人教A版（2019）必修第二册第8章立体几何初步章末测试(提升)(原卷版+解析)

第8章立体几何初步章末测试（提升）考试时间：120分钟满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022秋·四川）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（

）A． B． C． D．2．（2023吉林长春）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（

）A．3 B． C． D．63．（2023上海浦东新·）用一个平面截正方体，截面图形可能是（

）A．钝角三角形 B．直角梯形C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形4．（2023山东烟台）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克5．（2022秋·广西）在中，，，现以为旋转轴，旋转得到一个旋转体，则该旋转体的体积为（

）A． B． C． D．6．（江西省吉安市2023届）已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．（2022秋·黑龙江大兴安岭地）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论：①与是异面直线；②，，相交于一点；③；④平面．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④8．（2021秋·吉林长春）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（

）A．EF平面B．C．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面所成角的正弦值为二．多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022秋·云南）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为10．（2022·云南）如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C． D．平面平面11．（2022秋·江西宜春）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（

）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到的最短距离为D．沿长方体的表面从A到的最短距离为12．（2022秋·江西抚州）如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·上海黄浦）如图，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________14．（2022秋·安徽六安）正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三梭锥外接球的表面积为______．15．（2022·四川雅安）如图，在长方体中，底面为正方形，E，F分别为，CD的中点，点G是棱上靠近的三等分点，直线BE与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；

②；③平面平面；

④B，E，F，G四点共面.其中，所有正确结论的序号为______.16．（2022秋·辽宁）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022春·上海浦东新）已知在直角三角形中，，（如图所示）(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.(2)一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.18．（2023·云南）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.19．（2022秋·广西玉林）如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角A－BD－C的正切值；(3)求点C到平面ABD的距离．20．（2022天津）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.21．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．(3)求四面体的体积．22．（2022春·安徽安庆·高一校考阶段练习）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，．(1)证明：平面；(2)当的长为何值时，二面角的大小为？第8章立体几何初步章末测试（提升）考试时间：120分钟满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022秋·四川）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，又由轴得轴，故，不妨设是的中点，则，所以在中，，即中边上的中线的长度为.故选：A..2．（2023吉林长春）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【解析】由正弦定理得,△外接圆直径为，得r=3.设球心到平面的距离为，则.∴三棱锥的外接球半径为.故选：C3．（2023上海浦东新·）用一个平面截正方体，截面图形可能是（

）A．钝角三角形 B．直角梯形C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形【答案】C【解析】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.如图所示的截面三角形.设，所以，，.所以由余弦定理得：所以为锐角.同理可求：为锐角，为锐角.所以为锐角三角形.故A错误；对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.故B错误；对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.故C正确；对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误.故选：C4．（2023山东烟台）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克【答案】C【解析】设该正棱台为，其中上底面为正方形，取截面，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，且，，，分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，由等腰梯形的几何性质可得，又因为，，所以，，所以，，因为，易知，故四边形为矩形，则，，所以，，故该正四棱台的高为，所以，该米斗的体积为，所以，该米斗所盛大米的质量为.故选：C.5．（2022秋·广西）在中，，，现以为旋转轴，旋转得到一个旋转体，则该旋转体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中点为，则可看作两个直角三角形和，将以为旋转轴，旋转得到的旋转体相当于将和，分别以直角边和为轴旋转，可得到两个同底等高的圆锥构成的组合体.∵，，∴，，，圆锥的底面圆面积，高为，体积，故所求旋转体体积为．故选：D.6．（江西省吉安市2023届）已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，则为与所成的角，不妨设圆的半径为，则，，因为为、的中点，则四边形为平行四边形，，，则，在中，，由余弦定理可得，所以，．故选：A．7．（2022秋·黑龙江大兴安岭地）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论：①与是异面直线；②，，相交于一点；③；④平面．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】对于①，因为，，所以，又，所以与是相交直线，则①不正确；对于②，设，面面，面面，所以平面，平面，又面面，所以，，相交于一点，②正确；对于③，令，连接，因为，分别是，的中点，所以，，则为平行四边形，所以，而，所以③不正确；对于④，因为平面，平面，所以平面，④正确．综上所述，②④正确，故选：B．8．（2021秋·吉林长春）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（

