湖北省专升本（高等数学）模拟试卷2（共350题）

湖北省专升本（高等数学）模拟试卷2（共8套）（共350题）湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、一商店按批发价3元购进一批商品零售．若零售价定为每件5元，估计可售出100件，若每件售价降低0．2元，则可多售出20件．若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件每件售价多少才可获最大利润，最大利润是多少?标准答案：由已知，商品售出数Q与价格p之间的关系是一次函数，设Q=a+bp．p=5元时，Q=100件；P=4．8元时，Q=120件．代入函数得a=600，b=－100，所以需求函数Q=600－100p．利润为L=pQ－3Q=(P－3)(600－100p)．L’=900－200p．令L’=0得唯一驻点p=4．5．故当零售价p=4．5元，批进Q｜p=4．5=150件时，可获最大利润225元．知识点解析：暂无解析2、过曲线=x2(x≥0)上某点A作切线．若过点A作的切线，曲线y=x2及x轴围成的图形面积为，求该图形绕z轴旋转一周所得旋转体体积V．标准答案：设A点坐标(x0，x02)．由y’=2x，得切线方程为y－x02=2x0(x－x0)或x=，由已知，所以x0=1，A(1，1)，切线方程为2x－y－1=0切线与x轴交点为x=．于是知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：方程ln(1+x2)=x－1有且仅有一个实根．标准答案：由方程：ln(1+x2)=x－1知，变量的取值范围为：x＞1．令f(x)=ln(1+x2)－x+1，于是f’(x)=＜0，故f(x)为严格递减函数．又=ln2＞0，而，从而由函数f(x)单调性知，y=f(x)与x轴仅有一个交点，即方程有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)4、设函数f(x)=，则f(－x)=________．标准答案：知识点解析：5、设则g[f(x)]=________．标准答案：知识点解析：6、设(x≠－1)，则f’(1)=________．标准答案：1知识点解析：7、函数f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是________．标准答案：(0，1]知识点解析：f(x)=lnarcsinx的连续区间就是它的定义区间(0，1]．8、设f(x)=(x－1)｜x－1｜，则f’(1)=________．标准答案：0知识点解析：9、由方程yx=xy所确定的隐函数y=(x)的导数=________．标准答案：知识点解析：方程yx=xy改写为yx－xy=0．令F=yx－xy，Fx=yxlny－yxy－1，Fy=zyx－1－xylnx，则也可以方程两边取对数后，直接对x求导．10、若f(x)是可导函数，y=f(sin2x)+f(cos2x)，则y’=________．标准答案：sin2x=[f’(sin2x)－f’(cos2x)]知识点解析：y=f(sin2x)+f(cos2x)则y’=f’(sin2x).2sinx.cosx+f’(cos2x).2cosx(－sinx)=sin2x[f’(sin2x)－f’(cos2x)]．11、曲面2x3－yez－ln(z+1)=0在点(1，2，0)处的切平面方程为________．标准答案：6x－y－3z－4=0知识点解析：令F(x，y，z)=2x3－yez－ln(z+1)，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=｛Fx，Fy，Fz｝=｛6x2，－ez，－yez－｝于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1=｛6，－1，－3｝，故切平面的方程为：6(x－1)－(y－2)－3(x－0)=0即6x－y－3z－4=0．12、设y=f(x)是方程y’’－2y’+4y=0的一个解，若f(x0)＞0，且f(x0)=0，则函数在x0有极________值．标准答案：大知识点解析：由已知f’’(x0)=2f’(x0)－4f(x0)＜0．故f(x)在x0取极大值．13、满足f’(x)+xf’(－x)=x的函数f(x)是________．标准答案：ln(1+x2)+x－arctanx+C知识点解析：已知f’(x)+xf’(－x)=x，令x取值－x，得f’(x－)－xf’(x)=－x，联立两方程，解得f’(x)=14、定积分∫－ππ(x2+sinx)dx=________．标准答案：知识点解析：15、已知a，b，c为非零向量，目两两不平行，但a+b与c平行，b+c与a平行，则a+b+c=________．标准答案：0知识点解析：已知a，b，c为非零向量，且两两不平行，但(a+b)∥c，(b+c)∥a．则0=(a+b)×c=a×c+b×c=a×c+b×c+c×c=(a+b+c)×c0=(b+c)×a=b×a+c×a=a×a+b×a+c×a=(a+b+c)×a．由此a+b+c既与c平行又与a平行，而ac，故a+b+c必为0．16、u==________．标准答案：知识点解析：17、交换二次积分次序∫01dx∫0xf(x，y)dy=________．标准答案：∫01dy∫1yf(x，y)dx知识点解析：首先根据已知二次积分∫01dy∫xyf(x，y)dy画出积分区域D，已知二次积分把D看做X型．我们把它看做Y型．则原式=∫01dy∫1yf(x，y)dx．18、微分方程y’’－6y’+9y=0的通解为________．标准答案：y=e3x(C1+C2x)知识点解析：y’’－6y’+9y=0对应的特征方程为r2－6r+9=0．得特征根为r1，2=3．故微分方程的通解为y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)=xln2x，且f’(x0)=2，求f(x0)．标准答案：f(x)=xln2x，f’(x)=ln2x+1，所以f’(x0)=ln2x0+1=2知识点解析：暂无解析21、求不定积分标准答案：对于计算不定积分，常规的方法是：令x=2sect，由于该积分的具体情况，我们也可令=t，x2=t2+4知识点解析：暂无解析22、计算定积分∫12x.ln2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设z=x2exy，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算，其中D为曲线y=，y=1及x=0围成的平面区域．标准答案：首先画出积分区域D，计算出曲线y=与直线y=1的交点(1，1)，该题应把D看做Y型，否则不便计算知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=在x=0处展成幂级数，并指明收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求微分方程xy’’－2y’=x3+x的通解．标准答案：微分方程xy’’－2y’=x3+x属y’’=f(x，y’)型．令p=y’，方程可整理为p’－=x2+1．利用公式法解此一阶线性微分方程．知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、(1)求曲线y=x2，y=2-x2所围图形的面积．(2)求(1)中图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积．标准答案：联立方程得交点(±1，1)，由对称性所求面积为S=4∫01xdy=4∫01dy=8／3(平方单位)所求体积V=2π∫01x2dy=2π∫01ydy=π(立方单位)．知识点解析：暂无解析2、设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．标准答案：由曲线积分与路径无关，所以有，即y"+2y’+y=e-x．先求对应齐次方程y"+2y’+y=0的通解．因特征方程为：r2+2r+1=0所以r=-1为二重根，所以齐次方程的通解为Y=e-x(C1x+C2)设y*=2Ax2e-x为方程y"+2y’+y=e-x的特解．则y*’=2Axe-x-Ax2e-xy*"=2Ae-x-4Axe-x+Ax2e-x．将y*，y*’，y*"代入微分方程y"+2y’+y=e-x．