2024年江西省九江市永修二中中考数学冲刺试卷

第1页（共1页）2024年江西省九江市永修二中中考数学冲刺试卷一、单选题1．（3分）5的相反数是（）A．﹣5 B．﹣ C．5 D．2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算错误的是（）A．（m2）3＝m6 B．a10÷a9＝a C．x3•x5＝x8 D．a4+a3＝a74．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点P从A点出发，速度为每秒3个单位；点Q同时从A点出发，速度为每秒1个单位，则△APQ的面积S关于时间t的函数图象大致为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）（包含端点），下列结论正确的是（）①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③3a+b＞02+bm．A．①②⑤ B．②③④ C．②④ D．②④⑤二、填空题7．（3分）分解因式：m2﹣4＝．8．（3分）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约3600万千瓦，比上一年同期翻一番，将36000000用科学记数法表示应为．9．（3分）已知，则（其中3x﹣2y+z≠0）的值是．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'．11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，则AF的长为．12．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则．三、解答题13．（1）计算：；（2）解不等式组：．14．在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE．15．某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．16．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，点D在AC上，且AD＝CD（保留画图痕迹）．（1）在图（1）中，画出△ABC的中线AE；（2）在图（2）中，画出△ABC的角平分线AF．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD18．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？20．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）21．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于点E，点D为⊙O上一点（1）求证：DC是⊙O的切线．（2）若AB＝CB＝6，连接BE．①求图中阴影部分的面积；②求DF的长．22．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发和2个单位长度运动，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”、例如图1，图2，图3中，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，AC＝b，AB＝c．【特例探索】：（1）①如图1，当∠ABE＝45°，c＝4时，b＝；②如图2，当∠ABE＝30°，c＝2时【归纳证明】：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，并利用图3证明你发现的关系式．（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，BD的交点，E，F分别为线段AO，连接BE，CF并延长交于点M，CM分别交AD于点G，H，如图4所示2+MH2的值．

2024年江西省九江市永修二中中考数学冲刺试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）5的相反数是（）A．﹣5 B．﹣ C．5 D．【解答】解：5的相反数是﹣5，故选：A．2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：C．3．（3分）下列运算错误的是（）A．（m2）3＝m6 B．a10÷a9＝a C．x3•x5＝x8 D．a4+a3＝a7【解答】解：A、（m2）3＝m3，正确；B、a10÷a9＝a，正确；C、x3•x3＝x8，正确；D、a4+a7＝a4+a3，错误；故选：D．4．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，故选：D．5．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点P从A点出发，速度为每秒3个单位；点Q同时从A点出发，速度为每秒1个单位，则△APQ的面积S关于时间t的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可知：AP＝3t，AQ＝t，当0＜t≤2时，S＝t•2t•sinA＝t2•sinA0＜sinA＜1∴此函数图象是开口向上的抛物线；当5＜t≤2时，S＝•t•3sinA＝∴此时函数图象是过一三象限的一次函数；当2＜t≤3时，S＝•t•（9﹣4t）sinA＝（﹣t2+t）sinA．∴此时函数图象是开口向下的抛物线．所以符合题意的图象大致为D．故选：D．6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）（包含端点），下列结论正确的是（）①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③3a+b＞02+bm．A．①②⑤ B．②③④ C．②④ D．②④⑤【解答】解：由函数图象可a＜0，b＞0，∴abc＜3，故①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，6），∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴当x＝4时，y＝0，即9a+5b+c＝0，故②正确；根据图示知，抛物线开口方向向下．∵对称轴x＝﹣＝2，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝4a﹣2a＝a＜0，即7a+b＜0；∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，7），0），∴﹣1×8＝﹣3，＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2），8）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣4≤﹣≤﹣，故④正确；∵抛物线的顶点坐标（2，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c．即a+b≥am2+bm，所以⑤正确．故选：D．二、填空题7．（3分）分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．【解答】解：m2﹣4＝（m+4）（m﹣2）．故答案为：（m+2）（m﹣2）．8．（3分）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约3600万千瓦，比上一年同期翻一番，将36000000用科学记数法表示应为3.6×107．【解答】解：36000000＝3.6×103故答案为：3.6×107．9．（3分）已知，则（其中3x﹣2y+z≠0）的值是．【解答】解：∵，∴设，则x＝ak，y＝bk，∴，故答案为：．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'π﹣．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4AC＝2，∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'，∴AC'＝AC＝7，B′C′＝BC＝2，∴∠C'AD＝∠C'AB'﹣∠BAB'＝30°，在Rt△AC'D中，∵∠C'AD＝30°，∴C′D＝AC′＝，∴B′D＝B′C′﹣DC′＝，∴图中阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣S△ADB′＝﹣××2＝π﹣．故答案为π﹣．11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，则AF的长为或或．