）A．EF平面B．C．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面所成角的正弦值为【答案】C【解析】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正确；对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确；对于C，由，得EF与AD1所成角为.在中，，所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，，所以，故D正确．故选：C．多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022秋·云南）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为【答案】ACD【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即；，即；圆台的母线长，所以圆台的高，故A正确；圆台的体积，故B错误；圆台的表面积，所以C正确；由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，即D正确.故选：ACD.10．（2022·云南）如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C． D．平面平面【答案】ABC【解析】对于A，因为平面∥平面ABC，平面平面，平面平面，所以∥，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以∥，，所以∥，所以A正确，对于B，由选项A可知∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以B正确，对于C，因为∥，∥，所以∥，因为GH经过的重心，所以，因为，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，因为∥，所以四边形为梯形，且与为腰，所以与必相交，因为平面，平面，所以平面与平面相交，所以D错误，故选：ABC11．（2022秋·江西宜春）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（

）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到的最短距离为D．沿长方体的表面从A到的最短距离为【答案】BC【解析】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，

则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，

则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.故选：BC.12．（2022秋·江西抚州）如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2【答案】BCD【解析】A：连接，如下图面，而面，面，所以M，N，A，B四点不共面，错误；B：若为中点，连接，N为棱的中点，由长方体性质知：，显然面，若面，而面，显然有矛盾，所以直线与平面相交，正确；C：若分别是中点，连接，由长方体性质易知：，而，故，即直线和所成的角为，由题设，易知，即△为等边三角形，所以为，正确；D：若分别是中点，显然，易知共面，所以平面和平面的夹角，即为面和面的夹角，而面面，长方体中，，如下图，为和面夹角的平面角，，正确.故选：BCD三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·上海黄浦）如图，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________【答案】【解析】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，则即为三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四边形为矩形，在直角三角形和中，，，侧棱的长为1，则，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案为：.14．（2022秋·安徽六安）正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三梭锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】为中点，，，，，又，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，又三棱锥为正三棱锥，侧面为全等的等腰直角三角形，三棱锥为如图所示的棱长为的正方体的一角，该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，正方体外接球半径，所求外接球表面积.故答案为：.15．（2022·四川雅安）如图，在长方体中，底面为正方形，E，F分别为，CD的中点，点G是棱上靠近的三等分点，直线BE与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；

②；③平面平面；

④B，E，F，G四点共面.其中，所有正确结论的序号为______.【答案】①②③【解析】设，连接，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故①正确；连接，因为底面为正方形，所以，所以，又，，所以，故②正确；由题可知平面，所以为直线BE与平面所成角，即，则，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正确；延长交的延长线于，连接交于，连接，则B，E，F确定平面，由，可得，又点是棱上靠近的三等分点，所以平面，故④错误，所以所有正确结论的序号为①②③.故答案为：①②③.16．（2022秋·辽宁）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.【答案】【解析】与相交于，连接，，，，，，故平面，，故平面，P是内不包括边界的动点，故在上，当时，最小中，，，根据等面积法：.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022春·上海浦东新）已知在直角三角形中，，（如图所示）(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.(2)一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】(1)(2)【解析】（1）在直角三角形中，由即，得，若以为轴旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，则，其表面积为.（2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离，，在中，由余弦定理得.18．（2023·云南）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.【解析】（1）取中点为，连接，在中，为的中点，为中点，，在平行四边形中，为的中点，，，四边形为平行四边形，面面，平面；（2）连接，相交于，连接，面，面面面，，，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.19．（2022秋·广西玉林）如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角A－BD－C的正切值；(3)求点C到平面ABD的距离．【答案】(1)(2)3(3)【解析】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE，∵是正三角形，∴，又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面．连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°，在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为．（2）过E作于F，连接AF，∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．在中，，又BE＝1，，∴．又，∴在中，．（3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交线为AF．过E作于G，则平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离．在中，．∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为．20．（2022天津）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见