猜题05 二次函数（拔尖必刷53题14种题型专项训练）

第5章二次函数（拔尖必刷53题14种题型专项训练）利用二次函数的性质判多结论问题利用二次函数的性质比较四个字母的大小利用二次函数的最值求字母的值或取值范围根据新定义求二次函数最值根据新定义求字母的值或取值范围二次函数与函数、方程组、不等式综合抛物线的平移、旋转、对称二次函数综合问题-线段周长问题二次函数综合问题-面积问题二次函数综合问题-角度问题二次函数综合问题-特殊三角形存在性问题二次函数综合问题-特殊四边形存在性问题二次函数综合问题-相似三角形存在性问题二次函数综合问题-全等存在性问题一．利用二次函数的性质判断多结论问题（共5小题）1．（2023上·湖北孝感·九年级统考期中）已知抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（包含端点），顶点坐标为，有下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为；②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根为和其中正确结论的是()A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④3．（2023上·云南昆明·九年级云大附中校考期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点．其对称轴为直线下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若关于x的一元二次方程没有实数根．则；④满足的x的取值范围为．⑤对于任意实数m，总有；其中正确结论的个数为（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2023上·云南昆明·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线和直线．我们规定：当取任意一个值时，对应的函数值分别为和．若，取和中较小值为；若，记．当时，；当时，道的增大而增大；使得大于的的值不存在；若，则．上述结论正确的是（填序号）．

5．（2023上·北京房山·九年级统考期中）二次函数的图象经过，，三点．下面四个结论：①抛物线开口向下；②当时，取最小值；③当时，一元二次方程必有两个不相等实根；④直线经过点，，当时，的取值范围是．所有正确结论的序号是．二．利用二次函数的性质比较四个字母的大小（共7小题）1．若关于x的方程2x2-3x+m=2023的解为x1，x2(x1<A．x1<x2<C．x3<x2．（2023上·浙江·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，3．（2023上·四川南充·九年级统考期中）若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，且．则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023上·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）若是方程的两个根，则实数，a，b的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数，且，是方程的两个根，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．7．（2021上·贵州黔南·九年级校考期末）已知函数y＝﹣(x﹣m)(x﹣n)+3，并且a，b是方程(x﹣m)(x﹣n)＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b三．利用二次函数的最值求字母的值或取值范围（共5小题）1．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）关于x的二次函数，在时的最大值与最小值的差大于15，则m的取值范围是（

）A． B．或C． D．2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．3．（2023上·福建厦门·九年级校考阶段练习）已知函数，当时，函数有最大值，最小值3，则m的取值范围是．4（2023上·湖北·九年级校考周测）已知函数，且的取值范围是．(1)若的最大值为6，求的取值范围；(2)若的最大值为5，求的值；(3)求的最小值．5．（2023上·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数：的图象开口向上，且经过点．(1)求的值（用含的代数式表示）：(2)若二次函数在时，的最大值为1，求的值；(3)将线段向右平移2个单位得到线段，二次函数向上平移个单位得到，若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．四．根据新定义求二次函数最值（共3小题）1．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：，若函数，则该函数的最小值为（

）A． B．0 C． D．32．（2023下·福建泉州·九年级校联考期中）定义：，若函数，则该函数的最大值为（

）A．0 B．3 C．5 D．83．（2015·江苏无锡·统考一模）定义符合的含义为：当时，；当，，如：，．则的最大值是（）A．0 B．1 C． D．五．根据新定义求字母的值或取值范围（共6小题）1．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以4为上确界的有上界函数，则实数．

2．（2023·四川成都·校考三模）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为．3．（2023上·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．

(1)在点中，______________的“关联点”在函数的图象上；(2)如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标；(3)如果点在函数的图象上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围．4．（2023上·北京海淀·九年级北京市八一中学校考阶段练习）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数为边界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数：是边界函数，其边界值是2．​(1)函数①和②中是边界函数的为（只填序号即可），其边界值为；(2)如果函数的边界值是a，且这个函数的最大值超过，求b的取值范围；(3)如果函数是以为边界值的边界函数，直接写出实数a的值．5．（2023上·北京·九年级北京八十中校考阶段练习）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

