中考数学模拟题《解答题》练习(提升篇)

中考数学模拟题汇总《解答题》练习(提升篇)

(含答案解析)

一.一元二次方程的应用(共1小题)

1.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A,

B两个社区，2社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.

(1)求A社区居民人口至少有多少万人？

(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万

人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的

知晓人数平均月增长率为机％,B社区的知晓人数第一个月增长了胆％,第二个月增长了2〃?％,两个月

后，街道居民的知晓率达到76%,求机的值.

二.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K(x>0)的图象上有一点。("?，>!),过点。作CO_Lx

轴于点C,将点C向左平移2个单位长度得到点B,过点8作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A,

A8=4.

(1)点A的坐标为(用含机的式子表示)；

(2)求反比例函数的解析式；

(3)设直线的解析式为为常数且a#0).则不等式K-(ox+b)>0的解集是.

三.反比例函数综合题(共1小题)

3.如图，动点P在函数y=3(x>0)的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y=」的图

xx

象于点A、B,连接A3、。4、0B,设点尸横坐标为小

(1)直接写出点P、A、8的坐标(用。的代数式表示)；

(2)点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

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(3)在平面内有一点。(羡，1),且点。始终在的内部(不包含边)，求。的取值范围.

4.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yWM,那么称这个函数是

有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，函数)=-(X-3)2+2

是有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①y=/+2x+l和②y=2x-3(xW5)中是有上界函数的为(只填序号即可)，其上确

界为;

(2)若反比例函数产旦(aWxWb,a>0)的上确界是b+l,且该函数的最小值为2,求〃、的值；

X

(3)如果函数y=-7+2ar+2(-1WXW3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值.

5.在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称.其中

一点叫做另一点关于x轴的纵对称点.如，点(-2,3),(1,-3)关于x轴纵对称.在平面直角坐标

系xOy中，点A的坐标为(2,1).

(1)下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是(只填序号)；

①(3,-1)；

②(-2,1)；

③(2,-1)；

@(-1,-1).

(2)若点4关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y=^+3&+l上，ZVlOB的面积为3,求人的值；

(3)抛物线3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6,

请直接写出a的取值范围.

6.已知抛物线>=苏-2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,

4),抛物线的顶点为尸，对称轴交BC于点连接PC、PB,△PCM与△尸的面积比为1：2；

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(1)①抛物线的对称轴是;②求抛物线的函数表达式.

(2)若点。为抛物线第一象限图象上的一点，作轴交BC于点N,当QN+NB取得最大值时，求

以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标.

0

7.抛物线y=^+hx+c经过点C(0,-4),且OB=^OC.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点力、E是抛物线对称轴上的两个动点，且。E=l,点力在点E的下方，求四边形ACDE

的周长的最小值；

(3)如图2,点N为抛物线上一点，连接CN,直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接

写出点N的坐标.

8.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，二次函数-3a(。＜0)的图象与x轴交于A、

8(点A在点B左侧)两点，与)，轴交于点C,已知点8(3,0),P点为抛物线的顶点，连接PC,作直

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线8c.

（1）点A的坐标为;

（2）若射线C8平分NPCO,求二次函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，如果点力On,0）是线段48（含A、B）上一个动点，过点。作x轴的垂线,

分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当〃?为何值时，△CEF为直角三角形？

9.二次函数）'=/+灰+。（a,b,c为常数，且"W0）.

（1）若二次函数解析式为y=-/+1,此函数图象经过A（xi,“）、8（%2,”），且〃?>",则xi=,

X2—；（找出一组符合条件的XI、的值即可）

（2）若b=-4〃<0,函数图象经过尸（V2.yi）、Q（/•，”）、R（_*）,请直接写出yi、”、

”的大小关系（用“〈”连接）；

（3）若〃：b：c=1：（-4）：3,函数图象经过£>（xi,相）、E（%2,m）、F（0,3）,且xi〈x2,当2W

X2-X1W3,求机的取值范围.

10.如图，抛物线尸-^^+饭+6,与x轴交于A、8两点（点4在点8左边），与），轴交于点C直线■工

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上的一动点，过点尸且垂直于工轴的直线与直线及x轴分别交于点。、M.PN

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VBC,垂足为N.设M(机，0).当点尸在直线8c下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使△PNC

与△AOC相似.若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

II.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=«x2-x+c(小c为常数)与x轴交于A(-2,0),B(4,

0)两点，与y轴交于C,点。在线段BC上，且段」.

