湖北省专升本（高等数学）模拟试卷1（共483题）

湖北省专升本（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共483题）湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、向宽为a米的河修建一宽为b米的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?标准答案：如图可知船的最大长度不能超过BC的最小长度．设BC长度为l，则l=acscθ+bsecθ，l’=(6tan3θ－a)令l’=0．由θ不可能为或0，得。所求船长为l=acosθ+bsecθ其中θ=知识点解析：暂无解析2、求由曲线y2=(x－1)3和直线x=2所围成的图形绕Ox轴旋转所得旋转体体积．标准答案：显然曲线y2=(x－1)3关于x轴对称，则它和直线x=2围成图形也关于x轴对称．又曲线和x轴交点为(1，0)因此V=π∫12y2dx=π∫12(x－1)3dx=(立方单位)．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当0≤x＜时，sinx+tanx≥2x．标准答案：设f(x)=sinx+tanx－2x，则在0≤x＜内所以f(x)单增，x＞0，则f(x)＞f(0)=0，故sinx+tanx＞2x，显然x=0时，sinx+tanx＞2x．于是0≤x＜时，sinx+tanx≥2x．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、函数y=ln(2－x)+arcsin(－1)的定义域为()A、x≥0B、0≤x≤1C、0≤x＜2D、0≤x≤4标准答案：C知识点解析：因ln(2－x)存在的条件为：2－x＞0；arcsin(－1)存在的条件为：－1≤－1≤1，求解以上两个不等式，可得：0≤x＜2，选项C正确．5、已知f(x－2)=x2－4x－7，则f(x)的奇偶性是()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇又偶的函数标准答案：B知识点解析：因f(x－2)=x2－4x－7，所以f(x)=x2－11，故f(x)为偶函数．6、设x→0时，无穷小量1－cosx～axb，则()A、以a=2，b=1B、a=1，b=2C、a=，b=2D、a=2，b=标准答案：C知识点解析：因x→0时，1－cosx～，又1－cosx～axb，故～axb，于是比较得：a=，b=2，选项C正确．7、设f(x)=在x=0处连续，则a=()A、0B、1C、D、e标准答案：B知识点解析：因，由f(x)在x=0处连续知，=f(0)，故a=1，选项B正确．8、设函数f(x)在x=1处可导，且=2，则f’(1)=()A、2B、－2C、－1D、1标准答案：C知识点解析：因，由已知，－2f’(1)=2，故f’(1)=－1．选项C正确．9、设函数y=y(x)是由方程2xy=x+y所确定，则y’｜x=0=()A、ln2B、ln2－1C、ln2+1D、2标准答案：B知识点解析：对方程两边同时微分，得：2xy.ln2.(ydx+xdy)=dx+dy，于是y’(x)=，注意到x=0时，y=1，故y｜x=0=(ln2－1)．选项B正确．10、曲线在点(0，1)处的法线方程为()A、2x+y－1=0B、x－2y+1=0C、2x+y+1=0D、x－2y－1=0标准答案：A知识点解析：因，于是点(0，1)处即t=0时，切线的斜率k1=，进而法线的斜率为k2==－2，故所求法线方程为y－1=(－2)(x－0)，即2x+y－1=0．11、设y=e2arccosx，则dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因，故选项C正确．12、设y=，则y’’=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因，迭项B正确．13、曲线y=1+()A、有水平渐近线，无垂直渐近线B、无水平渐近线，有垂直渐近线C、有水平渐近线，有垂直渐近线D、无水平渐近线，无垂直渐近线标准答案：C知识点解析：因，于是，曲线有水平渐近线y=1．又=+∞，故曲线有垂直渐迈线x=－1，选项C正确．14、设f(x)=x－ln(1+x)，则在区间(0，+∞)内()A、f(x)单调减少，曲线y=f(x)为凸的B、f(x)单调增加，曲线y=f(x)为凸的C、f(x)单调增加，曲线y=f(x)为凹的D、f(x)单调减少，曲线y=f(x)为凹的标准答案：C知识点解析：因y’=1－＞0，x∈(0，+∞)，故f(x)单调递增；又y’’=＞0，故曲线y=f(x)为凹的曲线弧．15、下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是()A、f(x)=，[－1，1]B、f(x)=xe－x，[－1，1]C、f(x)=，[－1，1]D、f(x)=｜x｜，[－1，1]标准答案：A知识点解析：选项A，由其定义域知，f(x)在[－1，1]上连续，又f’(x)=，于是f(x)在(－1，1)内可导，且f(－1)=1=f(1)，故选项A正确．B选项中，f(－1)≠f(1)；C选项中，f(x)在x=1处不在连续；D选项中，f(x)在x=0处不可导．16、设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x).g(x)在x=a处()A、必取得极大值B、必取得极小值C、不可能取得极值D、是否取得极值不能确定标准答案：D知识点解析：如果取f(x)=g(x)=－x2，则两者在x=0处皆取得极大值，而f(x).g(x)=x4在x=0处却取得极小值，于是选项A、C不正确；又若取f(x)=－x2，g(x)=1－x2，则f(x).g(x)在x=0处皆取得极大值，而F(x)=f(x).g(x)=－x2(1－x2)=x4－x2，F’(x)=4x3－2x=2x(2x2－1)=4(x2－)，于是，＜x＜0时，F’(x)＞0；0＜x＜，F’(x)＜0；故F(x)=f(x).g(x)在x=0处取得极大值，选项B不正确，综上所述，选项D正确．17、设=x2+C，则f(x)=()A、2xB、e2xC、ln2xD、x2标准答案：B知识点解析：因=∫f’(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=x2+C，故=2x，f’(lnx)=2x2；令lnx=t，则f’(t)=2e2t，故f(x)=e2x+C．18、定积分cos5xdx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因，显然，=0；从而，原式=．选项A正确．19、曲线y=∫0x(t－1)(t－2)dt在点(0，0)处的切线方程是()A、x=0B、y=2xC、y=0D、y=x+1标准答案：B知识点解析：因y’=(x－1)(x－2)，于是y’｜x=0=2，由导数的几何意义知，点(0，0)处的切线斜率为k=2，进而切线方程为：y=2x．选项B正确．20、设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=2，则f(cos2x)sin2xdx=()A、2B、3C、4D、1标准答案：A知识点解析：选项A正确．21、下列广义积分收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对于选项A：，发散；对于选项B．，发散；对于选项C：，发散；对于选项D：，收敛，选项D正确．22、下列四组角中，可以作为一条有向直线的方向角的是()A、30°，45°，60°B、45°，60°，60°C、30°，90°，30°D、0°，30°，150°标准答案：B知识点解析：任一有向直线的方向角α、β、γ满足：cos2α+cos2β+cos2γ=1，经验证知，选项B正确．23、设直线l为，平面π为4x－2y+z－2=0，则()A、直线l平行于平面πB、直线l在平面π上C、直线l垂直于平面πD、直线l与平面π斜交标准答案：C知识点解析：直线l的方向向量为：s==－28i+14j－7k；平面π的法向量n=｛4，－2，1｝=4i－2j+k．故s∥n，即直线l垂直于平面π．选项C正确．24、设z=xy2+，则=()A、－1B、0C、1D、2标准答案：D知识点解析：因z=xy2+，于是f(x，1)=x+ex，=fx(0，1)=(1+ex)｜x=0=2．