比较系数可得A=1／2．所以y*=x2e-x．所以f(x)=e-x(C1x+C2)+x2e-x．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，x-x2＜ln(1+x)．标准答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2，于是，f’(x)=＞0，(x＞0时)即函数f(x)在x＞0时单调递增，又f(0)=0，从而得x＞0时，f(x)＞f(0)即ln(1+x)-x+x2＜ln(1+x)，命题成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则函数F(x)=f(x+2)+f(2x)的定义域为()A、[-3，0]B、[3，1]C、[-1／2，1]D、[-1／2，0]标准答案：D知识点解析：5、极限等于()A、∞B、不存在C、0D、1标准答案：C知识点解析：6、设f(x)=则x=0是函数f(x)的()A、可去间断点B、第二类间断点C、连续点D、跳跃间断点标准答案：A知识点解析：≠(0)=0，所以x=0为可去间断点．7、下列区间中，使方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是()A、(0，1／2)B、(1／2，1)C、(2，3)D、(1，2)标准答案：D知识点解析：令f(x)=x4-x-1则f(1)＜0，f(2)＞0．由连续函数介值定理，至少存在一点ξ∈(1，2)，使f(ξ)=0，即ξ为方程f(x)=0的根．8、f(x)=(x-x0)．φ(x)其中f’(x0)可导，则f’(x0)=()A、0B、φ(x0)C、φ’(x0)D、∞标准答案：B知识点解析：f’(x)=φ(x)+(x-x0)φ’(x)，所以f’(x0)=φ(x0)．9、设f(x)=xnsin(x≠0)且f(0)=0，则f(x)在x=0处()A、仅当=f(0)=0时才可微．B、在任何条件下都可微．C、当且仅当n＞1时才可微．D、因sin在x=0处无定义，所以不可微．标准答案：C知识点解析：当n＞1时，=0，即f’(0)=0．10、若f(x)在[a，+∞)上二次可微，且f(x)＞0，f’(a)＜0，f"(x)≤0(x＞a)，则方程f(x)=0在[a，+∞)上()A、没有实根B、有多个实根C、有且仅有一个实根D、无法判断是否有实根标准答案：C知识点解析：因f(a)=A＞0，且f’((a)＜0，所以过点(以，A)的切线倾斜角为第Ⅱ象限角，切线如图所示．设其与x轴交点为C，又f"(x)＜0(x＞a)，所以曲线为凸．即曲线必位于过(a，A)点切线的下方．再f’(x)为减函数．由于f’(a)＜0，所以f’(x)＜0，说明f(x)为减函数，于是f(x)与x轴只有一个交点为B，且B＜C，即方程f(x)=0仅有一个实根．11、下列函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是()A、y=1／xB、y=1+|x|C、y=x(x2-1)D、y=ln(1+x)标准答案：C知识点解析：对于A选项f(-1)=-1≠f(1)=1，所以A不正确；对于B选项f’-(0)=-1≠f’+(0)=1，所以B不正确；对于C选项满足罗尔定理的条件；对于D选项x≠-1，故选C12、设函数f(x)有连续的二阶导数，且f’(0)=0，=1，则()A、f(0)是函数的极大值B、f(0)是函数的极小值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：因函数f(x)有连续的二阶偏导数，且=1＞0，可知：f"(0)=0，且x＜0时，f"(x)＜0，x＞0时，f"(x)＞0，故点(0，f(0))为拐点．13、若∫d(f(x))=∫d(g(x))，则下列各式中不成立的是()A、f(x)=g(x)B、f’(x)=g’(x)C、d(f(x))=d(g(x))D、d∫f’(x)dx=d∫g’(x)dx标准答案：A知识点解析：由∫d(f(x))=∫d(g(x))，可得f(x)=g(x)+C14、由曲线y=1／x，直线y=x及x=2所围图形面积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先画图，由图易知：选B15、I=∫02dx，则求该积分时正确做法为I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：16、对于非零向量a、b满足(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，则向量a、b夹角为()A、π／6B、π／4C、π／3D、π／2标准答案：C知识点解析：由得a．b=b2／2，a．b=a2／2所以(a．b)2=17、曲线在xOy平面上投影曲线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：联立方程消去z可行，通过该曲线母线平行z轴的柱面y2=2x-9，用z=0平面去截柱面便可得曲线在xOy面上投影曲线为18、函数f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导存在是函数f(x，y)在该点连续的()A、充分条件不是必要条件B、必要条件但不是充分条件C、充要条件D、既不是充分条件，也不是必要条件标准答案：D知识点解析：多元函数偏导数存在是否与函数在该点的连续性没有关系．19、函数的定义域为()A、1≤x2+y2≤4B、1＜x2+y2≤4C、1≤x2+y2＜4D、1＜x2+y2＜4标准答案：A知识点解析：由得x2+y2≤4．且，由arcsin，得x2+y2≥1．20、改变∫12dxf(x，y)dy积分顺序后为()A、∫01dy∫2-y2f(x，y)dxB、∫01dy∫2-y2f(x，y)dx+∫14dyf(x，y)dxC、∫04dy∫2-y5yf(x，y)dxD、∫01dy∫22-yf(x，y)dx+∫14dy∫25yf(x，y)dx标准答案：B知识点解析：积分区域D：，如图所示，可将D写成D1+D2，21、设区域D为x2+y2≤R2，则dxdy=()A、Rdxdy=πR3B、∫02πdθ∫0Rrdr=πR2C、∫02πdθ∫0Rr2dr=2／3πR3D、∫02πdθ∫0RR2dr=2πR3标准答案：C知识点解析：22、简单闭曲线C所围区域D的面积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：在格林公式中dxdy=∮CPdx+Qdy取Q=x，P=-y，因2dxdy=∮C-ydx+xdy所以闭曲线C所围面积为∮Cxdy-ydx．23、设un=(-1)nln(1+)，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：为交错级数，且满足莱布尼兹收敛条件，其为收敛的；而级数发散．故应选C24、设有数收敛(a为常数)，则有()A、q＜1B、|q|＜1C、q＞-1D、|q|＞1标准答案：D知识点解析：当|q|＞1时，级数为公比绝对值小于1的几何级数是收敛的，所以级数收敛．25、级数ne-nx的收敛域是()A、x＜-1B、x＞0C、0＜x＜1D、-1＜x＜0标准答案：B知识点解析：=e-x＜1即x＞0时，级数收敛．26、微分方程y"-2y’=x的特解应设为y*=()A、AxB、Ax+BC、Ax2+BxD、Ax2+Bx+C标准答案：C知识点解析：因对应齐次方程y"-2y’=0缺函数y，而非齐次项f(x)=x为一次函数，故特解应设为：y*=(Ax+B)x．27、函数y=f(x)图形上点(0，-2)处的切线方程为2x-3y=6，且该函数满足微分方程y"=6x，则此函数为()A、y=x3-2B、y=3x2+2C、3y-3x2-2x+6=0D、y=x3+x标准答案：C知识点解析：因y"=6x,所以y’=3x2+C1，当x=0时，y’=2／3，C1=2／3即y’=3x2+，所以y=x3+x+C2，当x=0，y=-2时，C2=-2即y=x3+x-2，故应选C28、微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为()A、y=x(ex+C)B、x=y(ey+C)C、y=x(C-ex)D、x=y(C-ey)标准答案：D知识点解析：微分方程变形：-eydy，即d(x／y)=-eydy29、若函数f(x)满足f’(x0)=0，f"(x0)＞0，则函数y=f(x)在点x0处将取得()A、极小值B、极大值C、最小值D、最大值标准答案：A知识点解析：本题正是判定驻点是否为极值点，是极大值点还是极小值点的判定定理．