人教A版新教材高中数学第二册学案1：7 .1 .1 数系的扩充和复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

『导学聚焦』

考点学习目标核心素养

复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象

复数的分类理解复数的分类数学抽象

复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算

『问题导学J

预习教材内容，思考以下问题：

1.复数是如何定义的？其表示方法又是什么？

2.复数分为哪两大类？

3.复数相等的条件是什么？

「新知初探1

1.复数的有关概念

(1)复数的定义

形如。+历伍，8GR)的数叫做复数，其中i叫做，满足i2=.

(2)复数集

全体复数所构成的集合C^{a+bi\a,b^R}叫做复数集.

(3)复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即，其中〃叫做复数z的实部，方叫做复数z的虚部.

■名师点拨

对复数概念的三点说明

⑴复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成砥m6GR)的形式，其中0=0+0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z=a+hi只有在°,匕GR时才是复数的代数形式，否则不是代数形式.

2.复数相等的充要条件

在复数集C={a+6i|a,bGR}中任取两个数a+6i,c+di(“，b,c,dGR),我们规定：a+

bi与c+"i相等当且仅当且.

3.复数的分类

(3=0)，

(1)复数z=a+历(a,bSR){［纯虚数，

［非纯虚数W.

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

■名师点拨

复数bigGR)不一定是纯虚数，只有当6#0时，复数biSdR)才是纯虚数.

r自我检测」

u判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若a,人为实数，则2="+历为虚数.()

(2)复数Zi=3i,Z2=2i,则Z|>Z2.()

(3)复数z=8i是纯虚数.()

(4)实数集与复数集的交集是实数集.()

瀛若zua+d—l)i(aGR,i为虚数单位)为实数，则〃的值为()

A.0B.1

C.-1D.1或一1

❸以3i-也的虚部为实部，以一3+5i的实部为虚部的复数是()

A.3-3iB.3+i

C.一啦+啦iD，V2+V2i

O若(x-2y)i=2x+l+3i,则实数x,y的值分别为.

「探究互动」

探究点一复数的概念

『例U下列命题：

①若aWR,则m+l)i是纯虚数；

②若a,beR,且a>b,则a+i>b+i；

③若(f—4)+(f+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2；

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的命题是()

A.①B.②

C.③D.®

【规律方法】

判断与复数有关的命题是否正确的方法

(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可

按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.

(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a+bi的形式，更要注意这

里a,b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.

『提醒」解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.

「跟踪训练J对于复数〃+加3,h&R),下列说法正确的是()

A.若a—0,则a+bi为纯虚数

B.若“+3-l)i=3-2i,则a=3,b=~2

C.若b=0,贝为为实数

D.i的平方等于1

探究点二复数的分类

-4-in-6

2

「例2J当实数〃z为何值时，复数Z='_--+(m-2m)i：

(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？

【规律方法】

解决复数分类问题的方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为。+齿(4,8eR)的形式，以确定实部和虚部.

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复

数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.

(3)下结论：设所给复数为z=a+历(a,bSR),

①z为实数=匕=0；

②z为虚数=〃#0；

③Z为纯虚数=4=0且

『跟踪训练」

1.若复数〃2—a—2+(|a—1|-l)i(〃£R)不是纯虚数,则()

A.a=-1B.—1且。羊2

C.QK1D.aW2

2.当实数m为何值时,复数lg(m2—2m—7)+(m2+5/n+6)i是:

⑴纯虚数;(2)实数.

探究点三复数相等

『例3』(1)若zi=—3—4i,Z2=(n2-3m—1)+(«2—zn—6)i(w,〃GR),且z\=zi，贝！］m+n

=()

A.4或0B.-4或0

C.2或0D.-2或0

⑵若logi^—3x—2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是.

【规律方法】

复数相等的充要条件

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步

骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)

求解.

「注意」在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b,c,dWR,即当a,h,c,

dGR时，a+%i=c+di=a=c且匕=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.

『跟踪训练』已知4={1,2,a2-3«-l+(a2-5«-6)i},8={-1,3},ADB=⑶,求实

数a的值.

『达标反馈』

1.若复数z=ai2-历(a,是纯虚数，则一定有()

A.h=0B.。=0且bWO

C.Q=O或b=OD.ab于0

2.若复数z=tn2—1+(/w2—/n—2)i为实数,则实数m的值为(

A.-1B.2

C.1D.一1或2

3.若复数z=(m+l)+(/n2—9)i<0,则实数m的值等于

—x—6

4.已知一^―=(f—2x—3)i(x£R),贝Ux=.

★参*考*答*案★

r新知初探』

i.(1)虚数单位一1

(3)z=a+bi(a,CGR)

2.a=cb=d

3.(1)实数虚数a=0“WO

「自我检测J

G『答案J：⑴*(2)X(3)X(4)V

@「答案」：D

@「答案J：A

7

1^答-

MJ4

『探究互动』

探究点一复数的概念

『例1J

“解析』」对于复数。+齿(“，6GR),当。=0且时，为纯虚数.对于①，若a=

-1,则(a+l)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x

=一2,则/-4=0,d+3x+2=0,此时(1-4)+(/+3犬+2)1=0不是纯虚数，则③错误；

显然，④正确.故选D.

『『答案」』D

『跟踪训练』

『解析」：选C.对于A,当。=0时，。+万也可能为实数；

对于B,若”+(b—l)i=3—2i,则a=3,b=~\；

对于D,i的平方为-1.

故选C.

探究点二复数的分类

『例2J

机2-2机=0，

『解』⑴当一即机=2时，复数z是实数.

⑵当机2—2"滓0且mWO,即〃?W0且时，复数z是虚数.

〃机wo,

/;?-ni——6

(3)当j号尸=o即加=—3时，复数z是纯虚数.

、加2—2加W0,

『跟踪训练』

1.『解析」：选C.复数々2—。一2+(1〃一1|—l)i(o£R)不是纯虚数，则有/一〃—2W0或口一

1|—1=0,解得4#—1.故选C.

席一2m-7=1

2.解：⑴复数加(苏一21一7)+(川+5"+6)i是纯虚数'则5nl+6#0,解得“二,

[A??2—2w—7>0,

（2）复数1g（加2—2加-7）+（加2+5m+6）i是实数，则彳9解得机=-2或/%=-3.

[机-+5〃？+6=0,

探究点三复数相等

『例3』

IT『解析』』⑴由Z1=Z2，得/-3加一1=—3且/—加一6=-4,解得m=2,〃=±2,所

以加+〃=4或0,故选A.

(2)因为log2(A2—'3x—2)+ilog2(x2+2x+1)>1,

log2（A2—3x—2）>1,X2-3x-2>2,

所以,即a2，+口，解得x=-2.

log2（f+2x+l）=0,

『『答案』』(1)A(2)-2

「跟踪训练」

解：由题意知，a2