25、设z=，则dz=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：26、函数z=x3－y3+3x2+3y2－9x的极小值点为()A、(1，0)B、(1，2)C、(－3，0)D、(－3，2)标准答案：A知识点解析：因z=x3－y3+3x2+3y2=9x，于是，=3x2+6x－9，=－3y2+6y，令，求解得驻点(1，0)、(1，2)，(－3，0)、(－3，2)，又；故对于点(1，0)：B2－AC=0－12×6=－72＜0，又A=12＞0，故(1，0)点为f(x)的一个极小值点；对于点(1，2)：A=12，B=0，C=－6，B2－AC=72＞0，该点不为极值点；对于点(－3，0)：A=－12，B=0，C=6，B2－AC=72＞0，该点不为极值点；对于点(－3，2)：A=－12，B=0，C=－6，则B2－AC=－72＜0，而A=－12＜0，点(－3，2)为函数的极大值点．综上所述，选项A正确．27、交换二次积分的积分次序，则∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=()A、∫12dx∫1－x0f(x，y)dyB、∫－10dx∫1－x2f(x，y)dyC、∫12dx∫01－xdxf(x，y)dyD、∫－10dx∫21－xf(x，y)dy标准答案：A知识点解析：因已知积分的积分区域D为：，如图．积分区域D又可表示为：，于是∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=∫12dx∫1－x0f(x，y)dx．选项A正确．28、设D是圆周x2+y2=2ax，(a＞0)与直线y=x在第一象限内围成的闭区域，则f(x，y)dσ=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因积分区域D如图所示，区域D可表示为：，选项C正确．29、设曲线积分∫L(x4+4xyp)dx+(6xp－1y2－5y4)dy与路径无关，则p=()A、3B、2C、1D、－1标准答案：A知识点解析：因P(x，y)=x4+4xyp，Q(x，y)=6xp－1y2－5y4，由于积分与路径无关，于是有：，即：4pxyp－1=6(p－1)xp－2y2,比较两边，得：p=3．故选项A正确．30、数项级数是()A、绝对收敛级数B、条件收敛级数C、发散级数D、敛散性不定的级数标准答案：A知识点解析：因级数的绝对值级数为：是p=2＞1的p-级数，收敛；故由比较判别法知，绝对值级数收敛，即原级数绝对收敛．31、设幂级数在x=－1处条件收敛，则级数()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不能确定标准答案：B知识点解析：由于级数an(x－1)n在x=－1处条件收敛，根据幂级数的绝对收敛定理得知，级数an(x－1)n的收敛区间为：(－1，3)：又x=2点在此区间内，故由x=2得到的数项级数绝对收敛，即：级数绝对收敛，选项B正确．32、微分方程dy=x(2ydx－xdy)的通解为()A、x2+y2=CxB、y=C(1+x2)C、y*=C(1+x2)D、y2=Cx2+xy标准答案：B知识点解析：原方程可化为：，故原方程的通解为y==C(1+x2)．33、微分方程y’’－4y’+4y－(2x+1)ex的特解可设为()A、y*=(ax+b)exB、y*=x(ax+b)exC、y*=ax2exD、y*=x2(ax+b)ex标准答案：A知识点解析：因微分方程对应的特征方程为：r2－4r+4=0，故有特征根．r1，2=2。又自由项f(x)=(2x+1)ex，λ=1：λ不是特征根，故特解应设为：y*=(ax+b)ex，(a，b为待定常数)，选项A正确．四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、设f(x+2)=x2+1，则f(x－1)=________．标准答案：x2－6x+10知识点解析：由f(x+2)=x2+1=(x+2)2－4x－3=(x+2)2－4(x+2)+5得f(x)=x2－4x+5，所以f(x－1)=(x－1)2－4(x－1)+5=x2－6x+10．35、极限=________．标准答案：1知识点解析：36、曲面x－yz+cosxyz=2在点(1，1，0)处的切平面方程为________．标准答案：x－z－1=0知识点解析：令F(x，y，z)=x—yz+cosxyz一2，所以曲面上任一点处的切平面的法向量为：n={Fx，Fy，Fz)={1—yzsinxyz，一z—xxsinxyz，一y—xysinxyz)，于是点(1，1，0)处的切平面的法向量为：n1=(1，0，－1)，故切平面方程为：(x－1)+0×(y－1)－(z－0)=0即x－z－1=0．37、设f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(4)=________．标准答案：4！知识点解析：由解析式可知，在导函数中，有四项含有(x－4)的因子，将4代入这些项全为0，而仅有x(x一1)(x一2)(x一3)不含(x一4)因子，将4代入得f’(4)=4！38、函数y=x3在区间[－1，2]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ是________．标准答案：ξ=1知识点解析：y’=3x2，所以，ξ2=1，在开区间(－1，2)上，ξ只能取值1．39、标准答案：0知识点解析：因为为一定数，而定数的导数为0．40、已知f(t)dt=x4，则有∫01f(x)dx=________．标准答案：1知识点解析：取x2=1，则x4=1．41、已知矢量a={3，2，－2}与b=垂直，则m=________．标准答案：4知识点解析：根据向量垂直的充要条件得3+5－2m=0所以m=4．42、若f(x，y)=，则fx(2，1)=________．标准答案：知识点解析：43、判断积分符号dxdy________0，其中区域D为x2+y2≤4．标准答案：＜知识点解析：将积分区域D分成D1，D2，D3，其中44、已知函数f(x)有连续的导数，当f(x)满足________时，曲线积分ydx－f(x)dy与积分路径无关，若f(1)=，则f(x)=________．标准答案：知识点解析：时曲线积分与路径无关，所以有f’(x)+f(x)+1=0即y’++1=0，xy’+y=－x，(xy)’=－x，xy=x2+C，当x=1时，45、若正项级数收敛，则级数________．标准答案：收敛知识点解析：因收敛．所以级数收敛．由正项级数比较原理，级数收敛．46、幂级数的收敛区间为________．标准答案：(0，1)知识点解析：所以收敛半径R=所以收敛区间为(0，1)．47、微分方程y’’－y’=0的通解为________．标准答案：y=C1+C2ex知识点解析：因特征方程为r2－r=0所以r=0，r=1所以原方程的通解为y=C1+C2ex．48、微分方程y’’－2y’+y=x－2的通解为________．标准答案：y=(C1+C2x)ex+x知识点解析：先求对应齐次方程y’’－2y’+y=0的通解，因特征方程为：r2－2r+1=0，r=1为重根，所以齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)ex．设y*=Ax+B为原方程的特解．则y*’=A，y*’’=0，将y*、y*’、y*’’代入原方程有：－2A+(At+B)=x一2，所以A=1，B=0，于是y*=x，原方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x．湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、曲线y=cosx，x∈[0，π／2]与两坐标轴所围成的面积被曲线y=asinx及y=nsinx(a＞b＞0)三等分，求a，b的值．标准答案：曲线y=cosx与两坐标轴所围面积为：cosxdx=1．设曲线y=cosx与y=asinx的交点横坐标为x1，则x1=arctan所以S1=(cosx-asinx)dx=sinx1+acosx1-a=1／3(平方单位)．用同样方法可得b=5／12．知识点解析：暂无解析2、曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程．标准答案：设P(x，y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为y’而直线OP的斜率为y／x，由于过P点切线垂直OP，所以y’=-，ydy=-xdx所以C，即x2+y2=C，由x=1，y=0，所以C=-1．故所求曲线方程为x2+y2=1．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，arctanx+＞π／2．标准答案：记f(x)=arctanx+＜0，所以f(x)单调递减．