30、求广义积分∫2+∞dx=()A、∞B、0C、1D、2标准答案：A知识点解析：∫2+∞dx=lnlnx|2+∞=+∞．31、求dt=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：32、设anx2n+1州的收敛半径R为()A、R=2B、R=1C、R=D、R=标准答案：D知识点解析：级数缺少偶次幂的项，从而根据比值审敛法求收敛半径：33、函数z=的定义域为()A、{(x，y)|x+y≠1}B、{(x，y)|x+y＞1}C、{(x，y)|x+y≠2}D、{(x，y)|x+y＞1且x+y≠2}标准答案：D知识点解析：要使二元函数有意义，必须四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、设函数f(x)=，则f(-x)=_______．标准答案：知识点解析：35、设g(x)=则g[f(x)]=_______．标准答案：知识点解析：36、设f(x≠-1)，则f’(1)=_______．标准答案：1知识点解析：37、函数f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是_______．标准答案：(0，1]知识点解析：f(x)=lnarcsinx的连续区间就是它的定义区间(0，1]．38、设f(x)=(x-1)|x-1|，则f’(1)=_______．标准答案：0知识点解析：f(x)=(x-1)|x-1|=39、由方程yx=xy所确定的隐函数y=y(x)的导数dy／dx=_______．标准答案：知识点解析：方程yx=xy改写为yx-xy=0．令F=yx-xy，Fx=yxlny-yxy-1，Fy=zyx-1-xylnx，则也可以方程两边取对数后，直接对x求导．40、若f(x)是可导函数，y==f(sin2x)+f(cos2x)，则y’=_______．标准答案：sin2x[f’(sin2x)-f’(cos2x)]知识点解析：y=f(sin2x)+f(cos2x)则y’=f’(sin2x)．2sinx．cosx+f’(cos2x)．cosx(-sinx)=sin2x[f’(sin2x)-f’(cos2x)]．41、曲面2x3-yez-ln(z+1)=0在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．标准答案：6x-y-3z-4=0知识点解析：令F(x，y，z)=2x3-ye2-ln(z+1)，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}=(6x2，-ez，-yez-}于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为，n1={6，-1，-3}，故切平面的方程为：6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0即6x-y-3z-4=0．42、设y=f(x)是方程y"-2y’+4y=0的一个解，若f(x0)＞0，且f(x0)=0，则函数在x0有极_______值．标准答案：大知识点解析：由已知f"(x0)=2f’(x0)-4f(x0)＜0．故f(x)在x0取极大值．43、满足f’(x)+xf’(-x)=x的函数f(x)是_______．标准答案：ln(1+x2)+x-arctanx+C知识点解析：已知f’(x)+xf’(-x)=x，令x取值-x，得f’(-x)-xf’(x)=-x，联立两方程，解得f’(x)=44、定积分∫-ππ(x2+sinx)dx=_______．标准答案：知识点解析：∫-ππ(x2+sinx)dx=∫-ππx2dx+∫-ππsinxdx=45、已知a，b，c为非零向量，且两两不平行，但a+b与c平行，b+c与a平行，则a+b+c=_______．标准答案：0知识点解析：已知a，b，c为非零向量，且两两不平行，但(a+b)‖c，(b+c)‖a，则0=(a+b)×c=a×c+b×c=a×c+b×c+c×c=(a+b+c)×c0=(b+c)×a=b×a+c×a=a×a+b×a+c×a=(a+b+c)×a由此a+b+c既与c平行又与a平行，而ac，故a+b+c必为0．46、u=，du|(1，1，1)=_______．标准答案：知识点解析：47、交换二次积分次序∫01dx∫0xf(x，y)dy=_______．标准答案：∫01dy∫y1f(x，y)dx知识点解析：首先根据已知二次积分∫01dy∫yxf(x，y)dy画出积分区域D，已知二次积分把D看做X型，我门把它看做Y型，则原式=∫01df∫y1f(x，y)dx．48、微分方程y"-6y’+9y=0的通解为_______．标准答案：y=e3x(C1+C2x)，知识点解析：y"-6y’+9y=0对应的特征方程为r2-6r+9=0．得特征根为r1，2=3，故微分方程的通解为y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)49、标准答案：注：该题首先将分子有理化，有助于用洛必达法则求极限，否则直接应用洛必达法则会十分复杂．知识点解析：暂无解析50、设函数y=y(x)由方程y=arctan确定，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析51、求不定积分∫ex．ln(1+ex)dx．标准答案：利用分部积分法积分原式=∫ln(1+ex)d(ex+1)=(1+ex)．ln(1+ex)-∫．exdx=(1+ex)．ln(1+ex)-ex+C．知识点解析：暂无解析52、计算定积分λ14dx．标准答案：凑微分法知识点解析：暂无解析53、设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f(u，v)可微，求标准答案：因z=f(exsiny，x2+y2)，f(u，v)可微；所以，=f’1(exsiny，x2+y2)．exsiny+f’2(exsiny，x2+y2)．2x=exsiny．f’1(exsiny，x2+y2)+2x．f’2(exsiny，x2+y2)同理，=(excosf’1(exsiny，x2+y2)+2yf’2(exsiny，x2+y2)．知识点解析：暂无解析54、计算dxdy，其中D是第一象限中由直线y=x和y=x3围成的封闭区域．标准答案：积分区域如图：因二重积分的被积函数f(x，y)=，它适宜于“先对y积分，后对x积分”，故D可用不等式表示为：知识点解析：暂无解析55、将函数f(x)=lnx展开成(x-2)的幂级数，并指出收敛区间．标准答案：f(x)=lnx=ln[2+(x-2)]=ln2因ln(1+x)，(-1＜x≤1)故f(x)=ln2+．|x-2|＜1．知识点解析：暂无解析56、求解微分方程2xy’=y+2x2满足y|x=1=1的特解．标准答案：因原方程可化为y’=y+x，此为一阶线性微分方程．P(x)=-，Q(x)=x，由通解公式可得将初始条件y|x=1=1代入通解中，得C=1／3，故所求特解为：知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线xy=a(a＞0)及直线x=a，x=2a，y=0所围图形的面积，该图形分别绕x轴，y轴旋转一周所生成的立体体积．标准答案：先作图，当x=a时，y=1；x=2a，y=，由曲线及直线所围图形的面积为：该图形绕x轴旋转所成的体积为：该图形绕y轴旋转所成的体积为：知识点解析：暂无解析2、已知3f(x)－，求f(x)的极值．标准答案：令=t，则有3－f(t)=t，或写成3－f(x)=x，知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，x－＜ln(1+x)．标准答案：令f(x)=ln(1+x)－x+x2，于是，f’(x)=＞0，(x＞0时)即函数f(x)在x＞0时单调递增，又f(0)=0，从而x＞0时，f(x)＞f(0)即ln(1+x)－x+x2＞0，也即x－x2＜ln(1+x)，命题成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、设f(x)=，φ(x)=x+1，则复合函数f[φ(x)]的定义域为()A、[0，1]B、(－3，1)C、[－3，0]D、[－3，1]标准答案：D知识点解析：f(x)=，φ(x)=x+1，则f[φ(x)]=，4－(x+1)2≥0，｜x+1｜≤2，－3≤x≤1．