b＝4，所以8﹣a﹣b＝8﹣（a+b）＝8﹣4＝4．故答案为：4．11．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是10%．【解答】解：设年平均增长率是x，根据题意得：50（1+x）2＝60.5，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），∴年平均增长率是10%．故答案为：10%．12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围k＜1且k≠0．【解答】解：根据题意得k≠0且，解得k＜1且k≠0；故答案为：k＜1且k≠0．13．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为1m．【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形，根据题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522，整理得：x2﹣40x+39＝0，解得：x1＝1，x2＝39（不符合题意，舍去），∴道路的宽为1m．故答案为：1．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，∵x1x2＝x1+x2，∴m2+2＝2（m+1），即m2﹣2m＝0，解得：m1＝0，m2＝2．∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）≥0，∴8m﹣4≥0，∴m≥，故m的值是2．故答案为：2．15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．若点A（1，1），B（﹣2，2），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有0个．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为，设直线AB上的任意一点为，∴这个点的对应方程为，∵∵﹣2≤a≤1，当有最小值，当a＝1有最大值，∴，即Δ＜0，∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根，故答案为：016．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为﹣50．【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得：．∴ab＝﹣50．故答案为：﹣50．三．解答题（共6小题）17．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；（2）x2﹣10x+16＝0；（3）2x2+3x﹣1＝0．【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0，4（x﹣1）2＝8，（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x2﹣10x+16＝0，（x﹣2）（x﹣8）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，∴x1＝2，x2＝8．（3）2x2+3x﹣1＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求b的值；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4×5＝0，解得b1＝2，b2＝﹣2；即b的值为2或﹣2；（2）b＝6时，方程化为x2+6x+5＝0，根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣6，x1x2＝5，所以x2+x1＝x1x2（x1+x2）＝5×（﹣6）＝﹣30．19．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长．【解答】解：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）＝800，即：x2﹣50x+400＝0，解得x1＝10，x2＝40（不合题意舍去）．答：截去正方形的边长为10厘米．20．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．（1）求证：此方程总有两