又f(x)=0，所以f(x)＞0．故当x＞0时，arctanx+知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、设f(x)=，φ(x)=x+1，则复合函数f[φ(x)]的定义域为()A、[0，1]B、(-3，1)C、[-3，0]D、[-3，1]标准答案：D知识点解析：f(x)=4-(x+1)2≥0，|x+1|≤2，-3≤x≤1．5、函数f(x)=arctan(sinx)在xOy平面上的图形()A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、关于直线y=-x对称标准答案：C知识点解析：f(x)=arctan(sinx)，f(-x)=arctan[sin(-x)]=arctan(-sinx)=-arctan(sinx)=-f(x)，f(x)为奇函数，所以它的图形关于原点对称．6、点x=0是函数y=的()A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0是y==-1，所以x=0是跳跃间断点．7、设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论正确的是()A、f(x)=0B、C、当x→x0时，f(x)-f(x0)为无穷小D、当x→x0时，f(x)-f(x0)不是无穷小。标准答案：C知识点解析：f(x)在x=x0连续，则f(x)=f(x0)，所以A错，B即f’(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以B错，由于(f(x)-f(x0))=0，所以C正确．8、设函数f(x)=(x≠0)，则f(ln3)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：f(x)==ex所以f(ln3)=eln3=3．9、设f(x)是可导函数，且=-1，则曲线y=f(x)在点(1，(f))处的切线斜率为()A、-1B、-2C、0D、1标准答案：B知识点解析：f’(1)=-1．所以f’(1)=-2．10、若f(t)=．t，则f’(t)=()A、e2t(2t+1)B、e2tC、t+1D、标准答案：A知识点解析：f(t)=．t=e2t．t，所以f’(t)=(e2t．t)=2e2t．t+e2t=e2t(2t+1)．11、函数f(x)=2x2-lnx单调增加的区间是()A、(0，1／2)B、(-1／2，0)∪(1／2，+∞)C、(1／2，+∞)D、(-∞，-1／2)∪(0，1／2)标准答案：C知识点解析：f(x)=2x2-lnx，f’(x)=4x-，令f’(x)=0．得驻点x=1／2，x=-(舍去)，x=0为不可导点．12、函数y=x2+px+q，当x=1时，有最小值y=3，则()A、p=-1，q=2B、p=-2，q=2C、p=-2，q=4D、p=-1，q-4标准答案：C知识点解析：y=x2+px+q，y’=2x+p，y’(1)=0．得p=2，又y(1)=3，得p+q=2，有q=4．13、曲线y=ln(1+x2)的凹区间是()A、(-2，2)B、(-1，0)C、(-1，1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：y=ln(1+x2)，y’=令y"=0，x=±1，当-∞＜x＜-1时，y"＜0；当-1＜x＜1时，y"＞0；当1＜x＜+∞时，y"＜0，所以曲线的凹区间为(-1，1)．14、设函数y=y(x)由参数方程则dx／dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：15、设f(x)=arctanx2，则∫0xtf(s2-t2)dt=()A、xf(x2)B、-xf(x2)C、2xf(x2)D、-2xf(x2)标准答案：A知识点解析：16、下列关系式正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于∫f(x)dx=F(x)+C，所以∫f(x)dx=f(x)．17、设f’(lnx)=1+x，则f(x)=()A、lnx+x2+CB、lnx+x+CC、+ex+CD、x+ex+C标准答案：D知识点解析：f’(lnx)=1+x，令x取值ex，则f’(x)=1+ex，于是，f(x)=∫(1+ex)dx=x+ex+C18、定积分∫12dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：19、广义积分∫0+∞=()A、π／3B、π／4C、0D、π／2标准答案：B知识点解析：令x=tant，∫0+∞20、|a|=|b|=5，a．b=3，则|a×b|=()A、4B、4／5C、5D、10标准答案：A知识点解析：|a|=1，|b|=5，a．b=3，cossin(a，b)=．则|a×b|=|a|．|b|sin(a，b)=4．21、平面x+ky-2z=9与平面2x+4y+3z=3垂直，则k=()A、1B、2C、1／4D、1／2标准答案：A知识点解析：平面x+ky-2z=0与平面2x+4y+3z=3垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为0，{1，k，-2}．{2，4，3}=2+4k-6-0得k=1．22、设z=z(x，y)由方程2x2-y3+3xy+z3+z=1确定，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令F=2x2+3xy+z3+z-1则Fx=4x+3y，Fz=3z2+1，所以23、I=dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr化为先对y积分后对x积分，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由I=dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr知r=2acosθ，r2=2arcosθ，化为直角坐标为x2+y2=2ax此为一圆，又由π／4＜θ＜π／2，可画出积分区域图D，由题意把D看做X型，于是I=∫0adx(x，y)dy．24、设区域D由直线x+y=1，x=0及y=0围成，估计xydxdy的值I为()A、0≤I≤1／8B、0≤I≤8C、0≤I≤1D、1≤I≤4标准答案：A知识点解析：令z=xy，zx=y=0，zy=x=0，驻点(0，0)不在D内，z在D的两直角边上的值都为0，我们看在D的斜边z+y=1上，z=xy的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值．z=x(1-x)=x-x2，zx=1-2x，令zx=0，得x=1／2代入直线方程，y=1／2，则z(1／2，1／2)=1／4，而z在斜边两端点处的值都为0，故0≤z≤1／4所以0=0．SD≤I≤SD=25、C为平面区域D的正向边界，则曲线积分∮C(1-x2)ydx+x(1+y2)dy化为二重积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：=(1+y2)-(1-x2)=x2+y2，所以∮C(1-x2)ydx+x(1+y2)dy=(x2+y2)dσ。26、幂级数的收敛半径为()A、1／2B、2C、D、标准答案：D知识点解析：因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下方法．27、设曲线y=f(x)满足y"=x，且过点(0，1)并与直线y=+1在该点相切，则曲线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：y=f(x)满足方程y"=x，y’=+C，y=x3+C1x+C2，又y(0)=1，得C2=1，又y’(0)=1／2得C1=1／2，所以y=x+1．28、函数y=10x-1-2的反函数是()A、B、y=logx2C、y=log2D、y=1+lg(x+2)标准答案：D知识点解析：y=10x-1-2，解出x=lg(y+2)+1，所求即y=1+lg(x+2)．29、已知x→0时，(1+ax2)1／3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=()A、3／2B、-3／2C、3D、-3标准答案：B知识点解析：30、函数y=arctan的导数与下列函数的导数相同的是()A、atctanex+1B、arctanex-1C、arctan(ex+1)D、arctanex+1标准答案：D知识点解析：由此结果，可以看出D的导数也是这样．