2024年河南省商丘市中考数学会考试卷

第1页（共1页）2024年河南省商丘市中考数学会考试卷一、单选题1．（3分）数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．爱心曲线 B．蝴蝶曲线 C．费马螺线曲线 D．四叶花曲线2．（3分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下3．（3分）在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．120° B．105° C．75° D．45°4．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）6．（3分）抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）8．（3分）如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，∠AEC＝60°，OB＝4（）A．2 B．2 C．4 D．49．（3分）如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点DBC，连接AD，则tan∠CAD的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点P为平面内一点，且BP＝2，则AQ+PQ的最小值为（）A．11 B． C． D．13二、填空题11．（3分）若，则的值为．12．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b＝．13．（3分）若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点．14．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，连接AE、BE，反比例函数，则k的值为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转60°得△ADE，则图中阴影部分面积为．三、解答题16．（1）解方程：x2+6x+5＝0；（2）计算：．17．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是．（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．18．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．19．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】20．已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0）B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，B重合的相异两点，记AB的中点为E，BC的交点为P．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若C（4，3），，且m＜2，求证：C，D；（3）小明研究发现，无论C，D在抛物线上如何运动，D，E三点共线，△ABP的面积恒为定值21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E，F，DG⊥AB于点G（1）求证：△AED∽△DGB；（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若，OA＝6，求劣弧（结果保留π）．22．《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数，过程如下，请完成探究过程：（1）初步感知：函数的自变量取值范围是；（2）作出图象：①列表：x…﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣0123…y…2m35﹣3﹣1﹣n…表中m＝，n＝；②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；（3）研究性质：小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中转化为，他判断该函数图象就是反比例函数，反比例函数是中心对称图形（0，0），则函数的对称中心为；（4）拓展应用：当1≤x≤4时，关于x的方程有实数解23．如图①，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝100mm，使正方形的一边在BC上，其余两个定点分别在AB，这个正方形零件的边长是多少？（1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？变式训练：（2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝4．求S△AGF：S△ABC的值．

2024年河南省商丘市中考数学会考试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．爱心曲线 B．蝴蝶曲线 C．费马螺线曲线 D．四叶花曲线【解答】解：A．是轴对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，故不符合题意；C．是中心对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形，故符合题意．故选：D．2．（3分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下【解答】解：A．瓜熟蒂落，发生的可能性为1；B．旭日东升，发生的可能性为1；C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，符合题意；D．夕阳西下，发生的可能性为7．故选：C．3．（3分）在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．120° B．105° C．75° D．45°【解答】解：∵，∴，，∴，，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°．故选：A．4．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对【解答】解：∵关于x的方程（m+3）x2+x+m4+2m﹣3＝2的一根为0，∴（m+3）×62+0+m6+2m﹣3＝3，即m2+2m﹣8＝0，解得：m＝1或﹣7．又关于x的方程的另一根不为0，所以Δ＞0，即3﹣4（m+3）（m7+2m﹣3）＞7，解得：m∈（﹣∞，+∞），m+3＝0，故选：A．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：∵点A（﹣3，6），相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，故选：D．6．（3分）抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由抛物线y＝ax2﹣1可知，抛物线与y轴的正半轴相交、C不合题意，B、由抛物线开口向下可知a＜6、三象限可知a＞0，故B选项不合题意；D、由抛物线开口向下可知a＜0、四象限可知a＜7，故D选项符合题意．故选：D．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【解答】解：方法一：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A3作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO＝∠A3MO＝90°，∠1＝∠2＝∠8，则△A1OM∽△OC1N，∵OA＝4，OC＝3，∴OA1＝5，A1M＝3，∴OM＝3，∴设NO＝3x，则NC1＝7x，OC1＝3，则（2x）2+（4x）4＝9，解得：x＝±（负数舍去），则NO＝，NC2＝，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．方法二：设旋转角为α，过C5作C1P⊥y轴于P，过A1作A7Q⊥x轴于Q，由题意知：|A1Q|＝3，|A5O|＝5，∴|OQ|＝4，∴sinα＝，cosα＝，又|OC1|＝3，∴|PC6|＝|OC1|•sinα＝，|OP|＝|OC1|•cosα＝，∴C5（﹣，），故选：A．8．（3分）如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，∠AEC＝60°，OB＝4（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：连接BD，∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB＝2BF，，∵∠AEC＝60°，∴∠ODB＝∠AEC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝OD＝4，∴OF＝OD＝2，∴BF＝＝＝7，∴AB＝2BF＝7，故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点DBC，连接AD，则tan∠CAD的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，作DE∥AC交AB于E．