人教版八年级数学下册第十八章平行四边形

第十八章平行四边形

18.2.3正方形

第1课时正方形的性质

学习目标：1.理解正方形的概念；

2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和

区别；

3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.

重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.

难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.

A/自主学习

一、知识回顾

1.你还记得长方形有哪些性质吗？

2.菱形的性质又有哪些？

------------>A辰森究

一、要点探究

探究点1：正方形的性质

想一想1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?

2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?

要点归纳：正方形定义：有一组邻边并且有一个角是的——叫正方形.

想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.

那你能说出正方形的性质吗？

1.正方形的四个角都是,四条边.

2.正方形的对角线______且互相.

证一证已知：如图，四边形ABCD是正方形.

求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.

证明：•••四边形ABCD是正方形.A------------D

：.ZA=0,ABAC.

又;正方形是平行四边形.

BC

.•.正万形是,亦是.

/.ZA—ZB—ZC_ZD=°,教学备注

AB―BC—CD—AD.

已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点0.

求证：A0=B0=C0=D0,AC±BD.

证明：正方形ABCD是矩形，A、-----D

/.A0—B0—C0—D0.

,/正方形ABCD是菱形.

AAC_BD.——

想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图

形?如果是,那么对称轴有几条？

要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:

2.探究点1新知

正

菱

矩形

形

方讲授

形（见幻灯片

4-19）

平行四边形

正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.

2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

典例精析

例1如图，在正方形ABCD中，ABEC是等边三角形.

求证：ZEAD=ZEDA=15°.

变式题1四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边AADE,求NBEC的大小.

♦7

教学备注

易错提醒：因为等边4ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等.本题分两种情况:

等边4ADE在正方形的外部或在正方形的内部.

变式题2如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD.

（1）求证：Z\APB四△DPC；

（2）求证：ZBAP=2ZPAC.

2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

4-19）

例3如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEXBC于E,PF±DC于F.试说明：AP=EF.

方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用

垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.

针对训练

1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.四个角相等

B.对角线互相垂直平分

C.对角互补

D.对角线相等________7

2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A.四条边相等

教学备注B.对角线互相垂直平分

配套PPT讲授C.对角线平分一组对角

D.对角线相等

3.如图，四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO=2,求正方形的周长与

面积.

二、课堂小结

3.课堂小结（见

内容

幻灯片25）

定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫

做正方形.

性质：

正方形的性质

1.四个角都是直角

2.四条边都相等

3.对角线相等且互相垂直平分

-----------〉，堂检

.当堂检测（见GX

4

幻灯片20-24）1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）

A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直

C.对角线相等

D.对角线互相垂直且相等

2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

3.在正方形ABC中，/ADB=,ZDAC=,ZB0C=.

第3题图第4题图

4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB,则/EBC的度数是.

\_________5.如图，正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线，AE平分/BAC,EFLAC,求BE的长.

教学备注

4.当堂检测（见

幻灯片20-24）

6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有

怎样的关系？请说明理由.

八年级数学下册期中综合检测卷

、选择题（每小题3分，共30分）

1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（)

A.xN3B.xW3C.x>3D.x<3

2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（)

A.4,5,6B.l,1,A/2C.6,8,11D.5,12,23

3.下列各式是最简二次根式的是（）

A.邪B.V7C.V20D.V03

4.下列运算正确的是（）

A.A/5-73=72B.£=23C.A/8-V2=V2D.^（2-^）2=2-75

5.方程I4%—8I+Jx—y—?"=0,当y>0时的取值范围是（）

A.0<m<lB.m^2C.mW2D.m<2

6.若一个三角形的三边长为6,8,x,则此三角形是直角三角形时，x的值是（）

A.8B.10C.2V7D.10或2行

7.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）

A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形

8.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）

A.AB//CD,AD=BCB.AB=CD,AD=BC

C.ZA=ZB,ZC=ZDD.AB=AD,CB=CD

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACLBD时，它是菱形

C.当NABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形

\B

A

第15题图

10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于

点O,下列结论：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）

S/\AOB=S四边形DEOF中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知最简二次根式J4a+3〃与呵2a-〃+6可以合并,则ab=.

12.若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足一6a+9+|b—4I=0,则该直角三角

形的斜边长为.

13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积Si=三兀，

8

S2=2n,贝ISs=.

14.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ACLBD,且OB=OD,请你添加一个适

当的条件,使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.

15.如图，AABC在正方形网格中，若小方格边长为1,则AABC的形状是

16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,NBAD=120°,AC=4,则该菱形的

面积是.

17.AABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则4ABC的周长是.

18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标

分别为A（10,0）,C（0,4）,点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出

了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3,4）,请你写出其余所有符合这个

条件的P点坐标.

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

（1）（M-4《）-（34-2代）;

(2)(2—石严15.(2+73)2016-2X|--1-(-V3)0.

