广东专插本（高等数学）模拟试卷6（共180题）

广东专插本（高等数学）模拟试卷6（共9套）（共180题）广东专插本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、曲线y＝χ2与直线y＝aχ(0＜a＜1)及χ＝1围成两个平面图形，求当a为何值时，两个平面图形绕χ轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小．标准答案：由χ2＝aχ得曲线y＝χ2与直线y＝aχ的交点横坐标χ1＝0，χ2＝a，所以则V′(a)＝＝0，得a＝，且V〞()＝2π＞0，所以，当a＝时，V1＋V2最小．知识点解析：暂无解析2、证明方程lnχ＝在区间(e，e3)内仅有一个实根．标准答案：令f(χ)＝lnχ－，显然f(χ)在[e，e3]上连续，f(e)＝＞0，f(e3)＝lne3－＝3－e2＋2＜6－e2＜0，由零点定理得，在(e，e3)内至少存在一个根ξ，使得f(ξ)＝0．又f′(χ)＝，在(e，e3)内f′(χ)＜0，所以f(χ)在(e,e3)内单调减少．综上所述，方程lnχ＝在区间(e，e3)内仅有一个实根．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设函数f(χ)＝在χ＝1处间断是因为()A、f(χ)在χ＝1处无定义B、f(χ)不存在C、f(χ)不存在D、f(χ)不存在标准答案：D知识点解析：(χ－1)＝0≠(2－χ)＝1，故f(χ)不存在，本题选D．4、曲线y＝χ4－24χ2＋6χ的凸区间为()A、(－2，2)B、(－∞，0)C、(0，＋∞)D、(－∞，＋∞)标准答案：A知识点解析：y′＝4χ3－48χ＋6，y〞＝12χ2－48，令y〞＜0，则－2＜χ＜2，故应选A．5、若f(χ)的一个原函数为e-χ，则[∫f(2χ)dχ]′＝()A、e-χB、e-2χC、－e-2χD、e-2χ标准答案：C知识点解析：∫f(χ)dχ＝e－χ＋C，[∫(2χ)dχ]′＝[∫f(2χ)d(2χ)]′＝(e-2χ＋C)′＝e-2χ(－2)＝－e－2χ，故应选C．6、下列函数中，在[－1，1]上满足罗尔定理条件的是()A、y＝ln(1－χ2)B、y＝｜χ｜C、y＝D、y＝标准答案：C知识点解析：该题只需按定理的条件逐一验证．A项，因[－1，1]内包含χ＝±1该点处ln(1－χ2)无定义，从而函数在闭区间[－1，1]上不连续，不满足定理的第一个条件，不合要求；B项，在[－1，1]上处处连续是满足的，但是函数在χ＝0处不可导，从而函数在(－1，1)内不是处处剪导的，不满足定理的第二个条件，不合要求；C项，f(χ)＝在(－1，1)内处处可导，处处连续，且f(－1)＝f(1)，故该函数在区间[－1，1]上满足定理的各个条件，符合要求，故应选该选项；D项，显然f(－1)、f(1)不等，所以不满足定理的第三个条件，不合要求．7、下列级数中发散的是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：＝1，则级数发散，故应选C．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、已知f′(3)＝2，＝_______．标准答案：－1知识点解析：9、函数y＝的水平渐近线是_______．标准答案：y＝0知识点解析：＝0，故函数的水平渐近线为y＝0．10、设f(χ)＝e2χ，则不定积分，∫f()dχ_______．标准答案：eχ＋C知识点解析：＝eχ，故∫f()dχ＝∫eχdχ＝eχ＋C．11、设u＝eχy(χ＋y)，则＝_______，＝_______．标准答案：eχy(χy＋y2＋1)，eχy(χ2＋χy＋1)知识点解析：令s＝eχy，t＝χ＋y，则＝t.eχy.y＋s.1＝(χ＋y)yχy＋eχy＝eχy(χy＋y2＋1)，＝t.eχy.χ＋s.1＝(χ＋y)χeχy＋eχy＝eχy(1＋χ2＋χy)．12、y′＋y2＝0的通解为_______．标准答案：y＝或y＝0知识点解析：y′＝－y-2，当y≠0时，分离变量有－＝dχ，两边积分得＝∫dχ，即χ＋C，故通解为y＝，其中C为任意常数，当y＝0时，也是方程的根．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、设f(χ)＝在χ＝处连续，试求常数a，b．标准答案：由f(χ)在χ＝0处连续，则＝f(0)，即知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、设y＝f(χ)是由方程eχy＋ylnχ＝sin2χ确定的隐函数，求．标准答案：两边同时对χ求导，得eχy(y＋χy′)＋＋y′lnχ＝2cos2χ，则y′＝知识点解析：暂无解析16、计算不定积分I＝．标准答案：知识点解析：暂无解析17、平面图形由抛物线y2＝2χ与该曲线在点(，1)处的法线围成．试求：(1)该平面图形的面积；(2)该平面图形绕χ轴旋转一周形成的旋转体体积．