直线与圆学案-北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《直线与圆》

一、知识点总结

1.1直线的倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角

1.倾斜角的定义：当直线，与无轴相交时，以无轴为基准，工轴正向与直线2向上的方向之间所成

的角a叫做直线I的倾斜角.当直线与%轴平行或重合时，它的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时,

它的倾斜角为90°.

2.直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况

分类讨论.注意：直线倾斜角a的取值范围是0°Wa〈180°.

二、直线的斜率

1.若直线，的倾斜角为a,则a=90°时，直线，的斜率不存在；aW90°时，直线，的斜率k=tana.

2.斜率与倾斜角的对应关系

图示卜y

i\y/i\i7

-------->aa>a

0X0x0X0X

倾斜角aa=0°0°<a<90°a=90°90°<a<180°

斜率kk=0k>0k不存在k<0

3.已知直线2经过两点F\(xi，%),P2(x2,y2),

若X1=x”则直线2的斜率不存在；

若x】Wx2，则直线I的斜率kB邙

X2-X1

注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两点的

横坐标是否相等”.

4.直线的方向向量与斜率的关系

⑴当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1,k)；

(2)当直线的一个方向向量为(x,y)(xW0)时，直线的斜率kB.

X

三、两条直线平行的判定

1.两条直线(不重合)平行的判定如下表:

类型斜率存在斜率不存在

o

前提条件a1=a2老90°a1=a2=90

对应关系<>

lx//Z2^k1=k2两直线的斜率都不存在=L//k

图示"1/

k

______、1%、R

________

0X0X

//

注意：若小。重合，则仍有k1=k2或2"4的斜率均不存在.

四、两条直线垂直的判定

五、倾斜角与斜率的关系及应用

1.直线的倾斜角与斜率的关系

（1）当直线的倾斜角a满足0。Wa〈90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大;

⑵当直线的倾斜角a满足90°<a<180。时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大;

(3)k=tana(0Wa<n,a的图象如图所示.

由斜率k的范围截取函数图象,进而得到倾斜角a的范围;

----A

反过来，由倾斜角a的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围.O7TTTa

T

六、直线斜率的应用

1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即

k/kAc（或kAB=kuc或kAC=kBC）；反之若kAB=kAC（或心=1^或kAC=kBC））则直线AB与AC（或AB与BC或AC与

BC）的倾斜角相同，又过同一点A（或B或C）,所以点A,B,C在同一条直线上.

注意：若点A,B,C中的任意两点所在直线的倾斜角都为90°,且这两条直线有公共点，则A,

B,C三点共线.

2.形如二的范围(最值)问题,可以利用汇的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率),

x-ax-a

借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程.

七、两条直线平行、垂直的判定

1.判断两条不重合的直线是否平行的方法

⑴利用直线的斜率判断:

⑵利用直线的方向向量判断：分别求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两直

线是否平行的结论.

2.判断两条直线是否垂直的方法

(1)利用直线的斜率判断：在两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于-1即可.特

别地，当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也垂直.

⑵利用直线的方向向量判断：设直线L的方向向量为n,直线，2的方向向量为m,则，」

on•m=0.

八、两条直线平行、垂直的应用

1.利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围

⑴作出示意图，确定问题中的平行、垂直关系，利用斜率、方向向量等条件列出相关方程(组)并

求解.

(2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类依次求解.

(3)解题时要注意考虑斜率不存在的情况.

