计数原理与二项式定理知识点总结- 高三数学一轮复习

第第页高考知识点总结10-2计数原理与二项式定理一．计数原理与排列组合(一)两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝mn种不同的方法(二)排列与组合1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数(1)定义：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．(2)排列数的公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n!(n−m)!(n，m∈N*，且m≤n)．特例：(1)Aeq\o\al(n,n)＝n!；(2)0！=1;(3)排列数的性质：①；②；③．3.组合数(1)定义：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．(2)组合数公式：∁nm=Anmm!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m(m−1)(m−2)⋯1所以组合数公式还可表示为：Cnm=(3)组合数的主要性质：(1)∁nm=∁n(三)常见排列组合类型及解法1．“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有种；②某(特)元不在某位有(补集思想)(着眼位置)(着眼元素)种.2.相邻(紧贴)问题“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，排法共有种．①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；3.不相邻问题“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），的排法共有·种．4.两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.5.分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.(2)(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，(3)其分配方法数共有.6.涂色问题如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．二．二项式定理(一)1.二项式定理：(a＋b)n＝(n∈N*).右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk.2.两个常用的二项展开式：①（）②3.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从，，一直到，.(二).二项式系数的性质1.每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．2.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝.3.增减性与最大值：二项式系数，当k<n+12时，二项式系数是递增的；当k>n+12当n是偶数时，那么其展开式中间一项Tn当n是奇数时，那么其展开式中间两项Tn−12+14.各二项式系数的和：令，则二项式系数的和为，(1)变形式．(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，令，则从而得到：．5.二项式系数最大值：(1)如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项Tn2+1的二项式系数(2)如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项Tn+12,T6.项的系数最大值：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．(三).二项式展开式中系数的和1.设，①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．2.若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i