标准答案：(1)因曲线y＝2χ在点(，1)处的导数为＝1，所以在点(，1)处的曲线的法线方程为y－1＝－(χ－)，即y＝－χ，于是，曲线y2＝2χ与法线y＝－χ围成的平面图形如图所示：求解方程组，得交点故所求面积为A＝；(2)所求旋转体的体积为Vχ＝知识点解析：暂无解析18、计算二次积分标准答案：应交换积分次序，知识点解析：暂无解析19、求微分方程(ysinχ－sinχ－1)dχ＋cosχdy＝0的通解．标准答案：方程可化为＋ytanχ＝secχ＋tanχ，这是一阶线性微分方程，利用通解公式可得知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：＝1，又收敛，故级数收敛．知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、已知曲线y＝a(a＞0)与曲线y＝ln在点(χ0，y0)处有公切线，试求：(1)常数a和切点(χ0，y0)；(2)两曲线与χ轴围成的平面图形的面积S．标准答案：(1)由已知条件知求解，得a＝，切点为(e2，1)；(2)两曲线与χ轴围成的平面图形如图所示，于是所求的面积为：知识点解析：暂无解析2、已知f(χ)＝χ5－3χ－1，求：(1)函数f(χ)的凹凸区间；(2)证明方程f(χ)＝0在(1，2)内至少有一个实根．标准答案：(1)f(χ)＝5χ4－3，f〞(χ)＝20χ3，令f〞(χ)＝0，得χ＝0，当χ＞0时，f〞(χ)＞0；当χ＜0时，f〞(χ)＜0．故f(χ)在凹区间为(0，＋∞)，凸区间为(－∞，0)．(2)f(χ)＝χ5－3χ－1，知f(χ)在[1，2]上连续．又f(1)＝－3＜0，f(2)＝25＞0，即f(1).f(2)＜0，由零点存在定理知，f(z)在(1，2)内至少有一点ξ，使f(ξ)＝0，即f(χ)＝0在(1，2)内至少有一实根．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设函数f(χ)＝，则f(χ)在()A、χ＝0，χ＝1处都间断B、χ＝0，χ＝1处都连续C、χ＝0处间断，χ＝1处连续D、χ＝0处连续，χ＝1处间断标准答案：C知识点解析：因为在χ＝0处，＝0，所以，因此f(χ)在χ＝0处间断．在χ＝1处，，所以＝f(1)，因此，在χ＝1处连续．故应选C．4、曲线f(χ)＝的水平渐近线为()A、y＝B、y＝－C、y＝D、y＝－标准答案：C知识点解析：，则y＝为曲线f(χ)的一条水平渐近线，故应选C．5、＝()A、0B、∞C、D、标准答案：D知识点解析：．故应选D．6、设y＝4χ－(χ＞0)，其反函数χ＝φ(y)在y＝0处导数是()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：y′＝4＋，y＝0，得χ＝或χ＝－(舍)，y′()＝8．χ＝φ(y)在y＝0处的导数为，故本题选A．7、下列级数中，收敛的级数是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：＜1，级数收敛，故应选D．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：－1知识点解析：f(χ)在χ＝0处连续，则＝f(0)，即＝1＋2a＝a，a＝－1．9、y＝χlnχ在点χ＝1处的切线方程是_______．标准答案：χ－y－1＝0知识点解析：切线斜率y′｜χ＝1＝(lnχ＋1)｜χ＝1＝1，即切线方程为y＝χ－1．10、｜sinx｜dχ＝_______．标准答案：2知识点解析：11、已知y1＝eχ，y1＝χeχ为微分方程y〞＋Py′＋qy＝0的解，则P＝_______，q＝_______．标准答案：－2，1知识点解析：将方程的解代入方程eχ＋peχ＋qeχ＝0，即1＋P＋q＝0，①又y′2＝eχ＋2eχ，y〞＝2eχ＋χeχ，即(2＋p)eχ＋(1＋p＋q)χeχ＝0，②由①②联立解得p＝－2，q＝1．12、若函数f(χ)＝aχ＋bχ在χ＝1处取得极值2，则a＝_______，b＝_______．标准答案：－2，4知识点解析：由f(χ)在χ＝1处取得极值2知四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、问a为何值时，函数f(χ)＝在点χ＝0处连续．标准答案：f(χ)在χ＝0处连续，所以f(χ)＝f(0)＝a，＝e，所以以a＝e．知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：∵当χ→0时，(eχ－1)是无穷小量，｜cos｜≤1，∴原式＝知识点解析：暂无解析15、已知函数y＝，求y(n)．标准答案：y＝，y′＝[(－1)(χ＋1)-2－(－1)(χ＋3)-2]，y〞＝(－1)[(－2)(χ＋1)-3－(－2)(χ＋3)-3]＝(－1)(－2)[(χ＋1)-3－(χ＋3)-3]，y″′＝(－1)(－2)[(－3)(χ＋1)-4－(－3)(χ＋3)-4]＝(－1)(－2)(－3)[(χ＋1)-4－(χ＋3)-4]，故y(n)＝(－1)nn!