5、函数f(x)=arctan(sinx)在xOy平面上的图形()A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、关于直线y=一x对称标准答案：C知识点解析：f(x)=arctan(sinx)，f(－x)=arctan[sin(－x)]=arctan(－sinx)=－arctan(sinx)=－f(x)，f(x)为奇函数，所以它的图形关于原点对称．6、点x=0是函数y=的()A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0是y=的间断点，而，所以x=0是跳跃间断点．7、设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论正确的是()A、=0B、存在C、当x→x0时，f(x)－f(x0)为无穷小D、当x→x0时，f(x)－f(x0)不是无穷小标准答案：C知识点解析：f(x)在x=x0连续，则=f(x0)，所以A错，B即f’(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以B错，由于(f(x)一f(x0))=0，所以C正确．8、设函数f(x)=(x≠0)，则f(ln3)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：f(x)==ex所以f(ln3)=eln3=3．9、设f(x)是可导函数，且=－1，则曲线y=f(x)在点(1，(f))处的切线斜率为()A、－1B、－2C、0D、1标准答案：B知识点解析：10、若f(t)=，则f’(t)=()A、e2t(2t+1)B、e2tC、t+1D、标准答案：A知识点解析：f(t)=，所以f’(t)=(e2t.t)=2e2t.t+e2t=e2t(2t+1)．11、函数f(x)=2x2－lnx单调增加的区间是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：f(x)=2x2－lnx，f’(x)=，令f’(x)=0．得驻点(舍去)，x=0为不可导点．12、函数y=x2+px+q，当x=1时，有最小值y=3，则()A、p=－1，q=2B、p=－2，q=2C、p=－2，q=4D、p=－1，q=4标准答案：C知识点解析：y=x2+px+q，y’=2x+p，y’(1)=0．得p=－2，又y(1)=3，得p+q=2，有q=4．13、曲线y=ln(1+x2)的凹区间是()A、(－2，2)B、(－1，0)C、(－1，1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：y=ln(1+x2)，y’=令y’’=0，x=±1，当－∞＜x＜－1时，y’’＜0；当－1＜x＜1时，y’’＞0；当1＜x＜+∞时，y’’＜0，所以曲线的凹区间为(－1，1)．14、设函数y=y(x)由参数方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：15、设f(x)=arctanx2，则∫0xtf(s2－t2)dt=()A、xf(x2)B、－xf(x2)C、2xf(x2)D、－2xf(x2)标准答案：A知识点解析：16、下列关系式正确的是()．A、d∫f(x)dx=f(x)B、∫f’(x)dx==f(x)C、∫f(x)dx=f(x)D、∫f(x)dx=f(x)+C标准答案：C知识点解析：由于∫f(x)dx=F(x)+C，所以f(x)dx=f(x)．17、设f’(lnx)=1+x，则f(x)=()A、lnx+x2+CB、lnx+x+CC、+ex+CD、x+ex+C标准答案：D知识点解析：f’(lnx)=1+x，令x取值ex，则f’(x)=1+ex，于是，f(x)=∫(1+ex)dx=x+ex+C．18、定积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：19、广义积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：20、｜a｜=1，｜b｜=5，a.b=3，则｜a×b｜=()A、4B、C、5D、10标准答案：A知识点解析：21、平面x+ky－2z=9与平面2x+4y+3z=3垂直，则k=()A、1B、2C、D、标准答案：A知识点解析：平面x+ky－2x=0与平面2x+4y+3z=3垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为0，｛1，k，－2｝.{2，4，3)=2+4k－6－0得k=1．22、设z=z(x，y)由方程2x2－y2+3xy+z3+z=1确定，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令F=2x2－x3+3xy+z3+z－1则Fx=4x+3y，Fz=3z2+1，所以23、I=f(rcosθ，rsinθ)rdr化为先对y积分后对X积分，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由I=f(rcosθ，rsinθ)rdr知r=2acosθ，r2=2arcosθ，化为直角坐标为x2+y2=2ax此为一圆，又由，可画出积分区域图D，由题意把D看做X型，于是I=24、设区域D由直线x+y=1，x=0及y=0围成，估计xydxdy的值I为()A、0≤I≤B、0≤I≤8C、0≤I≤1D、1≤I≤4标准答案：A知识点解析：令z=xy，zx=y=0，zy=x=0，驻点(0，0)不在D内，z在D的两直角边上的值都为0，我们看在D的斜边x+y=1上，z=xy的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值．z=x(1－x)=x－x2，zx=1－2x，令zx=0，得x=代入直线方程，，而z在斜边两端点处的值都为0．故0≤z≤所以0=0.SD≤I≤25、C为平面区域D的正向边界，则曲线积∮C(1－x2)ydx+x(1+y2)dy化为二重积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：=(1+y2)－(1－x2)=x2+y2，所以∮C(1－x2)ydx+x(1+y2)dy=(x2+y2)dσ．26、幂级数的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下方法．27、设曲线y=f(x)满足y’’=x，且过点(0，1)并与直线y=+1在该点相切，则曲线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：y=f(x)满足方程y’’=x，y’=+C，y=+C1x+C2，又y(0)=1，得C2=1，又y’(0)=得28、函数y=10x－1－2的反函数是()A、y=B、y=logx2C、y=D、y=1+lg(x+2)标准答案：D知识点解析：y=10x－1－2，解出x=lg(y+2)+1，所求即y=1+lg(x+2)．29、已知x→0时，与cosx－1是等价无穷小，则常数a=()A、B、C、3D、－3标准答案：B知识点解析：30、函数y=的导数与下列函数的导数相同的是()A、atctanex+1B、arctanex－1C、arctan(ex+1)D、arctanex+1标准答案：D知识点解析：y=由此结果，可以看出D的导数也是这样．31、设a，b均为非零向量，且a⊥b，则必有()A、｜a+b｜=｜a｜+｜b｜B、｜a－b｜=｜a｜－｜b｜C、｜a+b｜=｜a－b｜D、a+b=a－b标准答案：C知识点解析：由a⊥b，可知以a，b为邻边可构成一个长方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知｜a+b｜=｜a－b｜．32、平面x+2y－x－6=0与直线的位置关系是()A、平行B、垂直C、即不平行也不垂直D、直线在平面内标准答案：D知识点解析：直线的方向向量s=｛2，－1，0｝，平面的法向量n=｛1，2，－1｝，因n.s=0可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0，－4)，可验证它在平面上，故直线在平面内．