人教A版（2019）必修第二册第8章立体几何初步章末测试(基础)(原卷版+解析)

第8章立体几何初步章末测试（基础）考试时间：120分钟满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022云南楚雄·高一统考期末）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（

）A．该几何体的侧面是平行四边形B．该几何体有七个面C．该几何体恰有十二条棱D．该几何体恰有十个顶点2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定3．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．多面体至少有个面B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形4．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（文）试题）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．5．（2023·河南郑州）已知在正方体中，交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．6．（2023春·安徽）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（

）．A． B． C． D．7．（2022·高一单元测试）在正四面体中，D，E，F侧棱，，的中点，下列说法不正确的（

）A．面 B．面面C．面面 D．面8．（2022秋·宁夏）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列命题正确的是（

）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行10．（2022秋·山东潍坊）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（

）A． B．与所成的角为60°C．与是异面直线 D．平面11．（2022秋·湖南常德）已知为等腰直角三角形，直角边长为1，将绕其一边旋转一周，则所得到的几何体的体积可能为（

）A． B． C． D．12．（2023山西）在长方体中，已知，则下列结论正确的有（

）A．B．异面直线与所成的角为C．二面角的余弦值为D．四面体的体积为三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2021秋·青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________．14．（2022秋·上海黄浦）如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________.15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______．16．（2022上海嘉定）下列命题中正确的命题为__________.①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；③若直线异面，异面，则异面；④若，则.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022陕西）如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．18．（2023辽宁葫芦岛·）如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.(1)求证面(2)求和面所成角的正弦值.19．（2022秋·上海虹口）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．(1)求证：平面；(2)若，，，求圆柱的侧面积．20．（2023河南）如图所示，在四棱锥中，，为棱的中点，，，平面平面．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．21．（辽宁省辽南协作体2021-2022学年高二上学期期初校际联考数学试题）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．(1)求证：平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；(3)求点F到平面ABCD的距离．22．（2022秋·贵州安顺）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.第8章立体几何初步章末测试（基础）考试时间：120分钟满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022云南楚雄·高一统考期末）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（

）A．该几何体的侧面是平行四边形B．该几何体有七个面C．该几何体恰有十二条棱D．该几何体恰有十个顶点【答案】C【解析】根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确；该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B、D正确，C错误；故选：C2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定【答案】A【解析】将直观图还原，则，，所以是正三角形.故选：A.3．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．多面体至少有个面B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【答案】D【解析】对于A，多面体至少有个面，故选项A错误；对于B，有个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.故选：D．4．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（文）试题）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选：C．5．（2023·河南郑州）已知在正方体中，交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.故选：C.6．（2023春·安徽）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】记圆锥的底面半径为r，则，解得，∴圆锥的高，∴该圆锥的体积为．故选：D．7．（2022·高一单元测试）在正四面体中，D，E，F侧棱，，的中点，下列说法不正确的（

）A．面 B．面面C．面面 D．面【答案】B【解析】对于A：因为D，E，F侧棱，，的中点，所以，又面，面，所以面，故A正确；对于B：过P作，平面平面，若面面，则面，∵面，∴.∵，面，面，∴面，∵面

∴，∵，，∴与不可能垂直，矛盾.故选项B不正确；对于D：设正的中心Q，则点Q在AE上，连接PQ，由正四面体的性质得面，又面，所以，又，，所以面，故D正确；对于C：由D选项解析得面，又面，所以面面，故C正确，所以不正确的选项是B选项，故选：B．8．（2022秋·宁夏）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,又因为是的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，从而，，故,故异面直线与所成角的余弦值是.故选：C多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列命题正确的是（

）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【答案】BD【解析】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；故选：BD10．（2022秋·山东潍坊）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（

）A． B．与所成的角为60°C．与是异面直线 D．平面【答案】ACD【解析】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：，，故，A正确B错误；与是异面直线，C正确；平面平面，平面，平面，D正确.故选：ACD11．（2022秋·湖南常德）已知为等腰直角三角形，直角边长为1，将绕其一边旋转一周，则所得到的几何体的体积可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，体积为，当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，，故选：CD12．（2023山西）在长方体中，已知，则下列结论正确的有（

）A．B．异面直线与所成的角为C．二面角的余弦值为D．四面体的体积为【答案】ACD【解析】因为在长方体中，，所以，四边形为正方形，平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；由长方体的性质易知，因为，所以与不垂直，故与不垂直，所以B不正确；设与交于，连接，由长方体性质知，故为等腰三角形，所以，由于，所以为二面角的平面角，在中，，所以，所以，故C正确：四面体的体积为，所以D正确，故选：ACD．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2021秋·青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，所以圆柱的体积为．故答案为：14．（2022秋·上海黄浦）如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________.【答案】【解析】如图，连接，则，故（或其补角）即为所求，又，所以，故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______．【答案】【解析】因为，，所以，即.故答案为：.16．（2022上海嘉定）下列命题中正确的命题为__________.①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；③若直线异面，异面，则异面；④若，则.【答案】①②【解析】对于①，设平面平面，因为，所以平面，所以，同理，，故三点共线，①正确；对于②，因为，所以可以确定一个平面，因为所以，所以，又，所以，因为，所以或，又，所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线异面，异面，但是平行，所以③错误，如下右图；对于④，，但，所以④错误，如下左图.故正确的命题为①②.故答案为：①②四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022陕西）如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，又为的中点，则有，而平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，，，的面积，所以求三棱锥的体积．18．（2023辽宁葫芦岛·）如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.(1)求证面(2)求和面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为面，面面，面，所以，因为是的中点，是等边三角形，所以，因为在矩形中，，分别是，的中点，所以，又，所以，又，面，所以面，因为，所以面.（2）在线段上取点使得，连接，因为是等边三角形的中心，，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以和面所成角等于和面所成角，由（1）得面，又，所以面，即面，所以和面的所成角为，即为所求，在中，，则，因为，所以，联立，解得，所以和面所成角的正弦值为..19．（2022秋·上海虹口）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．(1)求证：平面；(2)若，，，求圆柱的侧面积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：底面，且底面，，又，且，平面，平面；（2）在中，，，，又在中，，．圆柱的底面半径为，母线长为4，圆柱的侧面积为．20．（2023河南）如图所示，在四棱锥中，，为棱的中点，，，平面平面．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，，，所以且．而，故四边形为矩形，则．因为平面平面，且平面平面，所以平面．又平面，平面，故且．因为，，，所以，即．而，故平面．（2）记点到平面的距离为．如图，过点作，垂足为，则平面．因为，故．因为平面，所以．所以，．因为，即，故．21．（辽宁省辽南协作体2021-2022学年高二上学期期初校际联考数学试题）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．(1)求证：