1.2直线的方程

一、直线的方程形式与适用条件

名称点斜式斜截式两点式截距式一般式

方程形式y-y=k（x-xy=kx+by-yi_x-xi用Ax+By+C=0

00y2-yiX2-X1ab

）（X]WX2，y\Wy2）（aWO,bWO）（A,B不同时为0）

已知条件直线上一定斜率k,直线在直线上两点直线在X轴上的非零系数A,B,C

点（X（）,Yo）?y轴上的截距b（X"y）,截距a,直线在y轴上

斜率k（x2,y2）的非零截距b

适用范围不垂直于x不垂直于x轴不垂直于x轴不垂直于x轴和y轴，任何位置的直线

轴的直线的直线和y轴的直线且不过原点的直线

二、直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系

斜截式：一般式：

li：y=k1x+b1；hAix+B4+a=O（Ai，B］不同时为0）；

l2：y=k2x+b2l2：A2x+B2y+C2=0（A2,B?不同时为0）

k，〃相交k^k2A^-A^^O

h//kki=k?1A$2-A2B1=0,

.EWb2[A1C2-A2C1W0

1"L重合ki=kz'A$2—A?Bi=0,

.bi=b2A1C2-A2cl=0

2山2ki•k2=-lAA+BB=0

三、直线方程的选择和求解

1.求直线方程时对方程形式的选择一般有以下几类：

①已知一点的坐标，一般选取点斜式方程，求解时根据其他条件确定直线的斜率.注意斜率不存在

的情况.

②已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，求解时根据其他条件确定直线的截距.

③已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是与坐标轴的交点，则用截距式方程.

2.过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法

（1）确定已知直线斜率，再利用平行（垂直）关系得出所求直线的斜率，最后由直线的点斜式求方程.

⑵利用待定系数法.已知直线Ax+By+C=O（A,B不同时为0）,则与其平行的直线方程可设为

Ax+By+a=0（A,B不同时为0,AWC）,与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+Cz=0（A,B不同时为0）,

再由直线所过的点确定。或e即可.

四、利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题

1.根据斜截式方程中k,b的几何意义确定对应函数的大致图象.

2.方程中含参的直线过定点类问题常用的三种方法：

①将方程化为点斜式：y-y0=k（x-x0）,其中k为参数，从而求得直线恒过定点（X”y>

②分离参数法：将方程中的参数分离，把含x,y的关系式作为参数的系数，即有参数的放在一起,

没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，所以令参数的系数和不含参数的式子为

零，解方程组可得x,y的值，从而得到直线所过的定点的坐标.

③赋值法：因为参数取任意实数时方程都成立，所以可给参数任意赋两个值，得到关于x,y的二

元一次方程组，解方程组可得x,y的值，从而得到直线过的定点的坐标.

五、直线方程的应用

1.实际问题中，经常会遇到过定点的直线，此时可以先设出直线的点斜式方程或斜截式方程，再

综合其他知识解决问题，需要注意直线的斜率是否存在和直线在两坐标轴上的截距是否存在、是不

是0等特殊情况.

2.在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、线段长度等问题时，通常要先设出直线方程，再借助

其他知识（如函数、基本不等式等）解决问题.

1.3直线的交点坐标与距离公式

一、两条直线的交点坐标

1.两条直线的位置关系与相应方程组的解

（1）利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系.

已知直线L：Ajx+B»+C尸0,l2：A2x+B2y+C2=0,其中A”B1不同时为0,A2,B2不同时为0,则

方程组卜:+Biy+Ci=0,的解一组无数组无解

直线L与1的公共点一个无数个零个

直线L与1的位置关系相交重合平行

⑵两条直线相交的判定方法：

①联立直线方程解方程组，若有一组解，则两直线相交；

②若两直线斜率都存在且不相等，则两直线相交；

③若，1：Aix+Biy+Ci=0（A”Bi不同时为0）,Z2：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不同时为0）,

则乙与力相交oAB-AzBiWO.

2.求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和

加减消元法.

注意：若一条直线的方程是斜截式或易化为斜截式，则常常应用代入消元法解方程组；若直线

的方程都是一般式，则常常应用加减消元法解方程组.

3.设直线"：A|X+B]y+C『0（Ai，不同时为0）,l2：A2x+B2y+C2=0（A2,不同时为0）,则过小l交

点的直线方程可设为Ap+Biy+3+入（AzX+B^y+CjRl其中人为参数），然后根据条件求待定系数.

二、距离公式

1.两点间的距离：已知F\（X1，y）,P2（x2,y2）,则|PF』=J（X2-X1）2+（y2二yi）2.

