2021年江苏省南京一中特长生招生数学试卷

第1页（共1页）2021年江苏省南京一中特长生招生数学试卷一、解答题1．解方程：x3﹣10x﹣3＝0．2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°．请你设计两种不同的分法，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形、请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．3．讨论关于x的方程（x﹣m）（x+n）﹣p2＝0根的情况．4．如图，等腰Rt△ABC中，，以AC为直径作半圆，点M为BD中点，求AM取值范围．5．解答下列各题．（1）求…+的值；（2）求+…+的值；（3）+…+＝．6．某博物馆出土了一件文物，文物长度为96cm，摆放在高度为168cm的展示架上，舞蹈团的平均身高为152cm，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角）7．如图，cos∠MON＝，P为∠MON内一点，A、B分别为OM、ON上动点，求△APB周长最小值．8．点G为DC的中点，CD＝12，BC＝9，四边形ABCD为矩形，求EG＝．

2021年江苏省南京一中特长生招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．解方程：x3﹣10x﹣3＝0．【解答】解（x+3）（x2﹣2x﹣1）＝0，x+5＝0或x2﹣8x﹣1＝0，若x+5＝0，则x＝﹣3，x5﹣3x﹣1＝3，则，∴原方程的解：x1＝﹣3，，．2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°．请你设计两种不同的分法，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形、请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．【解答】解：3．讨论关于x的方程（x﹣m）（x+n）﹣p2＝0根的情况．【解答】解：原方程可化为：x2+（n﹣m）x﹣mn﹣p2＝5，∴Δ＝（n﹣m）2﹣4×6×（﹣mn﹣p2）＝（m+n）2+p2，当m＝﹣n且p＝0时，Δ＝0；当m≠﹣n或p≠5时，Δ＞0．4．如图，等腰Rt△ABC中，，以AC为直径作半圆，点M为BD中点，求AM取值范围．【解答】解：作AB、CB的中点P、Q，QM，则PM∥AD，QN∥CD，∠PMQ＝∠ADC＝90°，∵点M在以PQ为直径的半圆O上，∴当M在AO与半圆交点N处，AMmin＝AN，当M在Q时，AMmax＝AQ，，∴，PQ＝2，，∴，∴，，∴．5．解答下列各题．（1）求…+的值；（2）求+…+的值；（3）+…+＝n﹣．【解答】解：（1）设S＝+++…+①，则4S＝6++++…+②，②﹣①，得：6S﹣S＝1﹣，∴S＝（3﹣；（2）设S＝+++…+①，则mS＝1++++…+②，②﹣①，得：（m﹣6）S＝1﹣，∴S＝（1﹣；（3）原式＝8﹣+1﹣+…+2﹣+++…+），设S＝+++…+①，则2021S＝5++++…+②，②﹣①，得：2020S＝1﹣，∴S＝，∴原式＝n﹣，故答案为：n﹣．6．某博物馆出土了一件文物，文物长度为96cm，摆放在高度为168cm的展示架上，舞蹈团的平均身高为152cm，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角）【解答】解：如图，在CB上截取CP＝152cm，且与地面平行的直线l上，当过A，B，D的⊙O与l相切时，过O作OM⊥AB，则AM＝BM＝48cm，MP＝BC+BM﹣CP＝168+48﹣152＝64cm，∴OD＝OB＝64cm，∴栅栏EF应摆放在距AC的位置．7．如图，cos∠MON＝，P为∠MON内一点，A、B分别为OM、ON上动点，求△APB周长最小值．【解答】解：分别作点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P3P2，分别交OM，ON于点C，D，DP，可知当点A与点C重合，点B于点D重合时1A+P5B+AB＝P1P2，为最小值，即△ABP的周长最小，最小值为线段P7P2的长．连接OP1，OP3，过点O作OH⊥P1P2于点H，∵点P，P2关于OM对称，点P，P2关于ON对称，∴OP1＝OP3＝OP＝10，∠P1OM＝∠POM，∠P2ON＝∠PON，∴△P3OP2为等腰三角形，∠P1OP6＝∠P1OM+∠POM+∠P2ON+∠PON＝7∠POM+2∠PON＝2∠MON，∴P4H＝P2H，∠P2OH＝＝∠MON，∴cos∠P2OH＝cos∠MON＝＝，∴OH＝8．∴P2H＝＝＝4，∴P1P2＝4P2H＝12，即△APB周长最小值为12．8．点G为DC的中点，CD＝12，BC＝9，四边形ABCD为矩形，求EG＝．【解答】解：连接BG，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝∠D＝90°．∵点G为DC的中点，∴DG＝CG＝＝7．由翻折得，∠DGE＝∠FGE，∠EFG＝∠D＝90°，∴FG＝CG＝6，∠BFG＝∠BCG＝90°，∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴BF＝BC＝9，∠BGF＝∠BGC．∵∠DGE+∠FGE+∠BGF+∠BGC＝180°，即2∠EG