(1)函数①和②中是有上界函数的为________（只填序号即可），其上确界为________；(2)如果函数的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求a的取值范围；(3)如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值，并求出此时函数的最小值．6．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．

①________；

②________；

③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．六．二次函数与函数、方程组、不等式综合（共5小题）1．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，，两点在二次函数与一次函数图像上．

(1)求的值和二次函数的解析式．(2)请直接写出使时，自变量的取值范围．2．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点．(1)求k，b的值；(2)结合图象直接写出的解集．3．（2023上·湖北十堰·九年级统考期中）如图，已知二次函数的图象过点，交轴坐标轴于点，交轴于点，

(1)填空：______，______；(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，求的长：(3)在同一坐标系中画出直线，并直接写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．4．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）前面我们学习了一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质，积累了一定的学习经验，相信大家都掌握了探究函数图象和性质的路径．下面是探究函数的图象和性质的过程．阅读并回答相关问题．列表：自变量x与函数y的对应值表．x……y……(1)①表格中的，．②描点：根据表中的数值描点，请在下面的平面直角坐标系中补充描点和点．③连线：请在下面的平面直角坐标系中用光滑曲线顺次连接各点，画出函数图象．(2)请写出该函数图象的一条性质：．(3)运用该函数图象，直接写出方程的解是：．(4)若关于方程有个实数解，则实数的范围是．5．（2023上·河南信阳·九年级统考期中）类比探究题：

(1)【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是_________，如图1，直接写出方程的解为_________；不等式的解集为_________；如图2，写出二元一次方程组的解为，不等式的解集为_________；(2)【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题．已知，如图3，函数的图象与x轴的交点为，则方程的解为_________；不等式的解集为_________；(3)【拓展拔高】如图4，函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点，根据图象求：①方程的解；②不等式的解集．七．抛物线的平移、旋转、对称（共5小题）1．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图．已知抛物线经过三点，为坐标原点

(1)求此抛物线的解析式(2)若把抛物线向下平移个单位度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内．求的取值范围2．（2023上·重庆潼南·九年级校联考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接DC、DB，当△BCD面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；(3)如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE．点M为原抛物线对称轴上一点，以B、E、M为顶点的三角形是直角三角形时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点，与直线交于点，点的横坐标为，抛物线的对称轴为．

(1)求抛物线的解析式；(2)动点在直线上方的抛物线上，点的横坐标为，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，当时，求值；(3)点是坐标平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标．4．（2023上·湖北襄阳·九年级校联考期中）已知抛物线，为抛物线的顶点．(1)如图，若，抛物线经过点．求抛物线的解析式；若在直线下方的抛物线上有点，当最大时，求点的坐标；(2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图示例）交轴、两点，连接点与（）中的点，若直线与轴的交点落在线段之间，直接写出的取值范围．5．（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．(1)抛物线的顶点坐标为，它的“同轴对称抛物线”为；(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线的对称轴对称的点、，连接BC、、、．当四边形为正方形时，求a的值．

八．二次函数综合问题-线段周长问题（共3小题）1．（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）如图，抛物线交x轴于点，交y轴交于点B，对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023上·宁夏固原·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点P的坐标；(3)点Q在x轴上，且，请直接写出点Q的坐标.3．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________；(3)求的最大值；九．二次函数综合问题-面积问题（共2小题）1．（2023上·新疆省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）抛物线过，两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．

(1)求抛物线的解析式及D点坐标；(2)在直线下方的抛物线上存在点P，使的面积最大，求出最大面积；(3)当时，函数的最小值为5，求t的值．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．

(1)求此抛物线的表达式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求B的坐标．十．二次函数综合问题-角度问题（共2小题）1．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）综合与探究抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．2．（2022·山东济宁·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．(3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标．十一．二次函数综合问题-特殊三角形存在性问题（共3小题）1．（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，其中点的坐标是，顶点为点，连接，抛物线的对称轴与轴相交于点．

(1)求的值；(2)求的度数；(3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点，使得是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2023上·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，（在的右侧），与轴交于点．

(1)分别写，的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出点的坐标．3．（2023下·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标．十二．二次函数综合问题-特殊四边形存在性问题（共3小题）1．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P．(1)求抛物线和直线的函数表达式：(2)过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值；(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．(1)直接写出点A和点B的坐标；(2)设P