31、设a，b均为非零向量，且a⊥b，则必有()A、|a+b|=|a|+|b|B、|a-b|=|a|-|b|C、|a+b|=|a-b|D、a+b=a-b标准答案：C知识点解析：由a⊥b，可知以a，b为邻边可构成一个长方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知|a+b|=|a-b|．32、平面x+2y-z-6=0与直线的位置关系是()A、平行B、垂直C、即不平行也不垂直D、直线在平面内标准答案：D知识点解析：直线的方向向量s={2，-1，0}，平面的法向量n={1，2，-1}，因n．s=0可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0，-4)，可验证它在平面上，故直线在平面内．33、函数f(x)=1／x在x=1处的泰勒级数展开式中项(x-1)3的系数是()A、1／6B、-1／6C、1D、-1标准答案：D知识点解析：f(x)=1／x在x=1处泰勒展开式为f(x)=f(x0)+f’(x0)x-x0)+(x-x0)3+……故(x-1)3项的系数为f"’(1)=-1．四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、标准答案：1／2知识点解析：35、设函数f(x)=在(-∞，+∞)上连续，则a=_______．标准答案：-1知识点解析：=1+2a，令1+2a=a，则a=-1，即当a=-1时，f(x)在x=0处连续，进而区间(-∞，+∞)上连续．36、若f(x)=且g(0)=g’(0)=0，则f’(0)=_______．标准答案：0知识点解析：f’(0)==0(根据无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量)．37、已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程f’(x)=0有_______个根．标准答案：3知识点解析：函数f(x)在闭区间[1，2]上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点ξ1∈(1，2)，使f’(ξ1=0，即方程f’(x)=0在区间(1，2)上至少有一个根，同理f’(x)=0在区间(2，3)，(3，4)上分别至少各存在一根，再由于f’(x)为三次多项式，即方程f’(x)=0至多有三个根．综上所述，方程f’(x)=0有三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内．38、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则dy／dx|x=0=_______．标准答案：1知识点解析：方程两端y对x求导(2x+y’)=3x2y+x2y’+cosx，当x=0时，y=1，代入可得y’|x=0=1．39、不定积分∫dx=_______．标准答案：ln|sinx+cosx|+C知识点解析：d(sinx+cosx)=ln|sinx+cosx|+C40、设f(t)dt=x(x＞0)，f(x)连续，则f(2)=_______．标准答案：1／5知识点解析：方程两端对x求导：f(x2+x3)．(2x+3x2)=1，取x=1，则f(2)=1／5．41、曲线y=xe-x的单调增区间为_______，凸区间为_______．标准答案：(-∞，1)，(-∞，2)知识点解析：因y=xe-x，所以y’=e-x-xe-x=(1-x)e-x，y"=-e-x-(1-x)e-x=(x-2)e-x令y’＞0，得曲线的递增区间为(-∞，1)；令y"＜0，得曲线的凸区间为(-∞，2)．42、方程表示_______．标准答案：两条平行直线知识点解析：由于圆柱面x2+y2=4的母线平行z轴且被一平行z轴的平面y=1去截，显然截痕为两条平行直线．43、z=f(x+y，xy)，且f可微，则=_______．标准答案：其中u=x+yv=xy知识点解析：设u=x+y，v=xy，则z=f(u，v)44、设为连接O(0，0)，A(0，1)，B(1，2)的圆弧段，则(ey+x)dx+(xey-2y)dy=_______．标准答案：e2-知识点解析：因，所以积分与路径无关，改变积分路径，=∫OC+∫CB，所以原式=∫01(1+x)dx+∫02(ey-2y)dy=e2-45、级数，当a_______时发散．标准答案：a＞e知识点解析：46、幂级数的收敛域为_______．标准答案：知识点解析：47、微分方程x=y+x3的通解为y=_______．标准答案：y=x3+Cx知识点解析：变形xy’-y=3，x3+Cx．48、微分方程y"-6y’+9y=ex的通解为y=_______．标准答案：y=(C1+C2x)e3x+ex知识点解析：先求对应齐次方程y"=6y’+9y=0的通解，因特征方程为r2-6r+9=0所以r=3为二重根，故齐次方程的通解为：Y=(C1+C2x)e3x，设y*=Aex为原方程的特解，则y*’=y*"=Aex代入原方程比较系数可得A=1／4所以y*=ex，即原方程的通解为y=Y+y*=(C1+C2x)e3x+ex．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)49、标准答案：该题属“∞-∞”，我们用倒代换x=1／t其产生分母，然后通分计算之．知识点解析：暂无解析50、已知函数y=arcsinx标准答案：该题若求出导函数后再将x=0代入计算比较麻烦，下面利用导数定义计算．知识点解析：暂无解析51、求不定积分∫标准答案：知识点解析：暂无解析52、计算定积分∫0ln标准答案：令e-x=sint，则x=-lnsint，dx=-dt，且当x=0时，t=π／2；当x=ln2时，t=π／6，于是。知识点解析：暂无解析53、设z=xyf标准答案：知识点解析：暂无解析54、求yexydxdy，其中区域D由y=1／x，y=2，x=1及x=2所围成．标准答案：画出积分区域图D，考虑到被积函数的情况，先对x积分较宜．知识点解析：暂无解析55、求幂级数的收敛区间(考虑区间端点)．标准答案：故收敛区间为(0，2]．知识点解析：暂无解析56、求微分方程(ysinx-sinx-1)dx+cosxdy=0的通解．标准答案：方程可化为+ytanx=secx+tanx这是一阶线性微分方程，利用通解公式知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线xy=a(a＞0)及直线x=a，x=2a，y=0所围图形的面积，该图形分别绕x轴，y轴旋转一周所生成的立体体积．标准答案：先作图，当x=a时，y=1；x=2a，y=，由曲线及直线所围图形的面积为：该图形绕x轴旋转所成的体积为：该图形绕y轴旋转所成的体积为：知识点解析：暂无解析2、已知3f(x)－，求f(x)的极值．标准答案：令=t，则有3－f(t)=t，或写成3－f(x)=x，知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，x－＜ln(1+x)．标准答案：令f(x)=ln(1+x)－x+x2，于是，f’(x)=＞0，(x＞0时)即函数f(x)在x＞0时单调递增，又f(0)=0，从而x＞0时，f(x)＞f(0)即ln(1+x)－x+x2＞0，也即x－x2＜ln(1+x)，命题成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、设f(x)=，φ(x)=x+1，则复合函数f[φ(x)]的定义域为()A、[0，1]B、(－3，1)C、[－3，0]D、[－3，1]标准答案：D知识点解析：f(x)=，φ(x)=x+1，则f[φ(x)]=，4－(x+1)2≥0，｜x+1｜≤2，－3≤x≤1．5、函数f(x)=arctan(sinx)在xOy平面上的图形()A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、关于直线y=一x对称标准答案：C知识点解析：f(x)=arctan(sinx)，f(－x)=arctan[sin(－x)]=arctan(－sinx)=－arctan(sinx)=－f(x)，f(x)为奇函数，所以它的图形关于原点对称．6、点x=0是函数y=的()A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0是y=的间断点，而，所以x=0是跳跃间断点．7、设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论正确的是()A、=0B、存在C、当x→x0时，f(x)－f(x0)为无穷小D、当x→x0时，f(x)－f(x0)不是无穷小标准答案：C知识点解析：f(x)在x=x0连续，则=f(x0)，所以A错，B即f’(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以B错，由于(f(x)一f(x0))=0，所以C正确．