CD2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BQP面积的最大值；

(3)M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行

四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来.

12.在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,已知4(-3,

0),B(1,0),C(0,3).连接OM,作C£>〃OM交AM的延长线于点。.

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)求点。的坐标；

(3)直线4M上是否存在点P,使得△PO4的面积与四边形POCM面积之比为1：2?如果存在请求出

点P的坐标，如果不存在请说明理由.

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五.平行四边形的判定与性质(共1小题)

13.如图，EL48C。中，E、尸为对角线8。上的两点，且DF=BE,连接4E,CF.

(1)求证：ZDAE=ZBCF.

(2)连接AC交于BO点。，求证：AC,EF互相平分.

14.在RtZ\A3C中，/BAC=90°,。是2C的中点，E是A。的中点.过点A做A/〃BC交3E的延长线

于点F.

(1)求证：△AEFgADEB；

(2)证明四边形AOC尸是菱形；

(3)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面积.

15.如图，在矩形ABCD中，A8=3,4。=4,连接BD,将△A3。绕点。顺时针旋转，记旋转后的三角形

为△4'B'D,旋转角为a(0°<a<360°且a#180°).

(1)在旋转过程中，当A'落在线段BC上时，求A'B的长；

(2)连接A'A、A'B,当NB4'8'=90°时，求tan/4'AD；

(3)在旋转过程中，若△D44的重心为G,则CG的最小值=.

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B'

16.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(8,0),点B(0,6),点尸在

BC边上从点8运动到点C(点P不与点B、C重合)，经过点。、尸折叠该纸片，得点B'和折痕OP.

(1)如图①，连接C8,当CB'长度最小时，求点P的坐标;

(2)①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线?片上，得点。和折痕尸Q,请问AQ的长度

有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由.②请直接写出点Q

的运动路径长.

图②

图①

17.一道作图题：“求作一个团A8CD,使得点A与边BC的中点E的连线平分/BAD.”

小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质.

例如，假设回ABCZ)即为所求作，则A£>〃2C,

：.ZDAE^ZBEA.

又AE平分

：.ZBAE=ZDAE.

:.NBAE=NBEA.

：.BA=BE.(①)

是边BC的中点,

再倒过来，只要作出的团ABCC满足BC=®BA即可.

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(1)填空：①(填推理依据)；②.

(2)参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个回ABCD,使得点A与边BC的中点E的连线与对角线

垂直；(要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明.)

(3)问题(2)所作的121ABC。中的BC和BA是否也有和(1)类似的数量关系？设BC=kBA(k是常数)，

若％是定值，直接写出A的值；若不是，试直接写出4的取值范围.

18.【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有

价值的东西.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

【知识方法】

(1)如图1,AE=DE,BE=CE,CE_LAC交AC于点E,则AB与CQ的关系是；

【类比迁移】

(2)四边形ABCD是矩形，A8=2,3c=4,点P是AO边上的一个动点.

①如图2,过点C作CE_LCP,CE：CP=］：2,连接BP、DE.判断线段BP与OE有怎样的数量关系

和位置关系，并说明理由；

②如图3,以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE,连接DF、DE,则面积的最小值为；

【拓展应用】

(3)四边形ABC。是矩形，AB=2,8C=4,点P是CO边上的一个动点(与点C、力不重合)，连接

BP,将BP绕点尸顺时针旋转90°至IJEP,EP交A。于点G,将CP绕点P顺时针旋转90°至FP,连

接AAGF.求四边形4EGF面积的最小值.

A-----------------D

B-----------------C

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F

图1图2

19.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

【理解运用】(1)如图1,对余四边形中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC=A8,则cos/ABC

,sinZCAD—

(2)如图2,凸四边形中，AD^BD,ADLBD,2CD1+CB2=CA2,判断四边形A8CZ)是否为对余

四边形，证明你的结论.

【拓展提升】(3)在平面直角坐标中，4(-1,0),8(3,0),C(l,2),四边形ABC。是对余四边形，

点E在对余线8。上，且位于AABC内部，ZA£C=90°+ZABC.设岖=〃，点。的纵坐标为,,请在

BE

下方横线上直接写出"与f的函数表达，并注明/的取值范围.

20.如图，在矩形ABC。中，AD=\Q,点£是A力上一点，且(〃?是常数)，作△B4E关于直线BE

的对称图形△BFE,延长EF交直线BC于点G.