(χ＋1)－(n+1)－(χ＋3)-(n+1)]．知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：被积函数中含有，令，eχ＝t2－1，dχ＝dt．知识点解析：暂无解析17、设函数f(χ)＝求∫13f(χ－2)dχ．标准答案：令χ－2＝t，则∫13f(χ－2)dχ＝∫-1*f(t)dt＝∫-10f(t)dt＋f01(t)dt＝∫-10(1＋t2)dt＋∫01e-tdt＝知识点解析：暂无解析18、计算二重积分I＝(χ2＋y2＋3y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2，χ≥0}．标准答案：由对称性知3ydχdy＝0，区域D可用极坐标表示为所以知识点解析：暂无解析19、求微分方程y″′＝χ＋1满足y(0)＝2，y′(0)＝0，y〞(0)＝1的特解．标准答案：该题属于yn＝f(χ)型的微分方程，可通过连续积分求得通解．对y〞＝χ＋1两边积分，得y〞＝χ2＋χ＋C1，将初始条件y〞(0)＝1代日，得C1＝1，即y〞＝χ2＋χ＋1．两边再积分，得y′＝＋χ＋C2，将y′(0)＝0代入，得C2＝0，即y′＝＋χ．两边再积分，得y＝＋C3，将y(0)＝2代日，得C3＝2．故所求特解为y＝知识点解析：暂无解析20、判断级数(a＞0)的敛散性．标准答案：级数为任意项级数，因用比值法判别的缈性．故收敛，由比较判别法知原级数为绝对收敛．知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设χ＝±1是f(χ)的两个极值点，且f(－1)＝2，又知f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，求函数f(χ)．标准答案：由f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，积分得∫f′(χ)dχ＝∫(3χ2＋aχ＋b)dχ＝χ3＋χ2＋bχ＋C＝f(χ)，χ＝±1是f(χ)的极值点，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝0，b＝－3，故f(χ)＝χ3－3χ＋C，又有f(－1)＝2，代入得C＝0，所以f(χ)＝χ3－3χ．知识点解析：暂无解析2、设F(χ)＝S表示夹在χ轴与曲线y＝F(χ)之间的面积，对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤χ≤t，0≤y≤F(t)的面积，求：(1)S(t)＝S－S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值．标准答案：(1)画出F(χ)和S1(t)的图形(如图)．则S＝2∫0＋∞edχ＝－e-2χ｜0＋∞＝1，S1(t)＝2te-2t，因此S(t)＝S－S1(t)＝1－2te-2t，t∈(0，＋∞)．(2)今S′(t)＝－2(1－2t)e-2t＝0．得唯一驻点t＝．又＞0，所以为极小值，即最小值．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是()A、f(χ)＝tanχ，g(χ)＝B、f(χ)＝lnχ3，g(χ)＝3lnχC、f(χ)＝，g(χ)＝χD、f(χ)＝ln(χ2－1)，g(χ)＝ln(χ－1)＋ln(χ＋1)标准答案：B知识点解析：A、D选项中，两函数的定义域不同；C选项中，当χ＞0时，f(χ)≠g(χ)；B选项中，f(χ)＝lnχ3＝3lnχ＝g(χ)，定义域均为χ＞0，故本题选B．4、当χ→0时，χ3＋sinχ是χ的()A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶但不等价无穷D、低阶无旁小标准答案：B知识点解析：＝1，故χ3＋sinχ是χ的等价无穷小．5、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则曲线y＝f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线()A、仅有一条B、至少有一条C、有两条D、不存在标准答案：B知识点解析：f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则f(χ)满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0，则f(χ)在(a，b)内至少有一条平行于χ轴的切线，故选B．6、定积分dχ＝()A、0B、2C、D、π标准答案：C知识点解析：考察定积分在对称区间上积分的性质．7、级数(c≠0，b≠0)收敛的条件是()A、a＜bB、｜a｜＞｜b｜C、｜a｜＜｜c｜D、｜a｜＜｜b｜标准答案：D知识点解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当＜1时，级数收敛，即｜a｜＜｜b｜，故选D．