①此公式与两点的先后顺序无关.

②原点0（0,0）与任一点P（X,y）的距离点P[=Jx2+y2

2.点到直线的距离

点P0（x。，％）到直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0）的距离01=增要爱.

3.两条平行线间的距离:

两条平行直线hAx+By+C尸。与小Ax+By+CE（A,B不同时为。，CK）间的距离d—

三、利用坐标法解决平面几何问题

1.利用坐标法解决平面几何问题的步骤

(1)建立坐标系，尽可能将已知元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何结论.

四、点到直线的距离公式的应用

1.利用点到直线的距离公式时，一般先分析确定相应的点和直线，再利用公式计算求解.

2.当所给条件不能明显确定所需的点和直线时，可考虑应用待定系数法，有时要结合几何图形的

直观性，综合分析解决问题.

五、平行线间距离公式的应用

1.两条平行线间距离的求法

(1)直接利用公式求解，代入公式时注意两直线方程中x,y的系数必须对应相等.

(2)利用“转化与化归”思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点

到另一条直线的距离.

2.两条平行直线间距离公式的应用

已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程，一般先设出直线方程，

再利用两平行直线间的距离公式求解.

六、常见的对称问题及应用

1.对称点的求法

⑴求点关于点的对称点坐标

若点MG%)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得卜二%一句,

(y=2b-yr

(2)求点关于直线的对称点坐标

设点M(x0,%)关于直线2：Ax+By+C=O(A,B均不为0)的对称点为N(x,y),则可根据M,N连线垂

直于直线，，以及线段MN的中点在直线1上列方程组

\x-xoIB7求得.

A也+B-4+C=0

|k-22

(3)几个常用结论

①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).

②点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).

③点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

2.对称直线的求法

(1)求直线关于点的对称直线

求直线关于点的对称直线时，可在已知直线上任取两点，求其对称点，从而将问题转化为求点关于

点的对称点问题，通过求出的两个对称点的坐标确定对称直线的方程；也可以利用关于点对称的两

直线平行且已知点到两直线的距离相等来求解.

(2)求直线关于直线的对称直线

求直线心关于直线，对称的直线4时，若心与，无交点，则可以利用"，。两直线平行且它们与直线

，的距离相等来求解；若L与，有交点，则可以求直线L上任一点(L与1的交点除外)关于直线2的

对称点，那么该对称点以及，।与2的交点在直线。上，由此可确定，2的方程.

3.在直线2上求一点P,使P到两定点的距离之和最小的求法

(1)若两定点A,B在直线，的异侧，则当点P为直线AB与2的交点时，点P到两定点的距离之和最

小，最小值为|AB|.

如图①，在直线2上任取一点P',则1P'A|+pB|N|AB|=|PA|+|PB|*

⑵若两定点A,B在直线2的同侧，

如图②，作点A关于直线，的对称点A',连接A'B,交直线，于点P,

此时点P到两定点A,B的距离之和最小.

4.在直线2上求一点P,使P到两定点的距离之差最大的求法

类比3中方法，利用“三角形任意两边之差小于第三边”解决，必要时进行点关于直线的对称转化.

七、与距离有关的最值问题

1.与距离有关的最值问题的解题策略

⑴利用对称转化为两点之间的距离问题.

(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题.

一般地，形如J(x-a)2+(y-b)2的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离，所以解决相

关的最值问题时，可应用数形结合思想，将其转化为点到直线的距离或两平行线之间的距离问题.

(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.

1.4圆的方程

一、圆的标准方程与一般方程

1.圆的标准方程：（x-a），（y-b）2=r2,其中圆心为（a,b）,半径为r.

2.圆的一般方程：当D2+E2-4F〉。时，方程x'y'+Dx+Ey+FR为圆的一般方程，表示以（-会-匀为

圆心，［VD2+E2-4F为半径的圆.