8、设函数f(x)=(x≠0)，则f(ln3)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：f(x)==ex所以f(ln3)=eln3=3．9、设f(x)是可导函数，且=－1，则曲线y=f(x)在点(1，(f))处的切线斜率为()A、－1B、－2C、0D、1标准答案：B知识点解析：10、若f(t)=，则f’(t)=()A、e2t(2t+1)B、e2tC、t+1D、标准答案：A知识点解析：f(t)=，所以f’(t)=(e2t.t)=2e2t.t+e2t=e2t(2t+1)．11、函数f(x)=2x2－lnx单调增加的区间是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：f(x)=2x2－lnx，f’(x)=，令f’(x)=0．得驻点(舍去)，x=0为不可导点．12、函数y=x2+px+q，当x=1时，有最小值y=3，则()A、p=－1，q=2B、p=－2，q=2C、p=－2，q=4D、p=－1，q=4标准答案：C知识点解析：y=x2+px+q，y’=2x+p，y’(1)=0．得p=－2，又y(1)=3，得p+q=2，有q=4．13、曲线y=ln(1+x2)的凹区间是()A、(－2，2)B、(－1，0)C、(－1，1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：y=ln(1+x2)，y’=令y’’=0，x=±1，当－∞＜x＜－1时，y’’＜0；当－1＜x＜1时，y’’＞0；当1＜x＜+∞时，y’’＜0，所以曲线的凹区间为(－1，1)．14、设函数y=y(x)由参数方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：15、设f(x)=arctanx2，则∫0xtf(s2－t2)dt=()A、xf(x2)B、－xf(x2)C、2xf(x2)D、－2xf(x2)标准答案：A知识点解析：16、下列关系式正确的是()．A、d∫f(x)dx=f(x)B、∫f’(x)dx==f(x)C、∫f(x)dx=f(x)D、∫f(x)dx=f(x)+C标准答案：C知识点解析：由于∫f(x)dx=F(x)+C，所以f(x)dx=f(x)．17、设f’(lnx)=1+x，则f(x)=()A、lnx+x2+CB、lnx+x+CC、+ex+CD、x+ex+C标准答案：D知识点解析：f’(lnx)=1+x，令x取值ex，则f’(x)=1+ex，于是，f(x)=∫(1+ex)dx=x+ex+C．18、定积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：19、广义积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：20、｜a｜=1，｜b｜=5，a.b=3，则｜a×b｜=()A、4B、C、5D、10标准答案：A知识点解析：21、平面x+ky－2z=9与平面2x+4y+3z=3垂直，则k=()A、1B、2C、D、标准答案：A知识点解析：平面x+ky－2x=0与平面2x+4y+3z=3垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为0，｛1，k，－2｝.{2，4，3)=2+4k－6－0得k=1．22、设z=z(x，y)由方程2x2－y2+3xy+z3+z=1确定，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令F=2x2－x3+3xy+z3+z－1则Fx=4x+3y，Fz=3z2+1，所以23、I=f(rcosθ，rsinθ)rdr化为先对y积分后对X积分，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由I=f(rcosθ，rsinθ)rdr知r=2acosθ，r2=2arcosθ，化为直角坐标为x2+y2=2ax此为一圆，又由，可画出积分区域图D，由题意把D看做X型，于是I=24、设区域D由直线x+y=1，x=0及y=0围成，估计xydxdy的值I为()A、0≤I≤B、0≤I≤8C、0≤I≤1D、1≤I≤4标准答案：A知识点解析：令z=xy，zx=y=0，zy=x=0，驻点(0，0)不在D内，z在D的两直角边上的值都为0，我们看在D的斜边x+y=1上，z=xy的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值．z=x(1－x)=x－x2，zx=1－2x，令zx=0，得x=代入直线方程，，而z在斜边两端点处的值都为0．故0≤z≤所以0=0.SD≤I≤25、C为平面区域D的正向边界，则曲线积∮C(1－x2)ydx+x(1+y2)dy化为二重积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：=(1+y2)－(1－x2)=x2+y2，所以∮C(1－x2)ydx+x(1+y2)dy=(x2+y2)dσ．26、幂级数的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下方法．27、设曲线y=f(x)满足y’’=x，且过点(0，1)并与直线y=+1在该点相切，则曲线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：y=f(x)满足方程y’’=x，y’=+C，y=+C1x+C2，又y(0)=1，得C2=1，又y’(0)=得28、函数y=10x－1－2的反函数是()A、y=B、y=logx2C、y=D、y=1+lg(x+2)标准答案：D知识点解析：y=10x－1－2，解出x=lg(y+2)+1，所求即y=1+lg(x+2)．29、已知x→0时，与cosx－1是等价无穷小，则常数a=()A、B、C、3D、－3标准答案：B知识点解析：30、函数y=的导数与下列函数的导数相同的是()A、atctanex+1B、arctanex－1C、arctan(ex+1)D、arctanex+1标准答案：D知识点解析：y=由此结果，可以看出D的导数也是这样．31、设a，b均为非零向量，且a⊥b，则必有()A、｜a+b｜=｜a｜+｜b｜B、｜a－b｜=｜a｜－｜b｜C、｜a+b｜=｜a－b｜D、a+b=a－b标准答案：C知识点解析：由a⊥b，可知以a，b为邻边可构成一个长方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知｜a+b｜=｜a－b｜．32、平面x+2y－x－6=0与直线的位置关系是()A、平行B、垂直C、即不平行也不垂直D、直线在平面内标准答案：D知识点解析：直线的方向向量s=｛2，－1，0｝，平面的法向量n=｛1，2，－1｝，因n.s=0可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0，－4)，可验证它在平面上，故直线在平面内．33、函数f(x)=在x=1处的泰勒级数展开式中项(x－1)3的系数是()A、B、C、1D、－1标准答案：D知识点解析：f(x)=在x=1处泰勒展开式为四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)34、求极限标准答案：注：该题首先将分子有理化，有助于用洛必达法则求极限，否则直接应用洛必达法则会十分复杂．知识点解析：暂无解析35、设函数y=y(x)由方程y=确定，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析36、求不定积分∫ex.ln(1+ex)dx．标准答案：利用分部积分法积分原式=∫ln(1+ex)d(ex+1)=(1+ex).ln(1+ex)－=(1+ex).ln(1+ex)－x+C．知识点解析：暂无解析37、计算定积分标准答案：方法一：凑微分法方法二：第二换元法知识点解析：暂无解析38、设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f(u，v)可微，求标准答案：因z=f(exsiny，x2+y2)，f(u，v)可微；所以，=f’1(exsiny，x2+y2).exsiny+f’2(exsiny，x2+y2).2x=exsiny.f’1(exsiny，x2+y2)+2x.f’2(exsiny，x2+y2)同理，=(excosf’1(exsiny，x2+y2)+2yf’2(exsiny，x2+y2)．