2

20.(8分)如图是一块地，已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且CDLAD,

求这块地的面积.

21.（8分）已知9+V11与9—V11的小数部分分别为a,b,试求ab~3a+4b—7的值.

22.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D

点作DELDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.

A.

B

23.（10分）如图，4ABC是直角三角形，且NABC=90°,四边形BCDE是平行四边

形，E为AC的中点，BD平分NABC,点F在AB上，且BF=BC.求证:

（1）DF=AE；（2）DF±AC.

BC

24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402m,NABC=120°,在其

内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛

中种植茉莉花，其单价为10元/n?,请问需投资金多少元？（结果保留整数）

C

25.（12分）（1）如图①，已知△ABC,以AB、AC为边向AABC外作等边4ABD和等

边AACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接

BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得NABC=45°,N

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.

E

K//A

BCBCBC

图①图②图③

八年级数学下期末综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次根式屉、厉、同、，40,、J，+二中,最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若式子军a有意义，则x的取值范围为（）

x-3

A.x24B.xW3C.x》4或xW3D.x24且xW3

3.下列计算正确的是（）

A.74XV6=4A/6B.A/4+A/6=V10

C.V404-^/5=22D，7（-15）2=-15

4.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是（）

3612「9「3百

AA.—B.—C.-D.------

52544

5.平行四边形ABCD中,NB=4NA,则NC=()

A.18°B.36°C,72°D.144°

6.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,菱形的周长是20cm,AC：BD=4：3,则菱形

的面积是（)

第10题图

7.若方程组（2久+y=6的解是-1则直线y=-2x+b与y=x~a

\x-y=a

的交点坐标是（）

A.(-b3)B.(b-3)C.(3,-1)D.(3,1)

8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下

列说法正确的是（）

A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点

C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多

9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所

示：

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A.1.70,1.65B,1.70,1.70C.1.65,1.70D.3,4

10.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PELAB于E,PF

±AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

A1BiclDt

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.当》=时，二次根式x+1有最小值，最小值为.

12.已知a,b,c是AABC的三边长,且满足关系式

Jc2—例=o,则AABC的形状为.

13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=13,AC=10,DB=24,则

四边形ABCD的周长为.

14.如图，一次函数yi=kix+bi与,2=依+历的图象相交于A（3,2）,则不等式（fo—h）

x+bi—Z?i>0的解集为.

第14题图第16题图第18题图

15.在数据一1,0,3,5,8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3,则x的值为.

16.如图，AABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，ZECF=60°,AE〃BD,EF

±BC,EF=26，则AB的长是.

17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结

果如下表所示：

时间（小时）4567

人数1020155

则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.

18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和

CD上，下歹U结论：①CE=CF,②NAEB=75°,③BE+DF=EF,④S正方形ABCD=2+百,

其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

(1)|2A/2-3|-+V18；

土Q),其中斫G+i,b=6—i.

(2)先化简，再求值:

20.(8分)如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.若BC=10

cm,AB=8cm.求EF的长.

21.(9分)已知一次函数的图象经过点A(2,2)和点B(-2,-4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)求图象与x轴的交点C的坐标；

(3)如果点M(a,—1)和点N(—4,b)在直线AB上，求。力的值.

2

22.（9分）（湖北黄冈中考）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市

直机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一

年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有

23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农

村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进

价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少

元？

24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,

过M作MEXCD于点E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的长；

(2)求证：AM=DF+ME.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线产履+6与x轴、y轴分别交于A、B

两点，且△ABO的面积为12.

（1）求左的值；

（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，△PAO是以OA为底的等腰

三角形？求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PO,ZVPBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果

不是，请在线段AB上求一点C,使得^©80是等腰三角形.

期中综合检测卷

l.A2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.B9.D

10.B【解析】在正方形ABCD中.YCEnDF.二人F=DE,

又,.•ABnAD.NBAFnNDugO,二二

AE=BF.NAFB=ZDEA.NDAE=ZABF.VZDAE+

ZDEA=90\二/DAE+NAFB=90°.即ZAOF=90°./.

AE卜.*.*=S4“即+Siu边皿曲丛♦,=

S国边”日4故(D(2)(4)正确.

9

11.112.513—K14.(M=OC(答案不唯一)

O

15.直角三角形16.8疗17.42或32

18.(2.4)或(8.4)

19.(1)解：原式=46一4•乌一3•自+2•乌=3VT;

43Z

(2)解：原式=(4-3产“(2+侦)一直一1=1.

20.解：连接AC.由勾股定理得：AC=十3?=5(m).

丫52+122=13，.•.△ABC是直角三角形.

.,.S=-^-X5X12一-^-X3X4=30-6=24(x1?).

答：这块地的面积为24m2.