(1)求证：EG=BG；

(2)若m—2.

①当48=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；

②当直线BF经过点。时，直接写出AB的长；

(3)随着AB的变化，是否存在常数相，使等式8G-2AE=AB2总成立？若存在，求出根的值；若不

2

存在，请说明理由.

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21.已知矩形ABC。中，AB=6,M是A8的中点，N是BC边上一动点，直线用垂直平分MN,垂足为0,

如图1,当点N与点C重合时，直线〃?恰好经过点。.

(1)求BC长；

(2)如图2,过点，作BC的垂线〃，分别交直线小、AD于点E、F.

①当BN=4时，求EN长；

②如图3,连接。W,交直线〃于点G,在点N由8向C运动的过程中，求GE长的最大值.

图1图2图3

A.切线的性质(共2小题)

22.如图，A2是。0直径，CG是。。的切线，C为切点,8OLCG于£>,的延长线交00于点E,连

接8C,CE.

(1)求证：8c平分乙48。；

(2)若A8=10,sinE=旦，求C£>长.

23.如图(1),/ABC=90°,0为射线BC上一点，。8=4,以点。为圆心，2日长为半径作。。交BC

于点。、E.

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(1)当射线BA绕点8按顺时针方向旋转多少度时与。。相切？请说明理由.

(2)若射线BA绕点8按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M、N两点,如图(2),求谪的长.

九.圆的综合题(共2小题)

24.【数学概念】

我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形.例如，如图①，四边形ABC。内接于。加，且每

条边均与OP相切，切点分别为E,F,G,H,因此该四边形是双圆四边形.

【性质初探】

(1)双圆四边形的对角的数量关系是,依据是.

(2)直接写出双圆四边形的边的性质.(用文字表述)

(3)在图①中，连接GE,HF,求证GEJ_HF.

【揭示关系】

(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的

大致区域，并用阴影表示.

【特例研究】

(5)己知P,〃分别是双圆四边形A8CD的内切圆和外接圆的圆心，若4B=1,BC=2,NB=90°,

则PM的长为.

25.旋转的思考

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【探索发现】

(1)已知△A8C,将AABC绕点A逆时针旋转得到△A8'C'.小美，小丽探索发现了下列结论.

小美的发现如图①，连接对应点B8',CC',则吗_=坐.

CCZAC

小丽的发现如图②，以4为圆心，BC边上的高4力为半径作。4,则8'C与相切.

(i)请证明小美所发现的结论.

(ii)如图②，小丽过点4作A。'LB'C,垂足为£>'.证明途径可以用下面的框图表示，请填写

其中的空格.

【问题解决】

(2)在RtZvWC中，/A=90°,48=&，AC=2届,M是AC的中点，将△ABC绕点〃逆时针旋

转得到△A'BC.

(i)如图③，当边8c恰好经过点C时，连接则88'的长为.

(ii)在旋转过程中，若边所在直线/恰好经过点8,请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线

/.(保留作图痕迹，不写作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线B9,CC交于点P,则8尸的最大值为.

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①

十.相似三角形的判定与性质(共1小题)

26.矩形A8C。中，AB<BC,AB=6,E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点尸恰好落在射线D4

上.

(1)如图，当点E在边CD上时，若BC=10,。尸的长为,；若A尸。尸=9时，求。尸的长;

(2)作/ABF的平分线交射线D4于点当迎△时，求£>尸的长.

BC2

27.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三

角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我

们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”.

(1)如图，在△ABC中，CO为角平分线，NA=40°,ZB=60°,求证：CD为△ABC的“优美分割

线”；

(2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；

(3)在△A8C中，/A=30°,AC=6,为△ABC的“优美分割线”，且△4CQ是等腰三角形，求线

段BO的长.

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28.己知。M_LON,垂足为点0,点E、尸分别在射线。历、ON上,连接EF,点4为EF的中点，ED//

ON,ED=DF,连接。4并延长交线段ED或。尸于点G.

(1)如图1所示，当点G在上，若OG=DE,则N£W=°；

(2)当点G在FD上，请在图2中画出图形并证明△OEFS/XAOF；

(3)若DG=2,AG=4,求。尸的长.

M

F

图1图2

备用图

参考答案与试题解析

--一元二次方程的应用(共1小题)

I.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A,

B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.

(1)求A社区居民人口至少有多少万人？

(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万

人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的

知晓人数平均月增长率为机％,B社区的知晓人数第一个月增长了相％,第二个月增长了2根％,两个月

后，街道居民的知晓率达到76%,求机的值.