33、函数f(x)=在x=1处的泰勒级数展开式中项(x－1)3的系数是()A、B、C、1D、－1标准答案：D知识点解析：f(x)=在x=1处泰勒展开式为四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)34、求极限标准答案：注：该题首先将分子有理化，有助于用洛必达法则求极限，否则直接应用洛必达法则会十分复杂．知识点解析：暂无解析35、设函数y=y(x)由方程y=确定，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析36、求不定积分∫ex.ln(1+ex)dx．标准答案：利用分部积分法积分原式=∫ln(1+ex)d(ex+1)=(1+ex).ln(1+ex)－=(1+ex).ln(1+ex)－x+C．知识点解析：暂无解析37、计算定积分标准答案：方法一：凑微分法方法二：第二换元法知识点解析：暂无解析38、设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f(u，v)可微，求标准答案：因z=f(exsiny，x2+y2)，f(u，v)可微；所以，=f’1(exsiny，x2+y2).exsiny+f’2(exsiny，x2+y2).2x=exsiny.f’1(exsiny，x2+y2)+2x.f’2(exsiny，x2+y2)同理，=(excosf’1(exsiny，x2+y2)+2yf’2(exsiny，x2+y2)．知识点解析：暂无解析39、计算，其中D是第一象限中由直线y=x和y=x3围成的封闭区域．标准答案：积分区域如图：因二重积分的被积函数f(x，y)=，它适宜于“先对y积分，后对x积分”，故。可用不等式表示为：知识点解析：暂无解析40、将函数f(x)=lnx展开成(x－2)的幂级数，并指出收敛区间．标准答案：f(x)=lnx=ln[2+(x－2)]=知识点解析：暂无解析41、求解微分方程2xy’=y+2x2满足y｜x=1=1的特解．标准答案：因原方程可化为y’=+x，此为一阶线性微分方程．P(x)=，Q(x)=x．由通解公式可得通解为：将初始条件y｜x=1=1代入通解中，得C=，故所求特解为：知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x(万尾)，乙种鱼放养y(万尾)，收获时两种鱼收获量分别为(3－αx－βy).x和(4－βx－2ay).y，(α＞β＞0)，求使产鱼量最大的放养数．标准答案：由题设知两种鱼的收获总量为：z(x，y)=(3－αx－βy)x+(4－βx－2αy)y=3x+4y－αx2－2αy2－2βxy因=3－2ax－2βx，=4－4αx－2βx由实际意义知，确实存在两种鱼收获量的最大值，目前仅有一个驻点，于是知点即为最大值点，即甲种鱼放养万尾；乙种鱼放养万尾时，两种鱼的收获量最大．知识点解析：暂无解析2、过点(1，0)作抛物线y=的切线，求这条切线、抛物线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积V．标准答案：首先求过点(1，0)的抛物线y=的切线方程．设切线的切点为(x0，y0)，则有于是，求解得切点(3，1)，进而切线方程为：y－0=(x－1)，即x－2y－1=0这条切线、抛物线及x轴所围成的平面图形如图．于是，所示旋转体的体积为：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设=1，且f’’(x)＞0，证明：f(x)≥x．标准答案：因当x→0时，极限存在，所以f(0)=0，且f’(0)=1，(因为f’(0)==1)，即函数y=f(x)过点(0，f(0))=0)的切线为y=x，又因为线弧位于任意点切线的上方，所以有f(x)≥x，只有在x=0处取等号．或这样证：设F(x)=f(x)－x，则F’(x)=f’(x)－1，所以F’(0)=0，又因F’’(x)=f’(x)＞0，所以F’(0)＞0，故F(x)在x=0处取得极小值F(0)=f(0)=0，所以对于任意x恒有F(x)≥F(0)=0，即f(x)－x≥0，所以f(x)≥x，且只有在x=0处取等号．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、函数y=的定义域为()A、(0，1)B、(0，2)C、(0，1)∪(1，2)D、(0，1)∪(1，2]标准答案：D知识点解析：要使函数有意义，须，求解得：0＜x＜1或1＜x≤2．故选D．5、设f(x)=，则f(x)为()A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、无法判定标准答案：B知识点解析：6、x=0是函数f(x)=sinx.sin的()A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、无穷间断点标准答案：B知识点解析：显然x=0是f(x)=sinx.sin的间断点．由于=0，故x=0是f(x)的可去间断点．7、已知当x→0时，－1与sin2x是等价无穷小，则a=()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：8、若存在，且f(x)==()A、1B、2C、－1D、－2标准答案：A知识点解析：9、设f(x)=∫0x(3t2+2t+1)dt，则=()A、6x2+4x+2B、6t2+4t+2C、3x2+2x+1D、3t2+2t+1标准答案：A知识点解析：10、已知f(x)=，则f(x)在x=0处()A、极限存在但不连续B、连续但不可导C、可导D、可导，且导数也连续标准答案：B知识点解析：f(x)=在x=0处有定义，故而连续．但f’(x)=在x=0无意义，所以f(x)=在x=0处不可导．11、函数f(x)=x3－3x2－9x的区间[－3，6]上的最大值为()A、34B、54C、44D、24标准答案：B知识点解析：f(x)=x3－3x2－9x，f’(x)=3x2－6x－9，令f’(x)=0有x=3，x=－1．而f(3)=－27，f(1)=5，f(－3)=27．f(6)=54．故f(x)在[－3，6]上的最大值为54．12、对于曲线y=f(x)，在(a，b)内f’(x)＜0，f’(x)＜0，则曲线在此区间()A、单调下降，凸B、单调上升，凸C、单调下降，凹D、单调上升，凹标准答案：A知识点解析：由定理可知f’(x)＜0，f(x)单减；f’’(x)＜0，f(x)凸．13、函数f(x)=在[0，1]上的最小值为()A、1B、2C、0D、－1标准答案：C知识点解析：f(x)=，x∈[0，1]．故f(x)在[0，1]上单调递增．所以f(0)=0为最小值．14、曲线处的法线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：曲线方程为对应切点坐标为切线斜率则法线斜k’=1所以法线方程为即y=x．15、设f(x)为连续函数，则=()A、f(2x2)B、x2f(2x2)C、2xf(x2)D、2xf(2x2)标准答案：D知识点解析：16、设，则f’(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：17、若f(0)=0，=2，则f(x)在x=0处()A、导数存在且f’(0)≠0B、取得极大值C、取得极小值D、导数不存在标准答案：C知识点解析：已知f(0)=0，．故存在x=0的一个邻域U，对任意x∈U，有=2＞0．当x＞0时，f(x)＞f(0)；当x＜0时，f(x)＞f(0)．所以f(x)在x=0处取得极小值．18、∫0ke2xdx=，则k=()A、ln2B、－ln2C、1－ln2D、2标准答案：A知识点解析：19、在下列广义积分中，收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由公式(p＞0)，当p＞1时收敛，p≤1时发散，可知收敛．当然，也可逐个积分找出收敛的．20、已知a，b，c两两垂直，｜a｜=1，｜b｜=2，｜c｜=3，则｜a+b+c｜=()A、36B、14C、D、标准答案：C知识点解析：由a，b，c两两垂直，｜a｜=1，｜b｜=2，｜c｜=3．21、直线与平面3x－4y+7z－10=0的位置关系是()A、平行B、垂直C、斜交D、直线在平面内标准答案：C知识点解析：直线的方向量为｛1，－2，9｝．平面的法向量为｛3，－4，7｝．它们对应坐标不成比例，所以不平行．即直线不垂直于平面；它们的点积也不等于零．所以不垂直，即直线与平面不平行．总之，直线和平面斜交．