说明：对于方程x'yZ+Dx+Ey+FR,

①当D2+E2-4F〈0时，它不表示任何图形;

②当D2+E2-4FR时，它表示一个点（,，

【注意】二元二次方程Ax'+By'+Cxy+Dx+Ey+FR表示的图形为圆时，需满足A=BWO,C=0,且

针+（步”

二、点与圆的位置关系

1.点M（x（）,y。）与圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（或x2+y2+Dx+Ey+F=0）的位置关系及判断方法：

位置关系利用距离判断利用方程判断

222

点M在圆上CM=r(x0-a)+(y0-b)=rxj+y计Dxo+Ey°+F=O

222

点M在圆外CM>r(x0-a)+(y0-b)>rxj+y计Dxo+Eyo+F〉O

222

点M在圆内CM<r(x0-a)+(y0-b)<rxj+y计Dxo+Eyo+F〈O

三、圆的方程的求解

1.几何法

利用相关几何性质确定圆心和半径，即可得到圆的标准方程.

相关几何性质如下：

①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；

②圆心到切线的距离等于圆的半径；

③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；

④圆的弦的垂直平分线过圆心；

⑤已知圆心所在的直线I及圆上两点，则两点连线（圆的弦）的垂直平分线m（m与，不重合）与I的交

点即为圆心.

2.待定系数法

（1）根据题意设出所求圆的标准方程或一般方程；

（2）根据已知条件建立关于参数的方程（组）；

⑶解方程（组），求出参数的值；

(4)将求得的参数的值代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.

1.5直线与圆、圆与圆的位置关系

1.5.1直线与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1.设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线2：Ax+By+C=O(A,B不同时为0).

圆心C(a,b)到直线1的距离d田.由仁f於

消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为△.

位置关系相交相切相离

公共点个数210

几何法d<rd=rd>r

代数法A>0A二0A<0

二、直线与圆的位置关系

1.判断直线和圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法.几何法侧重图形的几何性质，较代

数法步骤简捷，所以一般选用几何法.

2.直线与圆的位置关系的判断方法

直线与圆的位置关系反映在三个方面，一是点到直线的距离与圆半径大小的关系；二是直线与圆的

公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数.因此，若给出图形，可直接根据公共点的个数

判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法求解，几何法计算量小，代数法可一同求

出交点.解题时可根据已知条件做出恰当的选择.

三、与圆有关的切线问题

1.过点P(x。，%)的圆的切线方程的求法

过定点P作已知圆的切线，当点P在圆内时，无切线；当点P在圆上时，有且只有一条切线；

当点P在圆外时，有两条切线.

(1)当点P在圆上时，求点P与圆心连线的斜率，若斜率存在且不为0,记其为k,则切线斜率为一；

若斜率为0,则切线斜率不存在；若斜率不存在，则切线斜率为0.

⑵当点P在圆外时，设切线斜率为k,由点斜式写出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径r

解出k即可(若仅求出一个k值，则还有一条斜率不存在的切线).

2.切线长的求法

过圆外一点P可作圆的两条切线，我们把点P与切点之间的距离称为切线长.切线长可由勾股

定理来计算.如图，从圆外一点P(x”y。)作圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r〉0)的切线，则切线长为

3.过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论

⑴若点P(x(),y。)在圆x'+ygYr>。)上，则过点P的圆的切线方程为XoX+yoy"；

⑵若点P(x”%)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为

2

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r；

(3)若点P(x。,%)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)±,则过点P的圆的切线方程为

xox+yoy+D•竽+E•竽+F=0.

4.过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论

(1)若点P(x。，y。)为圆x'yJrYr〉。)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A,B,如图1,

2

则直线AB的方程为x0x+y0y=r.

⑵若点P(x”y。)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r〉0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A,B,

2

如图2,则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

⑶若点P(x0,y。)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A,

B,则直线AB的方程为xox+yoy+D•竽+E•竽+F=0.