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、已知χ→0时，无穷小1－cosχ与asin2χ等价，则a＝_______．标准答案：知识点解析：当χ→0时，(1－cosχ)～χ2，asin2χ～aχ2，由1－cosχ与asin2χ等价知＝1，于是a＝．9、函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则_______．标准答案：知识点解析：10、＝_______．标准答案：知识点解析：11、设f(χ，y)＝，则f(1，)＝_______．标准答案：知识点解析：12、微分方程y〞－4y′＋13＝0的通解为_______．标准答案：y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)知识点解析：对应的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得r＝2±3i，故通解为y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)，其中C1，C2为任意常数．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、设f(χ)＝作f(χ)的图形，并讨论当χ→3时，f(χ)的左右极限及(χ)的存在性．标准答案：函数f(χ)的图形如图，从几何图形上可判断出：(1)＝3；(2)(2χ＋1)＝7；由(1)、(2)知，f(χ)不存在．知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、求曲线y＝的凹凸区间与拐点．标准答案：函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因为y′＝，y〞＝．所以y〞＝0，得χ＝e2．曲线的凸凹性列表讨论如下：所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e2，＋∞)，凹区间为(1，e2)；拐点为(e2，)．知识点解析：暂无解析16、求不定积分∫ln(χ＋)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析17、过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作切线，若过点A作的切线，与曲线y＝χ2及χ轴围成的图形面积为，求该图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V．标准答案：如图，设A点坐标(χ0，χ02)．由y′＝2χ，得切线方程为y－χ02＝2χ0(χ－χ0)或χ＝，由已知得：所以χ0＝1，A(1，1)，切线方程为2χ－y－1＝0，切线与χ轴交点为(，0)．于是知识点解析：暂无解析18、计算二重积dχdy，其中。是由直线χ＝2，y＝χ与双曲线χy＝1所围成的区域．标准答案：先沿y方向积分，区域D可表示成：则知识点解析：暂无解析19、求微分方程y〞＋2y′＋y＝0满足初始条件y(0)＝4和y′(0)＝－2的特解．标准答案：特征方程为r2＋2r＋1＝0，特征根为r1＝r2－1，因此所给方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－χ，求导，得y′＝(C2－C1－C2χ)e-χ．将初始条件代入上面两式，得解方程组，得C1＝4，C2＝2．于是所求特解为y＝(4＋2χ)e－χ．知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：因为un＝＝un(n＝1，2，…)，而等比级数是收敛的，由比较审敛法知级数也收敛．知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、给定曲线y＝，(1)求曲线在横坐标为χ0的点处的切线方程；(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．标准答案：(1)由y′＝－可知曲线y＝在横坐标为χ0的点处的切线方程为y－(χ－χ0)(2)由切线方程y－(χ－χ0)分别令χ＝0，y＝0可求得该切线在χ轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L2＝X2＋Y2＝令得驻点χ0＝±又显然＞0，由此可知，L2在χ0＝±处取得极小值，即最小值，知识点解析：暂无解析2、设f(χ)在区间[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：方程2χ－∫0χ(t)dt＝1在区间(0，1)内有且仅有一个实根．