22、设z=，则=()A、5B、C、37D、标准答案：B知识点解析：23、设区域D由y=x2，x=y2围成，则D的面积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：首先画出积分区域图D．如图所示．求出，y=x2，x=y2的交点(0，0)，(1，1)在[0，1]区间上曲线x=y2在曲线y=x2之上．故24、I=，则交换积分次序后得，I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：首先根据二次积分I=画出积分区域D的图形：顶点在(0，1)，开口向下，与X轴交于－1，1．抛物线和y轴，x轴围成的在第一象限部分．由于原二次积分是把D看做Y型，现在把D看做X型，则=∫01dx3x2y2dy．25、已知I=∮Lyds，其中L是由抛物线y2=4X(y＞0)，直线x=1和y=0围成的闭曲线，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分曲线由三部分组成AB：26、下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：27、设f(x).∫0xf(t)dt=1，x≠0则f2(x)的一般表达式为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由，两边对x求导，f(x)=，f’(x)=－f3(x)分离变量，f－3(x)df(x)=－dx，两边积分，有∫f－3(x)df(x)=－∫dx，得f－2(x)=2x+C，故f2(x)=28、曲线f(x)=xsin()A、有且仅有水平渐近线B、有且仅有垂直渐近线C、既有水平渐近线也有垂直渐近线D、水平、垂直渐近线都无标准答案：A知识点解析：，有水平渐近线y=1．=0，所以无垂直渐近线．29、设函数f(x)与g(x)，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有()A、f(－x)+g(－x)=f(x)－g(x)B、f(－x)+g(x)=－f(x)+g(x)C、f(－x).g(－x)=f(x)g(x)D、f(－x).g(－x)=－f(x).g(x)标准答案：D知识点解析：由于只是知道f(x)和g(x)中一个为偶函数，一个为奇函数，并不清楚具体哪一个是什么函数．所以只有f(－x)g(－x)=－f(x)g(x)恒成立．30、设把半径为R的球加热，如果球的半径伸长△R，则球的体积近似增加()A、B、4πR2△RC、4△RD、4πR△R标准答案：B知识点解析：V=，则△V≈V’△R=4πR2△R．31、若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为()A、x+sinxB、x－sinxC、x+cosxD、x－cosx标准答案：B知识点解析：因为(x－sinx)’’=sinx所以x－sinx是f(x)的原函数．32、曲线的拐点个数为()A、有一个拐点B、有两个拐点C、有三个拐点D、没有拐点标准答案：C知识点解析：令=0得t=－1，t=1．而t=0二阶不可导点．易知在(－∞，+1)上y’’＜0．在(－1，0)上y’’＞0，在(0，1)上y’’＜0，在(1，+∞)上u’’＞0，故知曲线有三个拐点．33、设曲线积分∫Cxy2dx+yφ(x)dy与积分路径无关，其中φ(x)具有连续导数，且φ(0)=0，则∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy等于()标准答案：B知识点解析：因为曲线积分∫xy2dx+yφ(x)dy与路径无关，所以．即yφ’(x)=2xy又φ(0)=0，可得φ(x)=x2即曲线积分为I=∫(0，0)(1，1)xy2dx+yx2dy．我们设计线路为A(0，0)→B(1，0)→C(1，1)则I=∫AB+∫BC=0+∫01ydy=四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、设函数f(x)=，则f｛f[f(x)]｝=________．标准答案：知识点解析：35、函数y=logx－1(16一x2)的定义域为________．标准答案：(1，2)∪(2，4)知识点解析：y=logx－1(16－x2)，x－1＞0且x－1≠2；16－x2＞0．整理x＞1，x≠2；－4＜x＜4，取交集得(1，2)∪(2，4)．36、极限=________．标准答案：e6知识点解析：37、函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：0知识点解析：38、函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理条件的ξ=________．标准答案：2知识点解析：f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，3)使得f’(ξ)=0．f’(x)=所以f’(ξ)==0，得ξ=2．39、函数y=y(x)由方程ln(x3+y)=x3y+sinx确定，则=________．标准答案：1知识点解析：令F=ln(x2+y)－x3y－sinx，由方程可得z=0，则y=140、y=(a＞0)，是y’=________．标准答案：知识点解析：41、曲线y=xlnx平行于直线y=x+2的切线方程为________．标准答案：y=x－1知识点解析：设切点坐标为(x，y)，则y’=(xlnx)’=lnx+1=1，得x=1，代入曲线方程y=xlnx；得y=0．故切线方程为y=x－1．42、f(x)=x3一3x一9x在[一3，6]上的最大值为________．标准答案：54知识点解析：f(x)=x3－3x2－9x，x∈[－3，6]f’(x)=x3－3x2－9=3(x－3)(x+1)，令f’(x)=0，x=3，x=－1．而f(－1)=5，f(3)=－2，f(－3)=－27，f(6)=54．故最大值为54．43、曲线y=3x2－x3的凸区间为________．标准答案：(1，+∞)知识点解析：y=3x2－x3，y’=6x－3x2，y’’=6－6x，令y’’=0，得x=1，当－∞＜x＜1时，y’’＞0，当1＜x＜+∞时，y’’＜0，故f(x)的凸区间为(1，+∞)．44、定积分(cos4x+sin3x)dx=________．标准答案：知识点解析：45、点(2，3，1)在直线的投影为________．标准答案：(－5，2，4)知识点解析：过点(2，3，1)且与直线垂直的平面方程为(x－2)+2(y－3)+3(z－1)=0，即x+2y+3z－11=0，将直线的参数方程代入平面方程，有－7+t+2(－2+2t)+3(－2+3t)－11=0．解得t=2，再将之代人直线参数方程，得(一5，2，4)．46、xyz=x+y+z，则dz=________．标准答案：[(1－yz)dx+(1－xz)dy]知识点解析：xyz=x+y+z，则d(xyz)=d(x+y+z)，由全微分法则，yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz，整理得：47、改变积分次序=________．标准答案：知识点解析：根据二次积分画画出积分区域图D原来是把D看做X型，现在我们把D看做y型，再写出二次积分就改变了积分次序．48、微分方程y’’+y’+y=0的通解为________．标准答案：知识点解析：y’’+y’+y=0对应的特征方程为r2+r+1=0，其特征根为r=，故微分方程通解为湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1．2倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大?标准答案：设长方体水池的长为x，宽为y，并设底面单位面积材料费为m元；由题意：[x.y+2(xy+y2)×1．2]×m=a；而长方体水池的容积为：V=xy2．该题即求V=xy2在条件x.y+2(xy+y2)×1．2=下的条件极值．由题意可知，当长方体的长为时，水池的容积最大．知识点解析：暂无解析2、由曲线y=x3和直线x=2，y=0围成一平面图形，试求：(1)该平面图形的面积；(2)该平面图形绕y轴旋转一周形成的旋转体体积．标准答案：(1)曲线y=x3与直线x=2，y=0围成的平面图形如图：所求平面图形的面积为：S=∫02x3dx=4(平方单位)；(2)该平面图形绕Y轴旋转形成的旋转体的体积为：V=π×22×8－(立方单位)．