四、直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题

1.直线与圆相交的弦长的求法

2

几何法利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长2之间的关系d=d2+G)求解

代数法若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标，然后用两点间的距离公式计算弦长

弦长设直线，：y=kx+b与圆的两交点分别为(%,%),(X2,y2),将直线方程代入圆的方程，

公式法消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长

1=1X1-X21=+k2)[(X1+X2)2-4X1X21

=J(1+专)[(yi+y2)2-4丫而(kWO)

2.解决与中点弦有关问题的方法

(1)利用根与系数的关系求出中点坐标；

⑵设出弦的两个端点的坐标，利用点在圆上得到两个方程，通过作差求出弦所在直线的斜率，此

法即为点差法；

(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.

五、与圆有关的最值问题

1.利用圆的方程解决最值问题的方法

⑴由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并

结合图形的直观性来分析并解决问题，常涉及的几何量有直线的斜率、截距，两点间的距离等.

⑵转化成函数解析式，利用函数的性质解决.

X=+vcos0

(y=b+rsin9

(。为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最值.

六、解决直线与圆的实际应用题的步骤

(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.

(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.

(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.

(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.

1.5.2圆与圆的位置关系

一、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系的判定方法

(1)几何法：若两圆的半径分别为n，Q,两圆圆心距为d,则两圆的位置关系如下:

位置关系外离外切相交内切内含

图示

00o

vvyJ

d与n，口的关系d>r+rd=rj+rrrr<d<rj+rd=1

122221d<rrr2

(2)代数法:设圆c：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(D：+E>4Fi>0),

圆C2：x'y'+Dzx+Ezy+FzRM+E>4F2>0),

联立两圆方程得1+D1X+E/+Fi=o,

则方程组解的情况与两圆位置关系的相关结论如下：

方程组的解2组1组0组

两圆的公共点2个1个0个

两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含

二、两圆公切线条数和两圆的位置关系

1.两圆公切线条数与两圆位置关系的相关结论如下:

位置关系两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含

图示

©(7)©CD

公切线条数43210

三、两圆的位置关系

1.一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题，其关键是正确找出圆心和半径，分析两圆圆心

之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系.

四、两圆的公共弦问题

1.两圆的公共弦所在直线方程的求法

22

设圆Cl：x2+y2+DiX+Eiy+F]=0(D泗-4F，0),0C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(D2+E2-4F2>0).

叱-Rp<2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①

联“，得|

22X

<x+y+D2+E2y+F2=0,②

①-②,得(D[D2)x+(E「E2)y+F「F2=0.③

若两圆的交点分别为A(X"y),B(X2,y2),则A,B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因

此方程③就是经过两圆交点的直线方程.

有以下结论：

i.当两圆相交时，(D[D?)x+(E厂Ejy+FrFkO是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线

的方程.

ii.当两圆外离时，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+F「F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.

iii.当两圆相切时，(D「D2)x+(E「E，y+F「F2=0是两圆的一条公切线方程.

iv.若两圆(不重合)是等圆，则(DrD)x+(E-E2)y+F-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平

分线的方程.

2.两圆公共弦的长度的求法

⑴代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长.

⑵几何法：

①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程；

②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；

③利用勾股定理求出公共弦的长度.

3.求经过两圆交点的圆的方程的方法

一般地，过圆CMx2+y2+D|X+E»+F尸0(Dj+E》F>0)与

22

圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(Df+Ef-4F2>0)交点的圆的方程可设为

2222

x+y+D1x+E1y+F1+入(x+y+D2x+E2y+F2)=0(AGR,XWT),

22

或者x+y+D1x+Eiy+F1+入[(DJ-D2)x+(EJ-E2)y+置

再由其他条件求出入即得圆的方程.

二、典型例题训练

1.（2023・北京丰台•统考一模）已知圆卜-2）2+3-3）2=/卜＞0）与y轴相切，贝什=（）

A.V2B.V3C.2D.3

丫2

2.（2023•北京丰台•统考二模）已知圆Uf+j?—6X+8=0,若双曲线/一三=叫加＞0）的一条渐近线与圆。

m

相切，则机=（）

]/?