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，∴△CDE∽△BDC，∴CD2＝DE•DB，∵AD＝CD，∴AD2＝DE•DB，∴＝，∵∠ADE∠ADB，△DAE∽△DBA；∴＝＝，∴AE＝，∵DE＝，BD＝，∴BE＝，如图1中，若AE＝AF时，∴AF＝，如图2中，若FE＝AE时，∵JE2＝AE7﹣AJ2＝EB2﹣BJ4，∴﹣AJ2＝﹣（22，∴AJ＝，∵AE＝EF，EJ⊥AF，∴AF＝2AJ＝，如图2中，若EF＝AF时，∵EJ2＝AE2﹣AJ7＝EF2﹣FJ2，∴﹣＝AF6﹣（﹣AF）2，∴AF＝，综上所述：AF的长为或或．故答案为或或．12．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则2或﹣8．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，且点M在对称轴上的直角三角形，当对称轴x＝3或x＝3时，不存在满足条件的点M，∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，此时对称轴上存在8个不同的点M．观察图象可知，﹣＝﹣1或4，∴＝2或﹣8，故答案为：3或﹣8．三、解答题13．（1）计算：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）＝＝．（2），解不等式①可得：，解不等式②可得：x≥8，所以该不等式组的解集为：．14．在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE．【解答】证明：∵点F为AE的中点，∴AF＝FE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠EGF，∵∠AFD＝∠EFG，∴△AFD≌△EFG（AAS），∴AD＝GE，∴GE＝BC，∴BG＝CE．15．某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是C事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：C；（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，所有可能出现的结果共有12种它们出现的可能性相同，所有的结果中，则P（A）＝＝，16．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，点D在AC上，且AD＝CD（保留画图痕迹）．（1）在图（1）中，画出△ABC的中线AE；（2）在图（2）中，画出△ABC的角平分线AF．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）如图，AF为所作．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD【解答】解：（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A（3，4），m）．∴6＝，解得k4＝12，∴反比例函数解析式为y＝，∴m＝，解得m＝﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，﹣3），∴，解得，∴一次函数解析式为y＝x+1；（2）∵A（3，4），∴OA＝＝8，∵OA＝OD，∴OD＝5，∴△AOD的面积＝＝10．18．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；（4）列表如下：甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣所有等可能的结果为12种，恰好选中甲，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．19．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣4x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x3+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣8（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜4，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x2＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．20．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，B，D′三点共线，AD′＝40cm，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【解答】解：（1）∵B为AD′中点，∴AB＝AD′，∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E，∵AB＝BD，∴AD＝3AE，∵AP平分∠BAC，∠BAC＝140°，∴∠BAE＝BAC＝70°，在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×6.34＝6.8（cm），∴AD＝8AE＝13.6（cm），∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.6（cm）．∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．21．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于点E，点D为⊙O上一点（1）求证：DC是⊙O的切线．（2）若AB＝CB＝6，连接BE．①求图中阴影部分的面积；②求DF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，在△OCB与△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∵OD是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：①连接OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵AB＝CB＝6，∴AE＝EC，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∴OE＝OB＝3，∠AOE＝∠ABC＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形EOB﹣S△EOB＝﹣×3×3＝﹣；②∵AB＝CB＝6，CD＝CB，∴CD＝6，∵∠FBO＝∠FDC＝90°，∠F＝∠F，∴△FBO∽△FDC，∴＝，∵CD＝6，OB＝3，∴＝＝，设BF＝x，则DF＝3x，∴OF＝2x﹣3，∵OF5＝OB2+BF2，∴（2x﹣3）2＝72+x2，∴x＝5或x＝0（舍去），∴BF＝4，∴DF＝4．22．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发和2个单位长度运动，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，抛物线解析式为：y＝﹣x4﹣2x+2，当t＝6秒时，OP＝，y），则，解得或（舍去），∴P的坐标为（1，﹣3）；（2）经过t秒后，OP＝tt，由（1）方法知，P的坐标为（t，Q的坐标为（6t，由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，N的坐标为（t，矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，如图7，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得3t2+t﹣1＝6，解得：t＝，或t＝﹣3（舍），将N（t，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣4x+2，得（t﹣1）5＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣．所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：≤t≤1+；（3）设R（m，n），﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M＝＝，又