知识点解析：暂无解析39、计算，其中D是第一象限中由直线y=x和y=x3围成的封闭区域．标准答案：积分区域如图：因二重积分的被积函数f(x，y)=，它适宜于“先对y积分，后对x积分”，故。可用不等式表示为：知识点解析：暂无解析40、将函数f(x)=lnx展开成(x－2)的幂级数，并指出收敛区间．标准答案：f(x)=lnx=ln[2+(x－2)]=知识点解析：暂无解析41、求解微分方程2xy’=y+2x2满足y｜x=1=1的特解．标准答案：因原方程可化为y’=+x，此为一阶线性微分方程．P(x)=，Q(x)=x．由通解公式可得通解为：将初始条件y｜x=1=1代入通解中，得C=，故所求特解为：知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、向宽为以米的河修建一宽为b米的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?标准答案：如图可知船的最大长度不能超过BC的最小长度．设BC长度为l，则l=acscθ+bsecθ，l’=(btan3θ-a)令l’=0．由θ不可能为π／2或0，所求船长为l=acscθ+bsecθ其中θ=arctan知识点解析：暂无解析2、求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕Ox轴旋转所得旋转体体积．标准答案：显然曲线y2=(x-1)3关于x轴对称，则它和直线x=2围成图形也关于x轴对称，又曲线和x轴交点为(1，0)因此V=π∫12y2dx=π∫12(x-1)3dx=π／4(立方单位)．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：方程ln(1+x2)=x-1有且仅有一个实根．标准答案：由方程：ln(1+x2)=x-1知，变量的取值范围为：x＞1．令f(x)=ln(1+x2)-x+1，于是f’(x)=＜0，故f(x)为严格递减函数．又=-∞，从而由函数f(x)单调性知，y=f(x)与x轴仅有一个交点，即方程有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、函数y=lnx+arcsinx的定义域为()A、(0，+∞)B、(0，1]C、[-1，1]D、[-1，0)标准答案：B知识点解析：要使函数有意义，须，求解得：0＜x≤1．选B5、函数f(x)=x是()A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶D、可能是奇函数也可能是偶函数标准答案：A知识点解析：因f(-x)=-x=f(x)．6、极限=()A、2／3B、3／2C、0D、∞标准答案：B知识点解析：用等价无穷小代换简单些，7、已知=6，则a，b取值为()A、a=-2，b=-3B、a=0，b=-9C、a=-4，b=3D、a=-1，b=-6标准答案：B知识点解析：因为当x→3时，分母→0必有分子→0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端=(2x+a)=6+a=6，所以a=0，这时b=-9．8、要使函数f(x)(n为自然数)在x=0处的导函数连续，则n=()A、0B、1C、2D、n≥3标准答案：D知识点解析：A错，因函数在x=0处不连续；B错，虽然函数在x=0处连续，但不可导；C也错，函数在x=0处可导，进而函数在(-∞，+∞)上均可导，但导函数在x=0处不连续，下面证明所以当x→0时，f’(x)不存在，所以f’(x)在x=0处不连续；仅D正确，当n≥3时，f’(x)=当x≠0时，f’(x)=nxn-1sin，此时有f’(x)→f’(0)=0x→0所以导函数f’(x)在x=0处连续．9、曲线y=的渐近线有()A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：当x→0时，y→∞，所以x=0为垂直渐近线，当x→∞时，y→π／4，所以y=π／4为水平渐近线，当x→1或x→-22时，y∞，所以在x=1，x=2处无渐近线．10、函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点个数是()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因f(x)=(x-2)(x-1)|x||x+1||x-1|，可知函数在x=0，x=-1处不可导，而在x=1处函数可导，原因是函数g(x)=(x-1)|x-1|在x=1处左、右导数存在且相等，即g’(1)=0．11、函数f(x)在[a，b]上连续是积分∫abf(x)dx存在的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分又不必要标准答案：A知识点解析：连续为条件，积分存在为结论，显然由|f(x)dx存在连续，肯定不是必要条件，但成立，所以连续为可积的充分条件，不是必要条件．12、若f(x)=∫0xsin(t-x)dt，则必有()A、f(x)=-sinxB、f(x)=-1+cosxC、f(x)=sinxD、f(x)=1-sinx标准答案：A知识点解析：令t-x=u，dt=du，t=0，u=-x，t=x，u=0所以f(x)=[-∫0-xsinudu]=-sin(-x)．(-1)=-sinx．13、已知f’(x)连续，且f(0)=0，设φ(x)=则φ’(0)=()A、f’(0)B、f’(0)C、1D、1／3标准答案：B知识点解析：为求φ’(0)，先判断φ(x)在x=0处连续，考虑=f(0)=0=φ(0)，所以φ(x)在x=0处连续，而14、已知向量a、b的夹角为π／4，且|a|=1，|b|=则|a+b|=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a．b=12+15、曲面x2+y2=1+2x2表示()A、旋转单叶双曲面B、旋转双叶双曲面C、圆锥面D、椭球面标准答案：A知识点解析：该曲面可看做由双曲线绕x轴旋转而成．16、极限=()A、e-1B、eC、1D、0标准答案：A知识点解析：17、设z=f(x，y)可微，且当y=x2时，f(x，y)=1及=x，则当y=x2(x≠0)时()A、1／2B、-C、0D、1标准答案：B知识点解析：18、利用变量替换u=x，v=y／x，一定可把方程x=z化成()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：19、曲面xy+yz+zx=1在点P(1，-2，-3)处的切平面方程为()A、5x+2y+z+2=0B、5x-2y+z+2=0C、5x+2y-z+2=0D、5x+2y-z-4=0标准答案：A知识点解析：令F(x，y，z)=xy+yz+zx-1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={y+z，x+z，y+x}于是点P(1，-2，-3)处的切平面的法向量为：n1={-5，-2，-1}故切平面方程为：-5(x-1)-2(y+2)-(z+3)=0即5x+2y+z+2=0．20、设D由y2=x，y=x围成，则xydxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域D，应先积x，否则，会出现根号21、设D由x≥0，y≥0及x2+y2≤1所围成，则xy2dxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：用极坐标22、L为y=x3，y=x所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则∫Lf(x，y)ds=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为I=∫L=+∫AO=+∫OA当沿y=x3从O到A时，y’=3x2这时ds=dx当沿y=x从O到A时，y’=1，这时ds=dx所以∫Lf(x，y)dx=∫01f(x，x3)23、L是沿y=1-|1-x|从点O(0，0)到点B(2，0)的折线段，则曲线积分∫L(x2+y2)dx-(x2-y2)dy=()A、5／3B、2／3C、4／3D、1标准答案：C知识点解析：∫L=∫OA+∫AB=∫012x2dx+∫12[(x2+(2-x)2-(x2-(2-x)2]dx=24、A、收敛于0B、收敛于C、发散D、敛散性无法确定标准答案：B知识点解析：25、已知幂级数在点x=2处收敛，则实数“的取值范围为()A、1＜a≤3B、1≤a＜3C、1＜a＜3D、1≤a≤3标准答案：A知识点解析：由幂级数的系数可得其收敛半径为1，所以其收敛域为[a-1，a+1]，因为2∈[a-1，a+1)，即a-1≤2，2＜a+1，所以1＜a≤3．