【解答】解：(1)设A社区居民人口有x万人，则8社区有(7.5-%)万人，

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依题意得：75-xM2x,

解得x22.5.

即A社区居民人口至少有2.5万人；

2

(2)依题意得：1.2(1+机％)+1X(l+w%)X(l+2w%)=7.5X76%

设机％=〃，方程可化为：

1.2(1+a)2+(1+a)(l+2a)=5.7

化简得：32a2+54a-35=0

解得4=0.5或4=-二反(舍)

16

.,./«=50

答：加的值为50.

二.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)，=K(x>0)的图象上有一点。(相，匡)，过点。作

-x3

轴于点C,将点C向左平移2个单位长度得到点B,过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A,

AB=4.

(1)点A的坐标为(m-2,4)(用含加的式子表示)；

(2)求反比例函数的解析式；

(3)设直线4。的解析式为y=ax+h(小匕为常数且〃#0).则不等式K-(or+b)>0的解集是0<

【解答】解：(1)。(m,4),BC=2,

3

/.OB=m-2,

又・.・A8=4,ABLOC,

：.A(m-2,4),

故答案为：(m-2,4)；

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（2）反比例函数y=K（%>0）的图象上有A,D两点,

X

.\k=4'X（m-2）=~mt

3

解得"7=3,

.•.k=4,

...反比例函数的解析式为y=±

(3)VA(1,4),D(3,A),

3

不等式K-(ax+b)>0的解集为0<x<l或x>3.

三.反比例函数综合题（共1小题）

3.如图，动点P在函数y=3（x>0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数），=」的图

xx

象于点A、B,连接A3、。4、OB,设点P横坐标为a.

（1）直接写出点P、4、8的坐标（用〃的代数式表示）；

（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（3）在平面内有一点。（5，1）,且点。始终在△外8的内部（不包含边），求a的取值范围.

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【解答】解：(1)•.•点P在函数(x>0)的图象上，点尸横坐标为外

X

：.P(.a,—

a

•・・Rl〃x轴，尸8〃y轴，

：.B(a,-A),A(-A.3)；

a3a

(2)是定值，理由如下：

\'PA=a-(-A)=丝，PB=3-(-1)=A,

33aaa

AAPB的面积为工X以XPB=^X全•乂名=2，

223a3

*«*S四边形AOBP=3+1=4,

：./\AOB的面积为定值4-2=4；

33

(3)设直线AB的解析式为)，=丘+6,

将点8(«,-工)，A(-曳，旦)代入得，

a3a

直线A8的解析式为：y=-gx3，

a2a

当x=」时,尸-3金，

3a?a

•.•点。始终在△山8的内部，

/.且3>1,且0>工，

a2aa3

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解得aWl,且工Va<3,

3

综上：工•<°V3且aWl.

3

四.二次函数综合题(共9小题)

4.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yWM,那么称这个函数是

有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，函数>=-(%-3)2+2

是有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①y=/+2x+l和②y=2x-3(xW5)中是有上界函数的为②(只填序号即可)，其上确界

为7；

(2)若反比例函数(aWxWb,a>0)的上确界是加I,且该函数的最小值为2,求a、6的值；

X

(3)如果函数y=-f+2ar+2(-1WXW3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值.

【解答】解：(1)；y=/+2x+l=(x+1)2,

，代0,

.,.y=/+2x+l没有上界函数；

；y=2x-3(xW5),

；.yW7,

Ay=2x-3(xW5)有上界函数，上确界为7,

故答案为：②，7；

(2)'：y=—(aWxWb,a>0),

X

当x=a时，y有最大值反，当时，y有最小值(，

.••gWyW反，

ba

•・•函数上确界是6+1,

.•.旦=〃+1,

a

•・•函数的最小值为2,

・・・2=2,

b

：.b=3,

・.・q=3一；

2

(3)Vy=-?+2^+2=-(x-a)W+2,

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...当x=a时，y有最大值J+2,

①aW-1时，x=-1,y有最大值1-2a,

；6为上确界，

Al-2a=6,

：.a=-立；

2

②a23时，x=3时，y有最大值6。-7,

V6为上确界，

；.6a-7=6,

.•.〃=区（舍）；

6

③-1<〃<3时，x=a时，y有最大值/+2,

：6为上确界，

.'.a2+2=6,

:・a=2或a=-2（舍）；

综上所述：a的值为或2.

