高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第29练数列求和与数列的综合应用(原卷版+解析)

第29练数列求和与数列的综合应用一、课本变式练1.（人A选择性必修二P40练习T1变式）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．562.（人A选择性必修二P55复习参考题4T8变式）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（

）A．2192 B． C． D．3.（人A选择性必修二P25习题4.2T12变式）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式求出物体的总数.这就是沈括的“隙积术”.利用“隙积术”求得数列的前n项和是________.4.（人A选择性必修二P55复习参考题4T11变式）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.二、考点分类练(一)等差数列与等比数列求和5.（2022届河南省南阳市高三上学期期末）正项数列的前项和为，都有，则数列的前2022项的和等于（

）A． B．2021 C． D．20226.（2022届云南省昭通一中等三校高三下学期联考）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（

）A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元(二)裂项求和7．设数列的前n项和为，则（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.58.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．(三)错位相减法求和9.（2022届广东省高三三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（

）A． B． C． D．10.（2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔高三下学期第四次模拟）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.(四)分组求和与分段数列求和11.（2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷）数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（

）A． B． C． D．12.（2022届内蒙古海拉尔高三上学期期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（

）A．1 B．0C．1 D．101013.已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.(五)数列的综合应用14.（2022届陕西省西安市周至县高三下学期一模）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（

）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）A．83 B．60 C．50 D．4415.在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④三、最新模拟练16.（2022届江西省临川第一中学高三5月冲刺）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．101117.（2022届浙江省高三下学期高考冲刺）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．18.（多选）（2022届河北省高三模拟演练）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．数列的前n项和为19.（多选）（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．存在使得20.（2022届广东省高州市高三第二次模拟）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即2，3，4，6，8，，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7，，9，11，13，…；③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有，所以有8个奇数，，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．21.（2022届江西省九江市高三第三次模拟）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列的前项和.22.（2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.四、高考真题练23.(2020高考全国卷=2\*ROMANII)数列中，，，若，则 ()A．2 B．3 C．4 D．524．(2017年高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,是 ()A． B． C． D．25．(2017高考全国卷Ⅱ)等差数列的前项和为，，，．26.(2020高考全国卷Ⅰ)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．五、综合提升练27.已知数列满足：.若正整数使得成立，则A．16 B．17 C．18 D．1928.（多选）（2022届湖北省黄冈中学高三下学期三模）已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列B．C．D．满足的的最小正整数解为29.（2022浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.30.（2022届上海市进才中学高三下学期期中）设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入n个数、、、，使、、、、、成等差数列，求；(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.第29练数列求和与数列的综合应用一、课本变式练1.（人A选择性必修二P40练习T1变式）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：，∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，由，故得，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选B2.（人A选择性必修二P55复习参考题4T8变式）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选D3.（人A选择性必修二P25习题4.2T12变式）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式求出物体的总数.这就是沈括的“隙积术”.利用“隙积术”求得数列的前n项和是________.【答案】.【解析】因为在数列，，，…，中，，，项数为，，，所以．4.（人A选择性必修二P55复习参考题4T11变式）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.【解析】(1)设等比数列的公比为，则，解得，则等比数列的通项公式为，.(2)数列中在之前共有项，当时，，当时，，则，.则所求的数列的前项和为.二、考点分类练(一)等差数列与等比数列求和5.（2022届河南省南阳市高三上学期期末）正项数列的前项和为，都有，则数列的前2022项的和等于（

）A． B．2021 C． D．2022【答案】D【解析】因为，则当时，，则，整理得，又为正项数列，故可得，又当时，，解得（舍）或，即数列是首项为公差为2的等差数列，则；设数列的前项的和为，则.故选.6.（2022届云南省昭通一中等三校高三下学期联考）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（

）A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元【答案】A【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.故选A.(二)裂项求和7．设数列的前n项和为，则（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.5【答案】A【解析】由，∴，∴，故选A．8.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．【答案】【解析】由对于任意的，总有，，成等差数列可得：，当时可得，所以，所以，所以，由数列的各项均为正数，所以，又时，所以，所以，，.(三)错位相减法求和9.（2022届广东省高三三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，于是①，②，由①-②得，则.于是.故选A．10.（2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔高三下学期第四次模拟）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，综上：，，所以，所以①，①×得：②，两式相减得：，所以(四)分组求和与分段数列求和11.（2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷）数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设时，是首项为1，公比为2的等比数列，故且，所以，则，故时，是首项为14，公差为-2的等差数列，故且，所以.故选C．12.（2022届内蒙古海拉尔高三上学期期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（

）A．1 B．0C．1 D．1010【答案】A【解析】因为数列的通项公式为，所以，，……，每4项之和为0，所以，故选A13.已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.【答案】330【解析】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，(五)数列的综合应用14.（2022届陕西省西安市周至县高三下学期一模）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（

）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【解析】设每年应扣除的消费资金为万元，则1年后投入再生产的资金为：，2年后投入再生产的资金为：，5年后投入再生产的资金为：∴，∴.故选B15.在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④【答案】②③④【解析】设与交于点，，，，，共线，所以存在实数，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比数列，①错；因为，所以，即，所以是等差数列，③正确；又因为，则，即，，所以当时，，即，所以是递减数列，②正确；因为，，所以两式相减得，所以，④正确.故答案为：②③④.三、最新模拟练16.（2022届江西省临川第一中学高三5月冲刺）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【解析】解：因为当为奇数时，为偶数时，所以，所以，所以；故选D17.（2022届浙江省高三下学期高考冲刺）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当，时，因为，所以，又因为，且，下证，即证，即证，即证，即证，即证令，即证，当，时，不等式恒成立.因此，，所以，又因为，故选D.18.（多选）（2022届河北省高三模拟演练）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．数列的前n项和为【答案】BD【解析】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴；∴，记数列的前n项和为，则，，两式相减：，∴.故选BD19.（多选）（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．存在使得【答案】BC【解析】当时，，当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，A选项错误；则，所以，，B选项正确；当时，，假设当时，成立，当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，故，C选项正确；D选项，当时，由知不成立，当时，由C选项知：，则，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；故选BC.20.（2022届广东省高州市高三第二次模拟）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即2，3，4，6，8，，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7，，9，11，13，…；③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有，所以有8个奇数，，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．【答案】199600【解析】当值社员姓徐，则x在26个英文字母中排第24位，故，前24项中，所以有21个偶数，所以，计算，则当日密码为19960021.（2022届江西省九江市高三第三次模拟）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列的前项和.【解析】(1)当时，，∵，∴.当时，由，得，两式相减得即∴数列，均为公比为4的等比数列∴，∴(2)∵∴数列的前项和22.（2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】(1)由于，所以①，当时，②，①-②得，整理得，所以为常数数列，又，所以.(2)由（1）得，所以①，②，①-②得，故.四、高考真题练23.(2020高考全国卷=2\*ROMANII)数列中，，，若，则 ()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得．故选C．24．(2017年高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,是 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设(其中)则有,因为,所以由等比数列的前项和公式可得因为,所以所以即,因为所以,故所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意当时,,故满足题意的的最小值为．25．(2017高考全国卷Ⅱ)等差数列的前项和为，，，．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有：，解得，数列的前n项和，裂项有：，据此：。26.(2020高考全国卷Ⅰ)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设前项和为，，，①，②①②得，，．五、综合提升练27.已知数列满足：.若正整数使得成立，则A．1