A.-B.—C.2亚D.8

84

3.（2023秋・北京海淀•高三统考期末）若圆x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+l=0得弦长为2,则。=（

A.-1B.0C.1D.2

4.（2023•北京房山•统考一模）已知直线y+l=w（x-2）与圆（x-l）2+（y-l）2=9相交于M的最小值为

（）

A.V5B.2加C.4D.6

5.（2023•北京房山•统考一模）在AABC中，NC=90°,AC=BC=®,P为^ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则|西+丽|的最大值为（）

A.16B.10C.8D.4

6.（2023秋•北京通州•高三统考期末）已知半径为1的圆经过点（2,3）,贝U其圆心至I]直线3x-4y-4=0距离的

最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2023•北京顺义・统考一模）若圆=4与y轴交于/,8两点，贝（）

A.2B.4C.2A/2D.273

8.（2023•北京延庆•统考一模）若直线x-y+l=0与圆£+「一2%+1—。=0相切，贝心等于（）

A.2B.1C.V2D.4

9.（2023・北京海淀•一模）设尸为直线/：无+了+1=0的动点，尸/为圆C:（x-2）?+y2=1的一条切线，A为切

点，则的面积的最小值为（）

A.叵B.V10C.恒D.714

24

10.（2023秋・北京石景山•高三统考期末）已知直线/：龙+2y-3=0与圆C:x2+『-4x=0交于/,B两点,则

线段的垂直平分线方程为（）

A.2x—y—4—0B.2x+y—4—0C.%—2y—2—0D.2x—y—2—0

11.（2023秋・北京朝阳•高三统考期末）过直线2上任意一点，总存在直线与圆；？+y2=i相切，则左

的最大值为（）

A.V3B.V2

12.（2023秋•北京东城•高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（a,6）在直线办+〃y+4a+3=0上,

则当。，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（）

13.（2023•北京东城・统考二模）已知点"（L百）在圆C:/+V=比上，过“作圆C切线/，贝I"的倾斜角为（）

A.30°B.60C.120°D.150

14.（2022春・北京密云•高三校考开学考试）设直线4的方向向量为/=（l,a）,4的法向量为I=（。-1,2）,则

“4=2”是％J[2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2023•北京通州・统考三模）过直线了=》上的一点尸作圆（》-5）2+。-1）2=2的两条切线心/2,切点分