26、已知anx2n的收敛域是()A、[-1，3]B、[-2，2]C、D、[-4，4]标准答案：C知识点解析：由已知条件知，幂级数的收敛半径为2，且在端点处收敛，所以级数antn收敛域为[-2，23，即-2≤t≤2，令t=x2，则-27、设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf(t／2)dt+ln2，则f(x)=()A、exln2B、e2xln2C、ex+ln2D、e2x+ln2标准答案：B知识点解析：f’(x)=f(x)．2，即y’=2y，所以y=Ce2x，当x=0时，y=ln2，所以C=ln2，所以f(x)=e2xln2．28、微分方程y"+y’=2x2ex的特解应设为y*=()A、(Ax2+Bx+C)exB、(Ax3+Bx2+Cx)exC、(Ax2+Bx+C)e-xD、(Ax3+Bx2+Cx)e-x标准答案：B知识点解析：因为与方程对应的齐次方程y"+y’=0的通解为Y=C1+C2e-x，由于齐次方程中不含有ex，且原方程缺函数y，于是特解应设为：y*=(Ax2+Bx+C)．x．ex．29、求极限=()A、1B、0C、1／2D、2标准答案：C知识点解析：(其中当x→1时，lnx～x-1)．30、若un满足()A、收敛B、发散C、敛散性不确定D、收敛于0标准答案：A知识点解析：31、微分方程y"+xy’=1的通解为()A、y=-x+C1ln|x|B、y=x+C1ln|x|+C2C、y=x+C2D、y=C1ln|x|+C2标准答案：B知识点解析：微分方程变形(xy’)’=1，所以xy’=x+C，即y’=1+，所以通解为y=x+C1ln|x|+C2．32、函数f(x)在点x=1处可导，且，则f’(1)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∴f’(1)=1／4．33、函数f(x)是连续函数，则∫-aax2[f(x)-f(-x)]dx=()A、1B、2C、-1D、0标准答案：D知识点解析：被积函数x2[f(x)-f(-x)]是奇函数，故∫-aax2[f(x)-f(-x)3dx=0．四、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)34、设f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1，则f(x)=_______．标准答案：知识点解析：35、极限=8，则a=_______，b=_______．标准答案：-1；-4知识点解析：联立①，②得a=-1，b=-4．36、曲线y=1／x上的切线斜率等于-的点的坐标为_______．标准答案：知识点解析：设切点坐标37、设y=则dy|x=2=_______．标准答案：知识点解析：该题若直接求较麻烦，可先利用对数性质展开．38、函数y=2x3-9x2+12x-3在区间(3，10)上为单调递_______．标准答案：增知识点解析：y=2x3-9x2+12x-3，y’=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)驻点x=1；x=2．x＜1，y’＞0；1＜x＜2，y’＜0；x＞2，y’＞0．故在区间(3，10)上曲线单调递增．39、曲线y=4-的拐点为_______．标准答案：(1，4)知识点解析：y=4-，x＞1，y"＞0；x＜1，y"＜0，所以曲线拐点为(1，4)．40、曲面z-ez4-2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．标准答案：2x+y-4=0知识点解析：令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={2y，2x，1-ez}于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1={4，2，0}，故所求切平面方程为：4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0即2x+y-4=0．41、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，则∫xf’(x)dx=_______．标准答案：x(cosxlnx+)-(1+sinx)lnx+C知识点解析：由于∫xf’(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx，又(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，因为f(x)=[(1+3sinx)lnx]’=coslnx+则∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C．故∫xf’(x)dx=(x)dxxlnx+)-(1+sinx)lnx+C．42、函数y=∫0x(t-1)(t+1)2dt的极值点是_______．标准答案：x=1知识点解析：y’=(x-1)(x+1)2，令y’=0．得x=0，x=1，x=-1．由于y的定义域为[0，+∞)，因此，有唯一驻点x=1，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0．所以x=1为极小值点．43、不定积分∫标准答案：ln|lnsinx|+C知识点解析：44、已知点A(0，0，0)，B(1，0，-1)，C(0，1，2)则△ABC中BC边上的高为_______．标准答案：知识点解析：45、设z=z(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所确定，则dz=_______．标准答案：知识点解析：F=z-y-x+xez-y-xFx=-1+ez-y-x-xez-y-x，Fy=-1-xez-y-x，Fz=1+xez-y-x因此，dz=(1-)dx+dy．本题也可方程两端取微分来做．46、设区域D由x=2，y=dxdy=_______．标准答案：知识点解析：47、将函数y=展开为(x-5)的幂级数是_______．标准答案：)(n-5)2(2＜x＜7)知识点解析：48、微分方程y"+y=xcos2x的特解应设为y*=_______．标准答案：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x知识点解析：微分方程y"+y=xcos2x所对应的齐次方程为y"+y=0．特征方程为r2+1=0．特征根为r=±i，齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx．对于y"+y=x，由于方程含y．所以特解可设ax+b对于y"+y=cos2x考虑到齐次方程通解，所以特解可设ccos2x+dsin2x故原方程特解可设为y*=(ax+b)(ccos2x+dsin2x)即y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)49、标准答案：知识点解析：暂无解析50、函数y=y(x)由方程arctan确定，求y’．标准答案：方程两端y对x求导有即xy’-y=x+yy’，所以y’=知识点解析：暂无解析51、计算广义积分∫0+∞dx．标准答案：令=t，x=t2，dx=2tdt，x=0，t=0；x→+∞，t→+∞所以∫0+∞dx=2∫0+∞te-tdt=-2∫0+∞tde-t=-2te-t|0+∞+2∫0+∞e-tdt=-2e-t|0+∞=2．知识点解析：暂无解析52、求函数z=exy．sin(x+y)的全微分．标准答案：因z=exysin(x+y)，于是dz=d[exysin(x+y)]=d(exy)．sin(x+y)+exyd[sin(x+y)]=exy．(ydx+xdy)．sin(x+y)+exy．cos(x+y)(dx+dy)=exy{[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+[xsin(x+y)+cos(X+y)]dy}(注：或先求偏导，再求全微分)．知识点解析：暂无解析53、计算dxdy，其中区域D由直线y=0，y=x及x=1围成．标准答案：积分区域如图所示由被积表达式知，该题必须先积y，于是：知识点解析：暂无解析54、求∮Cds，其中C为圆x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限所围扇形边界线．