2

5.在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称.其中

一点叫做另一点关于x轴的纵对称点.如，点（-2,3）,（1,-3）关于x轴纵对称.在平面直角坐标

系xOy中，点A的坐标为（2,1）.

（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是①④（只填序号）；

①（3,-1）；

②（-2,1）；

③（2,-1）；

④（-1,-1）.

（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y=fcr+3k+l上，△AOB的面积为3,求人的值；

（3）抛物线），=〃/-2以-3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6,

请直接写出。的取值范围.

【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为-1,横坐标为不等于2,

•••②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，

故答案为：①④；

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（2）由题意可得点8的纵坐标为-1,设点8的坐标为（x,-1）,

①当x>0时，如图，分别过点A、点B作AMLy轴于M,作BNLy轴于M

-'•SMOB-S^AMNB-S^AOM-SABON——(2+X)X(1+1)-_lx2X1-工广1=3,

222

•・X=4,

，点3的坐标为(4,-1),

丁点5恰好落在直线>="+3攵+1上,

.\4k+3k+\=-1,解得k=-2,

7

.•/的值为-2；

7

②当xVO时，如图，分别过点A、点B作轴，作轴于N,AM.BN交于点、M,

•'•S^AOB—SAABM-SW.AMNO-S^BON——(2-X)X(1+1)--X(1+1+1)X2--(-x)X1=3,

222

-8,

.,.点8的坐标为（-8,-1）,

,/点B恰好落在直线y^kx+3k+i上,

二-Sk+3k+\=-1,解得％=2,

5

.•/的值为2；

5

第20页共79页

综上，4的值为-2或2；

75

（3）令y=~1,则ax2-2ax-3a=-1,

-2ax-3〃+l=0,

・・•抛物线y=or2-2ax-3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称,

，△=（-2。）2-4。（-3^+1）=16。2-4。＞0,

，4。2-。＞0,

设两个点的横坐标分别为巾、X2,

/.Xl+X2=--^^-=2,X1・X2=.二ki-X2|W6,

aa

（XI-X2）2=（X1+X2）2-4X]・X2＜36,

・・.4-4XAZ^W36,

a

Al-lz3a_^9,

a

①当40时，

1-且4。2-。＞0,

a

解得且

54

・・•与点A（2,1）关于x轴纵对称，

，这两个点不能是（2,-1）,

将（2,-1）代入cu?-2ax-3。=0得,

4a-4a-3a=-1,解得Q=工，

3

3

；・4＞工且a^—\

43

②当〃vo时，

1且4/-。＞0,

a

解得aW-」，且4V』，

54

第21页共79页

■—；

5

综上，a的取值范围为a＞工且aW2或“W-工.

435

6.已知抛物线y=a?_2G：+c(“VO)与x轴交于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C(O,

4),抛物线的顶点为P,对称轴交BC于点M,连接PC、PB,△PCM与的面积比为1：2：

(1)①抛物线的对称轴是直线x=1；②求抛物线的函数表达式.

(2)若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QNLx轴交BC于点M当。N+NB取得最大值时，求

以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标.

’3

0x

【解答】解：(1)①..juax*2-2ax+c,

•x=--2aj

2a

即抛物线的对称轴是直线x=l,

故答案为：直线x=l；

②；C(0,4),

.•♦抛物线yuox2-2ar+4,

:△PCM与△P8M的面积比为1：2,

：.XpMX(XB-1)=2XaPMX(1-xc),

22

••XB-1=2,

••XB~^3,

：.B(3,0),

•.•抛物线的对称轴是直线x=1,

AA(-1,0),

第22页共79页

将3(3,0)代入抛物线y=a/-2ox+4中,

得：9a-6(7+4=0,

解得：a4

3

...该抛物线的函数表达式为)，=-&/+/叶4.