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设In=∫tannxdx(n≥2)，证明：In=tann－1x－In－2．标准答案：知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)4、设f(x)=，则复合函数f(x(x))=________．标准答案：知识点解析：因f(x)=，于是f[f(x)]=，(x≠－2)．5、设f(x)=ln(x－1)+2，则其反函数f－1(x)_________．标准答案：y=ex－2+1知识点解析：因函数为：y=ln(x－1)+2，故其反函数为：y=ex－2+1．6、设=e－3，则k=_________．标准答案：知识点解析：7、设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：2知识点解析：因，由f(x)在x=0处连续知，=f(0)，故a=2．8、曲线y=1+的渐近线有________．标准答案：y=1及x=－1知识点解析：因y=1+，所以，于是曲线有水平渐近线y=1：又=+∞，于是曲线又有垂直渐近线：x=－1．9、函数F(x)=∫0xt2(t－1)dt的极小值点x为________．标准答案：x=1知识点解析：因F(x)=∫0xt2(t－1)dt，于是F’(x)=x2(x－1)，令F’(x)=0得驻点x=0，x=1；于是，x＜0时，F’(x)＜0；0＜x＜1时，F’(x)＜0；x＞1时，F’(x)＞0；故F(x)在x=1处取得极小值，极小值点为x=1．10、设y+lny－2xlnx=0确定函数y=y(x)，则y’=________．标准答案：知识点解析：因y+lny－2xlnx=0，令F(x，y)=y+lny－2xlnx，则11、定积分∫－11(x+)2dx=________．标准答案：4知识点解析：12、过点(3，2，1)且与向量a=｛1，2，3｝平行的直线方程为________．标准答案：知识点解析：因直线与向量a=(1，2，3)平行，故向量a即为直线的方向向量；又直线过点(3，2，1)，故由标准方程可得直线的方程为：13、设f(x)=xex，f(n)(x)=________．标准答案：(x+n)ex知识点解析：因f(x)=xex，于是f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，……，f(n)(x)=(x+n)ex．14、设f(x)=－f(－x)，且在(0，+∞)内，f’’(x)＞0，则曲线y=f(x)在(－∞，0)内的凸凹性为________．标准答案：凸的知识点解析：因f(x)=－f(－x)，所以函数y=f(x)为奇数，曲线y=f(x)关于坐标原点对称；又在(0，+∞)内，f’’(x)＞0，进而曲线为凹的；由对称性知，在(－∞，0)内，曲线y=f(x)是凸的．15、幂级数的和函数为________．标准答案：e－x(－∞＜x＜+∞)知识点解析：16、设z=，则=_________．标准答案：知识点解析：17、微分方程y’’+3y’+2y=e2x的特解形式可设为y*=________．标准答案：y*=Ae2x(A为待定常数)．知识点解析：因方程的特征方程为：r2+3r+2=0，故有特征根：r1=－2，r2=－1；又方程的自由项f(x)=e2x，λ=2不是特征根，故微分方程的特解可设为：y*=Ae2x(A为待定常数)．18、极限=_________标准答案：知识点解析：四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析20、已知函数y=x+xsinx，求y’．标准答案：y－x=xsinx，ln(y－x)=sinxlnx，方程两端y对x求导得(y’－1)=知识点解析：暂无解析21、求不定积分∫xtan2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算定积分标准答案：令x=－u，dx=－du，x=－2，u=2，x=－2，知识点解析：暂无解析23、设z=，其中f(u)可导，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算二重积分其中区域D为标准答案：由被积函数可知：该题必须先积x知识点解析：暂无解析25、求幂级数的和函数．标准答案：因→1，n→∞，所以幂级数收敛半径为R=1，在端点x=±1处，级数都收敛，所以该级数收敛域为[－1，1]，设在收敛域内级数收敛于和f(x)，即：知识点解析：暂无解析26、已知连续函数f(x)满足f(x)=+e2x求f(x)．标准答案：方程两端对x求导f’(x)=3f(x)+2e2x，即：y’=3y+2e2x，为常系数一阶线性非齐次微分方程因特征根r=3，所以齐次方程y’=3y的通解为Y=Ce3x，设y*=Ae2x为原方程的特解，则y*’=2Ae2x，将y*，y*’代入方程y’=3y+2e2x，比较系数可得A=－2，所以y*=－2e2x，故原方程的通解为：y=Ce3x－2e2x，当x=0，f(x)=1，所以C=3，所以所求函数为f(x)=3e3x－2e2x．知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、(1)求曲线y=x2，y=2－x2所围图形的面积．(2)求(1)中图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积．标准答案：联立方程得交点(±1，1)，由对称性所求面积为S=所求体积V=2π∫01x2dy=2π∫01ydy=π(立方单位)．知识点解析：暂无解析2、设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e－x－2f’(x)－f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．标准答案：因由曲线积分与路径无关，所以有，即y’’+2y’+y=e－x．先求对应齐次方程y’’+2y’+y=0的通解．因特征方程为：r2+2r+1=0所以r=－1为二重根，所以齐次方程的通解为Y=e－x(C1x+C2)设y*=2Ax2e－x为方程y’’+2y’+y=e－x的特解．则y*’=2undefinedundefined知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，arctanx+标准答案：记f(x)=arctanx+＜0，所以f(x)单调递减．又=0，所以f(x)＞0．故当x＞0时，arctanx+知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、函数y=lnx+arcsinx的定义域为()A、(0，+∞)B、(0，1]C、[－1，1]D、[－1，0)标准答案：B知识点解析：要使函数有意义，须，求解得：0＜x≤1．选B．5、函数f(x)=是()A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶D、可能是奇函数也可能是偶函数标准答案：A知识点解析：因f(－x)==f(x)．6、极限=()A、B、C、0D、∞标准答案：B知识点解析：用等价无穷小代换简单些，7、已知=6，则a，b取值为()A、a=－2，b=－3B、a=0，b=－9C、a=－4，b=3D、a=－1，b=－6标准答案：B知识点解析：因为当x→3时，分母→0必有分子→0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端=(2x+a)=6+a=6，所以a=0，这时b=－9．8、要使函数f(x)(a为自然数)在x=0处的导函数连续，则n=()A、0B、1C、2D、n≥3标准答案：D知识点解析：A错，因函数在x=0处不连续；B错，虽然函数在x=0处连续，但不可导；C也错，函数在x=0处可导，进而函数在(－∞，+∞)上均可导，但导函数在x=0处不连续，下面证明．因为f’(0)==0，当x≠0时，f’(x)=所以当x→0时，f’(x)不存在，所以f’(x)在x=0处不连续；仅D正确，当n≥3时，f’(x)==0当x≠0时，f’(x)=，此时有f’(x)→f’(0)=0x→0所以导函数f’(x)在x=0处连续．9、曲线y=的渐近线有()A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：当x→0时，y→∞，所以x=0为垂直渐近线，当x→∞时，y→，所以y=为水平渐近线，当x→1或x→－2时，y∞，所以在x=1，x=2处无渐近线．