标准答案：积分路径C如图所示∮C=∫OA++∫BO知识点解析：暂无解析55、将函数f(x)=展开成关于x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析56、求微分方程y’+=0满足条件y|x=0=1的特解．标准答案：变量分离dy+exdx=0知识点解析：暂无解析湖北省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线xy=a(a＞0)及直线x=a，x=2a，y=0所围图形的面积，该图形分别绕x轴，y轴旋转一周所生成的立体体积．标准答案：先作图，当x=a时，y=1；x=2a，y=1／2，由曲线及直线所围图形的面积为：S=∫a2adx=alnx|a2a=aln2(平方单位)．该图形绕x轴旋转所成的体积为：该图形绕y轴旋转所成的体积为：知识点解析：暂无解析2、已知3f(x)-f(1／x)=1／x，求f(x)的极值．标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．标准答案：令f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，f(1)=0f’(x)=2lnx-x-+2，f’(1)=0f"(x)=2lnx++1，f"(1)=2＞0当0＜x＜1时，f"’(x)＜0．f"(x)↘，f"(x)＞f"(1)=2＞0得f’(x)，f’(x)＜f’(1)=0，f(x)↘于是f(x)＞f(1)=0，即(x2-1)lnx＞(x-1)2当1＜x＜+∞时，f"’(x)＞0，f"(x)，f"(x)＞f"(1)=2＞0得f’(x)，f’(x)＞f’(1)=0，f(x)于是f(x)＞f(1)=0，即(x2-1)lnx＞(x-1)2当x=1时，(x2-1)lnx=(x-1)2综上所述，当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)4、函数f(x)的定义域为()A、(-∞，3)B、(1，+∞)C、(3，+∞)D、(1，3)标准答案：D知识点解析：要使函数有意义，须，求解得：1＜x＜3．5、设极限=e2，则m=()A、-1／2B、-2C、2D、1／2标准答案：B知识点解析：因=e-m，于是e-m=e2，故m=-2．6、函数f(x)=的间断点情况应为()A、不存在间断点B、仅存在间断点x=1C、仅存在间断点x=-1D、有两个间断点x=±1标准答案：B知识点解析：当|x|＜1时，f(x)==1+x；当|x|＞1时，f(x)=0；而x=-1，f(x)=0；x=1，f(x)=1，由此可以判断x=1为第一类不可去间断点．7、极限=()A、∞B、0C、2D、不存在标准答案：C知识点解析：(x+1)=2．选C8、下列说法正确的是()A、无穷小的和为无穷小B、无穷小的商为无穷小C、两个无穷大的差为无穷小D、无限个无穷大的积为无穷大标准答案：D知识点解析：无限多个(或有限多个)无穷大量的乘积仍是无穷大量．9、下列各组概念中正确的是()A、若函数f(x)在点x0处间断，则f(x)不存在B、若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上连续C、若函数f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0点可导D、若函数f(x)在[a，b]上可导，则f(x)在[a，b]上一定可积标准答案：D知识点解析：若f(x)在[a，b]上可导，则f(x)在[a，b]上一定连续，连续函数都是可积的．10、若点(x0，f(x0))为函数f(x)的拐点，则()A、f"(x0)=0B、f"(x0)不存在C、f"(x0)=0或f"(x0)不存在D、以上说法都不对标准答案：C知识点解析：f"(x0)=0或f"(x0)不存在是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处取得拐点的必要不充分条件．11、函数f(x)=2x3+3x2-12x+1在(-2，1)上是()A、增函数B、减函数C、有增有减D、常数标准答案：B知识点解析：f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)，所以当-2＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)在(-2，1)上为减函数．12、设函数y=y(x)由参数方程确定，则dy／dx=()A、1／2tB、2tC、1D、t标准答案：A知识点解析：13、不定积分∫dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：14、若f’(x+1)=2x+1，则f(x)=()A、x2-3xB、x2-xC、x2-3x+CD、x2-x+C标准答案：D知识点解析：f’(x+1)=2x+1=2(x+1)-1，所以f’(x)=2x-1，所以，f(x)=x2-x+C15、下列各式正确的为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：广义积分∫1+∞dx当p＞1时收敛，p≤1时发散．16、下列各组函数中，f(x)=g(x)的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∫axsintdt=sinx．17、方程x2-y2+z2=1表示()A、单叶旋转双曲面B、双叶旋转双曲面C、双曲柱面D、锥面标准答案：A知识点解析：其可以看做xOy平面内双曲线x2-y2=a2绕y轴旋转而成．绕虚轴旋转为单叶旋转双曲面，绕实轴旋转为双叶旋转双曲面．18、曲线上任意一点处的切线()A、与x轴成定角B、与y轴成定角C、与z轴成定角D、以上说法全不对标准答案：C知识点解析：因所以曲线上任一点切线的方向向量为s={x’(t)，y’(t)，z’(t)}而|s|=aea所以切线与z成定角．19、二元函数f(x，y)=在点(0，0)处()A、连续，偏导存在B、连续，偏导不存在C、不连续，偏导存在D、不连续，编导不存在标准答案：C知识点解析：因不存在(若沿x轴→(0，0)时，极限为0，若沿直线y=x→(0，0)时，极限为1／2，所以在(0，0)点函数无极限)．所以函数在(0，0)点不连续．而=0偏导在(0，0)点存在．20、交换积分顺序I=∫04dxf(x，y)dy后，I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分区域D为如图所示：21、下列各式中，表示区域D为x2+y2≤4的面积的是()A、(x2+y2)dxdyB、4dxdyC、1／2∮cxdy-ydx，其中曲线C为沿x2+y2=4正向一周D、∫02πdθ∫04rdr标准答案：C知识点解析：利用公式，区域D的面积为S=1／2∫Cxdy-ydx，其中C为区域D的边界线正向．22、设P(x，y)，Q(x，y)是连续函数，L从点A(0，1)经点B(1，1)到点C(1，2)的折线段，则曲线积分∫L(P(x，y)+Q(x，y))ds=()A、∫01P(x，1)dx+∫12Q(1，y)dyB、∫01P(1，y)dy+∫12Q(x，1)dxC、∫12P(1，y)dx+∫01Q(x，1)dyD、∫01[P(x，1)+Q(x，1)]dx+∫12[P(1，y)+Q(1，y)]dy标准答案：D知识点解析：∫L=∫AB+∫BC=∫01[P(x，1)+Q(x，1)dx]+∫12[P(1，y)+Q(1，y)]dy．23、设C为直线段x=x0，0≤y≤3／2，∫C4dy=()A、4x0B、4C、6x0D、6标准答案：D知识点解析：∫C4dy=4dy=6．24、下列各选项正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因|unvn|≤1／2(un2+vn2)，由题所组条件知级数(unvn)绝对收敛，所以(un2+2unvn+vn2)收敛，即(un+vn)2收敛．25、下列数项级数中，不收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：26、幂级数anxn的收敛半径为R，如果幂级数在x0处收敛，则必有()A、R≥x0B、R≤x0C、R≥|x0|D、R≤|x0|标准答案：C知识点解析：因幂级数在x0处收敛，则x0必位于收敛域内部，即有|x0|≤R．27、已知函数y满足微分方程xy’=yln，且x=1时，y=e2，则当x=-1时，y=()A、-1B、-2C、1D、e-1标准答案：A知识点解析：y’==u，y=xu，所以y’=u+x则两边积分得ln|lnu-1|=ln|x|+lnC，lnu=1+Cx，当x=1，y=e2时C=1，所以特解为ln=1+x；当x=-1时，y=-1．28、微分方程y"-6y’+9y=x2e3x的特解应设为()A、y*=ax2e3x