33

(2)设直线BC的解析式为将B(3,0),C(0,4)代入得：Pk+b=0

Ib=4

2

解得:3,

设Q(f,^+―r+4),则N(t,一驾+4),

333

QN---r*2+3*8—r+4-(-A/+4)=-—r+4t,

3333

设QV与x轴交于H,则H(r,0),

:.NH=当+4,BH=3-t,

3

•••QNL轴，

:.NBHN=NBOC=90°,

在RtABOC中，BC—yjQg2+QQg2=5,

:.NB=~(当+4)=E+5,

433

QN+NB--—^+4?+(上f+5)=--?+—r+5=-—(z-—)2+^9_,

33333848

.•.当f=1时，QN+NB取得最大值2竺，

848

-当2+旦什4=-Ax(1)2+区义工+4=强，

33383816

此时，Q(工，—),N(工，-AL),

81686

①当8。为回BNQG的对角线时，BG//QN,BG=QN,

第23页共79页

S5_-QN〃y轴,

16648

.•.86=卫9,8G〃y轴，

48

AGi(3,

②当8N为团BQNG的对角线时，BG//QN,BG=QN,

•.•QN=适-9=11^,°N〃y轴,

16648

BG〃y轴,

48

：.G2(3,-

48

③当QN为团2QGN的对角线时，BN//GQ,BN=GQ,

886

...8N向左平移」工个单位，向上平移」2个单位，得到线段G。,

86

...点G的横坐标为：工5•，点G的纵坐标为：巫+“=旦里1,

88416648

：.G3(-—,闻J；

448

—)或02(3,里)或G3(-2391).

4848448

-4),且OB=2OC

4

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)如图1,点。、E是抛物线对称轴上的两个动点，且QE=1,点。在点E的下方，求四边形AC£>£

的周长的最小值;

第24页共79页

(3)如图2,点N为抛物线上一点，连接CN,直线CN把四边形CBM4的面积分为3：1两部分，直接

写出点N的坐标.

【解答】解：(1)；点C(0,-4),

OC=4,

•；OB=±OC

4

；.OB=3,

点B(3,0),

,抛物线产产+以+。经过点C(0,-4),点8(3,0),

'g

...(12+3b+c=0,解得产方,

I|c=-4

抛物线的表达式为：一2x-4；

33

(2)把C向上移1个单位得点C',再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C",连接AC",与对称

轴交于点E,再在对称轴上E点下方取点。，使得。E=l,连接CD,则CZ)=C'E=C"E,此时四边

形ACDE的周长最小，

第25页共79页

VC(0,-4),

:C(0,-3),

_8

-当14的对称轴是直线k——J=l,

332x|

:・C”(2,-3),A(-1,0),

••.AC=Ji2+42=g,

AC"=4(2+D2+§2=3加,

AE+DE+CD+AC=AE+l+C"E+A/17=l+yfl7+AE+C"E=1+J77+AC"=1+百7+3&的值最小,

四边形AC£>E的周长的最小值为1+JF+3J5；

(3)如图，设直线CN交x轴于点E,

直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，

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又"：S&NCB：S^NCA——EBX（JW-yc）：—AEX（y/v-yc）—BE：AE,

22

则BE：AE=\：3或3：1,

VA（-1,0）,B（3,0）,

.,.A3=4,

贝ljAE=3或1,

即：点E的坐标为（2,0）或（0,0）,

：当点E的坐标为（0,0）时，直线CE与抛物线不可能交于点N,故不合题意，舍去，

当点E的坐标为（2,0）时，设直线CN的表达式：），=日-4,

...2、-4=0,解得比=2,

直线CN的表达式：y=2x-4,

联立>=9/一2・4并解得：或0（不合题意，舍去），

332

故点N的坐标为（［，3）.

2

8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y=o?+6x-3a（。<0）的图象与x轴交于A、

8（点A在点3左侧）两点，与），轴交于点C,已知点8（3,0）,P点为抛物线的顶点，连接PC,作直

线BC.

（1）点A的坐标为（-1,0）；

（2）若射线CB平分NPC。，求二次函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，如果点。Cm,0）是线段A8（含A、B）上一个动点，过点。作x轴的垂线,

分别交直线BC和抛物线于E、尸两点，当机为何值时，ACEF为直角三角形?

【解答】解：(1)把8(3,0)代入入y=a/+bx-3”，得0=9a+3b-3a,

:・b=-2a,

・"=〃/-2ax-3a,

当y=0时，

第27页共79页

cvr-lax,-3a=0,

'：a<0,

A?-2x-3=0,解得xi=7,X2=3.

(-1,0),

故答案为：(-L0)；

(2)由(1)知，b=-la,

对称轴为直线x=l.

设对称轴与8c交于点G,

y=a)?+bx-3«=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4。,

：.P(1,-4a),

当x=0时，y=axi+bx-3a--3a,

：.C(0.-3a),

设直线BC的解析式为y=mx+n,

.♦/3mk=0,解得(m=a,

[n=-3a\n=-3a

*.y=ax-3。