10、函数f(x)=(x2－x－2)｜x3－x｜不可导点个数是()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因f(x)=(x－2)(x－1)｜x｜｜x+1｜｜x－1｜，可知函数在x=0，x=－1处不可导，而在x=1处函数可导，原因是函数g(x)=(x－1)｜x－1｜在x=1处左、右导数存在且相等，即g’(1)=0．11、函数f(x)在[a，b]上连续是积分∫abf(x)dx存在的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分又不必要标准答案：A知识点解析：连续为条件，积分存在为结论，显然由∫abf(x)dx存在连续，肯定不是必要条件，但<=成立，所以连续为可积的充分条件，不是必要条件．12、若f(x)=∫0xsin(t－x)dt，则必有()A、f(x)=－sinxB、f(x)=－1+cosxC、f(x)=sinxD、f(x)=1－sinx标准答案：A知识点解析：令t=x=u，dt=du，t=0，u=－x，t=x，u=0所以f(x)==－sin(－x)(－1)=－sinx．13、已知f’(x)连续，且f(0)=0，设φ(x)=则φ’(0)=()A、f’(0)B、C、1D、标准答案：B知识点解析：为求φ’(0)，先判断φ(x)在x=0处连续，考虑=f(0)=0=φ(0)，所以φ(x)在x=0处连续，而14、已知向量a、b的夹角为，且｜a｜=1，｜b｜=则｜a+b｜=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为｜a+b｜2=(a+b)2=a2+b2+2a.b=1+=5所以｜a+b｜=15、曲面x2+y2=1=2z2表示()A、旋转单叶双曲面B、旋转双叶双曲面C、圆锥面D、椭球面标准答案：A知识点解析：该曲面可看做由双曲线绕z轴旋转而成．16、极限=()A、e－1B、eC、1D、0标准答案：A知识点解析：17、设z=f(x，y)可微，且当y=x2时，f(x，y)=1及=x，则当y=x2(x≠0)时，=()A、B、C、0D、1标准答案：B知识点解析：18、利用变量替换u=x，v=，一定可把方程化成()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：19、曲面xy+yz+zx=1在点P(1，－2，－3)处的切平面方程为()A、5x+2y+z+2=0B、5x－2y+z+2=0C、5x+2y－z+2=0D、5x+2y－z－4=0标准答案：A知识点解析：令F(x，y，z)=xy+yz+zx－1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=｛Fx，Fy，Fz｝=｛y+z，x+z，y+x｝于是点P(1，－2，－3)处的切平面的法向量为：n1=｛－5，－2，－1｝故切平面方程为：－5(x－1)－2(y+2)－(z+3)=0即5x+2y+z+2=0．20、设D由y2=x，y=x围成，则xydxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域D，应先积x，否则，会出现根号21、设D由x≥0，y≥0及x2+y2≤1所围成，则xy2dxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：用极坐标22、L为y=x3,y=x所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则∫L(x，y)ds=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为当沿y=x3从O到A时，y’=3x2这时ds=当沿y=x从O到A时，y’=1，这时ds=所以23、L是沿y=1－｜1－x｜从点O(0，0)到点B(2，0)的折线段，则曲线积分∫L(x2+y2)dx－(x2－y2)dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：∫L=∫OA+∫AB=∫012x2dx+∫12[(x2+(2－x)2－(x2－(2－x)2]dx=24、若=+∞，则级数()A、收敛于0B、收敛于C、发散D、敛散性无法确定标准答案：B知识点解析：25、已知幂级数在点x=2处收敛，则实数a的取值范围为()A、1＜a≤3B、1≤a＜3C、1＜a＜3D、1≤a≤3标准答案：A知识点解析：由幂级数的系数可得其收敛半径为1，所以其收敛域为[a－1，a+1]，因为2∈[a－1，a+1)，即a－1≤2，2＜a+1，所以1＜a≤3．26、已知an(x－1)n收敛域为[－1，3]，则的收敛域是()A、[－1，3]B、[－2，2]C、D、[－4，4]标准答案：C知识点解析：由已知条件知，幂级数的收敛半径为2，且在端点处收敛，所以级数收敛域为[－2，2]，即－2≤t≤2，令t=x2，则，所以幂级数的收敛域为27、设连续函数f(x)满足f(x)=+ln2，则f(x)=()A、exln2B、e2xln2C、ex+ln2D、e2x+ln2标准答案：B知识点解析：f’(x)=f(x).2，即y’=2y，所以y=Ce2x，当x=0时，y=ln2，所以C=ln2，所以f(x)=e2xln2．28、微分方程y’’+y’=2x2ex的特解应设为y*=()A、(Ax2+Bx+C)exB、(Ax3+Bx2+Cx)exC、(Ax2+Bx+C)e－xD、(Ax3+Bx2+Cx)e－x标准答案：B知识点解析：因为与方程对应的齐次方程y’’+y’=0的通解为Y=C1+C2e－x，由于齐次方程中不含有ex，且原方程缺函数y，于是特解应设为：y*=(Ax2+Bx+C).x.ex．29、求极限()A、1B、0C、D、2标准答案：C知识点解析：(其中当x→1时，lnx～x－1)．30、若=k≠0，则级数满足()A、收敛B、发散C、敛散性不确定D、收敛于0标准答案：A知识点解析：31、微分方程y’’+xy’=1的通解为()A、y=－x+C1ln｜x｜B、y=x+C1ln｜x｜+C2C、y=x+C2D、y=C1ln｜x｜+C2标准答案：B知识点解析：微分方程变形(xy’)’=1，所以xy’=x+C，即y’=1+，所以通解为y=x+C1ln｜x｜+C2．32、函数f(x)在点x=1处可导，且，则f’(1)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：33、函数f(x)是连续函数，则∫－aax2[f(x)－f(－x)]dx=()A、1B、2C、－1D、0标准答案：D知识点解析：被积函数x2[f(x)－f(－x)]是奇函数，故∫－aax2f(x)－f(－x)]dx=0．四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、设f(x)为连续的奇函数且f(2)=1，则=________．标准答案：-1知识点解析：因f(x)为奇函数，有f(－2)=f(2)=－1；又f(x)连续，故=f(－2)=－1．故填－1．35、极限=________．标准答案：e3知识点解析：=e3．故填e3．36、曲线y=x+ex在点(0，1)处的切线斜率k=________．标准答案：2知识点解析：因y’≥1+e，故由导数的几何意义知，点(0，1)处的切线斜率k=f’(0)=2，故填2．37、函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理结论的ξ=________．标准答案：2知识点解析：因f(x)=，x∈[0，3]，故罗尔定理的结论为：f’(ξ)==0，于是，求解，得：ξ=2，ξ=－3(舍去)，故填2．38、函数f(x)=x+2cosx在上的最大值为________．标准答案：知识点解析：因f’(x)=1－2sinx，令f’(x)=0，得驻点：x=；又；于是通过比较知，f(x)在上最大值M=39、曲线y=x3－3x2+2x+1的拐点为________．标准答案：(1，1)知识点解析：因y’=3x2－6x+2，y’’=6x－6，令y’’=0得：x＜1，又x＜1，y’’＜0；x＞1时，y’’＞0，故曲线的拐点为(1，1)．40、设f(x)=+cos2x，则f(27)(π)=________．标准答案：0知识点解析：因f(x)=+cos2x，于是f(n)(x)=，故f(27)(π)==0，即填0．41、不定积分