21.解：易知a=JTT—3.4=4—TIT..+46-7=(TIT

—3)(4—v^TT)—3(>/TT—3)+4(4—y/TT)—7=7>/TT—23

—3yrr-1-94-16—45/TT-7=-5.

22.解：如图.连接BDJ.•在等腰直角三角

形ABC中.D为AC边上中点.

：.BD±AC,BD=CD=AD,ZABD

=45B,ZC=45\

又DE_LDF.NFDC=NEDB.

△EDB^AFDC',

二BE=FC=3.二AB=7.则BC=7,

二8广=4.在RtAEBF中.EF2=BE?+BF?=3*+4-

.\EF=5.

23.证明：(D如图,延长DE交AB于点G.

连接AD.TED〃段"E是AC的中点.

ZABC=90"./.AG=BG,D(i±AB,.'.

AD=BD.VBD平分NABC.；./ABD

=45\ZBAD=45*,ZBZX；=ZADG=

45\•.•四边形BCDE是平行四边形.二

ED=BC.又VBF=BC,：.BF=DE.：.

/\AED^ADFB,：.AE=DF.

(2)VAAED二ADFB、：.ZAED=

NDFB.二ZDFG=ZDEC.VNDFG

与NFD(；互余.；.NDEC与NFDG互余DF_LAC.

24.解：连接8D、AC「.•菱形ABC'D的周长为40>/2m,.•.菱形

ABCD的边长为10^/2m.VZABC=120\.\ZA=60”.二

△BDA是正三角形..,.•BD=AB=10yim..,.AC=10>/6m.

•；E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点，二四边形EFGH

是矩形,矩形的边长分别为5Vfm.5#m.•.矩形EH；H的面

积为蚯*5^=50行（mD.即需投资金为50V3X10=50073

{866（元）.

答：需投资金为866元.

25.解：（1）完成图形,如图①所示.

图①图③

证明：V△ABD和ZXACE都是等边三角形.二AD=AB.

AC=AE,NBAD=NCAE=60°,二ZBAD+ZBAC=

ZCAE+ZBAC,即ACAD=AEAB,,：在ZXCAD和

,AD=AB,

△E.AB中,,NCW=NEAB，二ACAD(SAS).

AC=AE,

：.BE=CD.

(2)BE=CD.理由如下：•.•四边形ABFD和ACGE均为正

方形.二AD=AB,AC=AE，NBAD=NCAE=90s./.

ZCAD=ZEAB.V在△CAD和/XEAB中.

/AD=AB.

,NCAD=/EAB./.ACAD^AEAB(SAS),：.BE=CD.

AC=AE.

(3)由(D、(2)的解题经验可知.如图③.过A作等腰直角三

角形ABD./BAD=90'.则AD=AB=100米./ABD=

450.二8D=100&■米.连接CD.则由(2)可得BE=CD,V

ZABC=45\?.NDBC=90°,在RtADBC中.BC=100

米.BD=100笈米,根据勾股定理得：CD=

710014-(10072)*=10071(米).则HE=CD=100VI米.

期末综合检测卷

l.C2.A3.C4.A5.B6.B7.A8.B9.A

10.D【解析】丁PE_LAB,PEA=90,PF_LAC,二

ZPFA=900.V3*+41=51.即AB2十AC1=BC*、：.

NBAC=90'.•.四边形AEPF为矩形.连接APJ.,点M为

EF的中点,二点M是AP、EF的交点..•.八乂=微-八？.当

AP±BC时.AP最短为争=性.二八乂最小为;X当

OO£»O

6

=~'

11,-1012.等腰直角三角形13.52

14.x<3【解析］(.k2-跖)工+阳—b、>Q.；.k*工+be>k\H

十仇.从图象上看,解集即为直线yt=ktx+bt的图象在直

线”=防工十"的图象上方的部分所对应的工的取值范围.

•.•两直线交于点A(3.2),结合图象可知,当了<3时~2>

W，即(4,一七)工+%一仇》0.

15.316.217.5.318.①②④

19.(1)解：原式=3—2笈-4+3笈=笈-1;

(2)解：原式=山.(」+2一+与=也.

a\a)a

a

—,,,.t=二•当a=V3+1.6=73—1时，原式=一

一(a十b)a十b

11173

a+b5/34-1+5/3-12V36,

20.解：由条件知AF=AD=BC=10cm,在RtAABF中.BF

=ZAF2-AB2=7102-8*=6(cm),二FC=BC-BF=

10-6=4(cm).设EF=Hcm,则DE=EF=_rcm.CE=

(8-x)cm.在RtACEF中，EF?=CE?+FC*.即/=(8—

工"+4:解得工=5.即EF=5cm.

21.解：（1）设直线A8的解析式为），=无工+力.则有

产+丁，解得卜=5・

1—2A+%=-4・f]

s=一1・

二直线A8的解析式为丁=可工一1;

32/2

(2)令y=0•得行工一1=0•二”•