别为42,当直线34关于了=%对称时，线段尸/的长为（）

A.4B.272C.V6D.2

16.（2023•北京海淀•统考二模）已知动直线/与圆。小+/=4交于A,B两点，且乙408=120。.若/与圆

。-2）2+/=25相交所得的弦长为乙则/的最大值与最小值之差为（）

A.10-4V6B.1C.476-8D.2

17.（2023・北京门头沟・统考一模）若点W是圆。：公+「-4》=0上的任一点，直线/：x+y+2=0与x轴、y

轴分别相交于A、B两点，则NM48的最小值为（）

7171-兀兀

A.—B.-C.-D.一

12436

18.（2023•北京顺义•高三统考期末）已知点/,8在圆0:炉+/=16上，且|48|=4,尸为圆。上任意一点,

则万•丽的最小值为（）

A.0B.-12C.-18D.-24

19.（2023•北京昌平・统考二模）已知点尸在直线瓜7-10=0上，点0（2cose,2sin4eeR）,则|尸。|的最

小值为（）

A.1B.3C.5D.7

20.（2023•北京平谷・统考一模）点M、N在圆C:x2+/+2丘+2加了_4=0上，且M、N两点关于直线x-y+1=0

对称，则圆C的半径（）

A.最大值为"B.最小值为正C.最小值为述D.最大值为逑

2222

21.（2023秋・北京房山•高三统考期末）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线

加丫+了-2=0（机€尺）的总巨离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

22.（2023•北京海淀•统考一模）已知直线>=式+加与圆。:/+/=4交于4,3两点，且“03为等边三角形,

则m的值为（）

A.+^2B.±6C.±2D.+y/6

23.（2023•北京石景山・统考一模）已知直线/:b->-2左+2=0被圆C：f+（y+i『=25所截得的弦长为整数，

则满足条件的直线/有（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

24.（2023•北京密云•统考三模）已知〃是圆。:一+必=1上一个动点，且直线（：必-町-3加+〃=0与直线

4："尤+叼-3〃?-〃=0（〃?,〃eR,加2H0）相交于点尸，则|尸闾的取值范围是（）

A.[V3-1,2V3+1]B.[72-1,372+1]C.[V2-1,272+1]D.[72-1,373+1]

25.（2023•北京丰台•统考二模）已知点~0,2）,直线/:x+2y-1=0,则过点尸且与直线/相交的一条直线的

方程是.

26.（2023城•期末）设抛物线/=4x的焦点为尸,准线为/.则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程为.

27.（2023昌平统考期末）若直线、=区+2与圆（1-1）2+/=。有公共点，则。的最小值为.

28.（2023・顺义・高三统考期末）已知圆乱：/+必一2工-8=0,点48在圆M上，且尸（0,2）为48的中点，

则直线的方程为.

29.（2023丰台•高三统考期末）已知集合/={（x,y）|x—y-〃?=0,x,yeR},

5={（“）卜2+/-2x+2y=0,x,yeR},若NcB为2个元素组成的集合，则实数%的取值范围

是.

30.（2023•北京昌平・统考二模）已知点4民。在圆/+/=4上运动，且若点尸的坐标为（1,0）,

则|强+方+正|的取值范围是.

参考答案

1【解】圆（尸2）2+（尸3）2=>”0）的圆心为（2,3）,半径为丁

因为圆与V轴相切，所以r=2.故选：C

2.【解】。:尤2+/一6》+8=0变形为（x-3f+/=i,故圆心为（3,0）,半径为1,

丫2X

/一三=1（加〉0）的渐近线方程为了=土土,

mm

3_

丫vn

不妨取产土，由点到直线距离公式可得〒^=1,解得加=20,负值舍去.故选：C

m"

Vm

3.【解】圆的标准方程为（x-iy+（y-a）2=l,圆心为C（l,a）,圆的半径为厂=1,

因为若圆/+/一2工一2町+。2=0截直线》一2〉+1=0所得弦长为2,

所以，直线x-2y+l=0过圆心C,贝iJl-2a+l=0,解得。=1.故选：C.

4.【解】由圆的方程（尤-I）?+（了-1）2=9,可知圆心4（1,1）,半径7?=3,

直线y+「加（x-2）过定点8（2,-1）,

因为（2-1）2+（-1-1）2=5<9,则定点3（2,-1）在圆内，

则点8（2,-1）和圆心连线的长度为d=J（2_l）2+（_i_i『=6,

当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时48,血W,

由圆的弦长公式可得|MV|=2A/R2一相=2^3?-能。=4,故选：c

5.【解】由题意，PC=1可得，点P的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

取48的中点。，则强+丽=2而，

所以同+网=2\PD\=2（|CD|+1）=2X||72+2+1^4,故选：D

IImaxIImaxv7I2）

6.【解】由于半径为1的圆（设为圆A）经过点（2,3）,

所以圆A的圆心的轨迹是以（2,3）为圆心，半径为1的圆，

64

（2,3）到直线3x-4y-4=0距离为\-^~\=2,

所以圆A的圆心到直线3x-4.v-4=0距离的最大值为2+1=3.故选：C

7.【解】联立（二1）=4得>=±6故48坐标为（0,6）、他,-6）,即网=2®故选：D

8.【解】圆£+/—Zc+l—。=0化成标准方程为（x-l『+y2=a,则0>0且圆心坐标为（1,0）,半径为五,

直线x-y+l=0与圆f+j7-Zc+1—。=0相切，则圆心到直线距离等于半径，

即：d=2=方=必,解得。.故选：

#I,+（,T、）"=2A

9.【解】由圆的标准方程为（尤-2）2+必=1,

则圆心坐标为C（2,0）,半径R=l,

则APAC的面积S=^\PA\-\AC\=^\PA\,

•••要使AP4c的面积的最小,则|取|最小,又户4=1附「=^PCf-1,

即|尸。最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d¥2L容，

I尸/京=、陌=限，即△尸/C的面积的最小值为S='x近=恒・故选：C.