在Rt△ABD中，tanB＝＝，∴可以假设AD＝7k，AB＝3k，∴BD＝k，CD＝k，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，＝＝，∴BE＝2k，∴AE＝k，∴tan∠CAD＝tan∠ADE＝＝＝，故选：D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点P为平面内一点，且BP＝2，则AQ+PQ的最小值为（）A．11 B． C． D．13【解答】解：∵点P为平面内一点，且BP＝2，∴点P在以B为圆心，2为半径的⊙B上，延长AD到A'，使DA'＝DA＝5，连接BA'交⊙B于点P'，∵四边形ABCD使矩形，∴CD垂直平分AA'，∴QA'＝QA，∵AQ+PQ＝A'Q+PQ+PB﹣P'B≥A'B﹣P'B＝A'B﹣2，∴AQ+PQ的最小值为A'B﹣2，在Rt△A'AB中，A'A＝2AD＝12，AB＝5，由勾股定理，得A'B＝＝，∴AQ+PQ的最小值为A'B﹣2＝13﹣2＝11，故选：A．二、填空题11．（3分）若，则的值为﹣2．【解答】解：设m＝2k，n＝5k，则原式＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．12．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b＝2023．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，∴a6+a＝2024，a+b＝﹣1，∴a2+7a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2024﹣1＝2023．故答案为：2023．13．（3分）若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点0或2或﹣2．【解答】解：当m＝0时，函数为y＝2x+7．当m≠0时，Δ＝06﹣4m（）＝0．解得：m＝±7．∴当m＝0，或m＝±2时4+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点．故答案为：0或3或﹣2．14．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，连接AE、BE，反比例函数，则k的值为﹣12．【解答】解：如图：连接AD，△AOB中，AO＝AB，C、D分别为AB，∴AD⊥OB，AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOD＝6，∴k＝﹣12．故答案为：﹣12．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转60°得△ADE，则图中阴影部分面积为2π﹣．【解答】解：如图，由题意可知，△ABC≌△ADE，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴AC＝AB＝2，在Rt△ADF中，∠ADF＝∠B＝90°﹣60°＝30°，∴DF＝AD＝2AD＝，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣1＝2，∴S阴影部分＝S扇形ACE﹣S△AEF＝﹣××3＝2π﹣．故答案为：5π﹣．三、解答题16．（1）解方程：x2+6x+5＝0；（2）计算：．【解答】解：（1）x2+6x+4＝0，（x+1）（x+8）＝0，x+1＝6或x+5＝0，解得x6＝﹣1，x2＝﹣7；（2）＝×+（）2﹣×＝+﹣＝．17．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是．（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．【解答】解：（1）一共有三种可能，P（抽到“清明”）＝；（2）列树状图：P（至少一张雨水）＝．18．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝3，∠ABC＝45°，∴AD＝AB•sin45°＝4×＝3（km），BD＝AB•cos45°＝3×＝8（km），在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，CD＝＝＝（km），∴BC＝BD+CD＝（3+）km，∴检查点B和C之间的距离（6+）km．19．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，将（22，48），40）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣x+70；当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，将（30，40），10）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣6x+100，综上，y与x的函数表达式为：y＝；（2）设利润为w元，当22≤x≤30时2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）7+625，∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值为400；当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，当x＝35时，w取得最大值为450；∵450＞400，∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．20．已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0）B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，B重合的相异两点，记AB的中点为E，BC的交点为P．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若C（4，3），，且m＜2，求证：C，D；（3）小明研究发现，无论C，D在抛物线上如何运动，D，E三点共线，△ABP的面积恒为定值【解答】（1）解：由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x5﹣4x+3）＝ax2+bx+3，则a＝1，即抛物线的函数表达式为y＝x6﹣4x+3；（2）证明：设直线CE对应的函数表达式为y＝kx+n（k≠3），因为E为AB中点，所以E（2．又因为C（4，7），所以，解得：，所以直线CE对应的函数表达式为y＝1.7x﹣3，因为点D在抛物线上，所以m2﹣2m+3＝﹣，解得：m＝或，所以D（，﹣），因为×﹣3＝﹣，所以点D在直线CE上，即C，D；（3）解：∵小明研究发现，无论C，只要C，D，△ABP的面积恒为定值，故在（2）的条件下，∵B（3，C（4，D（，﹣），∴直线BC对应的函数表达式为y＝3x﹣9；直线AD对应的函数表达式为y＝﹣，联立上述两式得：3x﹣9＝﹣x+，解得：x＝，则点P（，﹣2），此时△ABP的面积＝AB×|yP|＝×（3﹣1）×7＝2．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E，F，DG⊥AB于点G（1）求证：△AED∽△DGB；（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若，OA＝6，求劣弧（结果保留π）．【解答】（1）证明：过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，F，DG⊥AB于点G．∵⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵BC∥EF，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD，∵DG⊥AB，∴∠BGD＝∠AED＝90°，∴△AED∽△DGB；（2）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DOF＝∠OAD+∠ADO＝2∠DAF，∵∠EAF＝2∠DAF，∴∠EAF＝∠DOF，∴AE∥OD，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（3）解：∵∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠DAF+∠ADE＝90°，∵∠BDF+∠ADE＝90°，∴∠DAF＝∠BDF，∴△ADF∽△DBF，∴＝＝＝，∵AD2+BD2＝AB5＝（6+6）8，∴AD2+（AD）2＝144，∴AD＝6，∴BD＝6，∴tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴＝＝2π．22．《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数，过程如下，请完成探究过程：（1）初步感知：函数的自变量取值范围是x≠﹣1；（2）作出图象：①列表：x…﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣0123…y…2m35﹣3﹣1﹣n…表中m＝，n＝0；②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；（3