ranV22224

10..【解】由\+/-4=0=（工-2）2+尸=4,圆心坐标为（2,0）,

131

由/:x+2y-3=0nv=-：x+：,所以直线/的斜率为一彳，

222

因此直线I的垂直垂直平分线的斜率为2,

所以直线/的垂直垂直平分线方程为：y-0=2（x-2）=>2x-y-4=0,故选：A

11.【解】设尸为直线夕=丘-2上任意一点

因为过直线>=履-2上任意一点，总存在直线与圆/+/=1相切

所以点P在圆外或圆上,

即直线》=米一2与圆/+r=1相离或相切,

即上2+144,解得壮[-6,6],故左的最大值为百.故选：A.

12.【解】因为点尸(。,6)在直线狈+勿+4°+3=0上，

所以。•a+6・6+4a+3=0,BPa2+Z>2+4a+3=0o(a+2)-+b2=1,

则P(a,b)表示圆心为(-2,0),半径为1的圆上的点，

如图：

由图可知当直线O尸与圆相切时，直线OP的斜率得到最值,

设L：y=Ax,

由圆与直线相切，故有圆心(-2,0)到直线的距离为半径1,即d=d=1,解得：k=土£,

由图分析得：直线。尸的斜率的取值范围是-事，?.故选：B.

13.【解】由题意得加=1+3=4,

当/的斜率不存在时，此时直线方程为X=l,与圆。:—+/=4相交，不合题意，

当/的斜率存在时，设切线/的方程为夕-百=心(》-1),

则上二g=2,解得上=-且，

设/的倾斜角为0°46<180。，故/的倾斜角为150。.故选：D

14.【解】设直线4的方向向量为7=(1,a),4的法向量为2),

则当a=2时，"=v=(1,2),v=(1,2),所以4_L4；

当/［，力，则丁)=—1，解得。=2或〃=一1,

・・・“4=2”是“4U”的充分不必要条件.故选：A.

15.【解】如图所示，圆心为C(5,l),连接CP,

因为直线4，4关于y=x对称，所以CP垂直于直线y=x,

故|CP卜甲=2逝，而|/C卜亚，所以户N|=Jc/f_|/C『=

卡.故选:C

v2

16.【解】由题意可知圆(x-2)z+/=25的圆心(2,0)在圆。：/+y2=4上，

则当动直线经过圆心，即点A或B与圆心(2,0)重合时，如图1,

此时弦长f取得最大值，且最大值为蜃密=2x5=10；

设线段的中点为C,

在“05中，由。1=08=2,且乙408=120。，则OC=1,

则动直线/在圆/+/=1上做切线运动，

所以当动直线/与x轴垂直，且点C的坐标为(-L0)时，如图2,

此时弦长t取得最小值，且最小值为fmm=2x5/52-32=8，

所以f的最大值与最小值之差为2.

17.【解】如下图所示:

37r

直线/的斜率为T,倾斜角为彳，故

圆C的标准方程为卜-2)2+必=4,圆心为C(2,0),半径为r=2,

易知直线/交x轴于点/(-2,0),所以，|/C|=4,

由图可知，当直线/W与圆C相切，且切点位于x轴下方时，NM4B取最小值，

1jr

由圆的几何性质可知CM#|CA/|=2=-|^C|,则/C4W=k，

故=色-色='.故选：A.

64612

18.【解】因为点/,3在圆。:/+/=16上，且|/B|=4,P为圆O上任意一点,

则N/OB=W，设/卜2,2@,3(2,2⑹，P(4cosa,4sina),