标准答案：令F(χ)＝2χ－∫0χf(t)dt－1，则F(χ)为[0，1]上连续函数，且F(0)＝－1＜0，F(1)＝2－∫01f(t)dt－1＝1－∫01f(t)dt，由于f(χ)＜1，则∫01f(t)dt＜1，故F(1)＞0由零点存在定理，F(χ)在(0，1)内有实根，又F′(χ)＝2－f(χ)＞1＞0，所以F(χ)在(0，1)上单调增加，因此方程2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设f(3χ)＝3χ，则f(χ)等于()A、33χB、C、D、3χ标准答案：B知识点解析：令3χ＝t，则χ＝，故f(χ)＝，本题选B．4、已知＝ln(χy)，则＝()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：对等式两边关于χ求导得即，故本题选C。5、设f(χ)在(0，＋∞)上连续，且f(t)dt＝χ，则f(2)＝()A、5B、3C、1D、标准答案：D知识点解析：方程两边同时对χ求导，f[χ2(1＋χ)].(2χ＋3χ2)＝1，令χ＝1，则f(2).5＝1，f(2)＝，故本题选D．6、下列级数发散的是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：发散，则发散．故本题选C．7、设f′(a)存在，则＝()A、f′(a)B、f(a)－af′(a)C、－af′(a)D、af′(a)标准答案：B知识点解析：＝f(a)－af′(a)．故本题选B．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、已知函数f(χ)＝则点χ＝1是f(χ)的_______间断点．标准答案：可去知识点解析：＝2，故χ≤1为f(χ)的可去间断点．9、已知函数f(χ)＝lnχ为可导函数，则f(χ)在点χ＝1．01处的近似值为_______．标准答案：0．01知识点解析：由f(χ0＋△χ)≈f(χ0)＋f′(χ0)△χ，故(1＋0．01)≈f(1)＋f′(1).0．01＝ln1＋.0．01＝0．01．10、定积分∫0πsindχ＝_______．标准答案：2知识点解析：＝－2(0－1)＝2．11、微分方程y′＝eχ－y的通解是_______．标准答案：ey＝eχ＋C知识点解析：，分离变量，得eydy＝eχdχ，两边积分，得ey＝eχ＋C，C为任意常数．12、设f′(χ3＋1)＝1＋2χ3，且f(0)＝－1，则f(χ)＝_______．标准答案：χ2－χ－1知识点解析：f′(χ3＋1)＝1＋2χ3＝2(χ3＋1)－1，故f′(χ)＝2χ－1，所以f(χ)＝χ2－χ＋C，又f(0)＝－1，即C＝－1，故f(χ)＝χ2－χ－1．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、求极限标准答案：＝－5π．知识点解析：暂无解析14、设函数y＝y(χ)由参数方程χ＝cost，y＝sint－tcost确定，求标准答案：所给问题为参数方程形式的函数求导问题．由于＝－sint，＝cost－cost＋tsint＝tsint．因此知识点解析：暂无解析15、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、曲线y＝χ3(χ≥0)，直线χ＋y＝2以及y轴围成一平面图形D，试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：平面图形D如图所示：知识点解析：暂无解析17、已知z＝，求全微分dz．标准答案：因为z＝，所以dz＝d(χ2＋χy－y2)＝(dχ2＋dχy－dy2)＝(2χdχ＋ydχ＋χdy－2ydy)＝[(2χ＋y)dχ＋(χ－2y)dy]．知识点解析：暂无解析18、求dχdy，其中D是由直线y＝χ，y＝1及y轴围成的区域．标准答案：积分区域D如图所示，由于被积函数f(χ，y)＝，因此该二重积分应化为“先对χ积分，后对y积分”的二次积分进行计算．又区域D可表示为：于是，知识点解析：暂无解析19、求微分方程3χ＋5χ－5yy′＝0的通解．标准答案：原方程变形为5y＝3χ2＋5χ，分离变量得：5ydy＝(3χ2＋5χ)dχ，积分得：y2＝χ3＋χ2＋C1，故通解为：y2－χ3－χ2＝C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：级数发散，则级数发散．知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过原点，当0≤χ≤1时，y≥0，又已知该抛物线与χ轴及χ＝1所围图形的面积为，试确定a，b，c，使此图形绕χ轴旋转一周形成旋转体的体积最小．标准答案：因为抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过原点，有c＝0，又0≤χ≤1时，y≥0，故该抛物线与χ轴及χ＝1所围图形的面积为∫01(aχ2＋bχ)dχ＝，于是2a＋3b＝2，该平面图形绕χ轴旋转一周形成的立体体积为要使V最小，令a＝－，此时b＝．于是a＝－，b＝，c＝0时，此图形绕χ轴旋转一周形成旋转体的体积最小．知识点解析：暂无解析2、设函数f(u)在(0，＋∞)内具有二阶导数，且z＝f()满足等式(1)验证f〞(u)＋＝0；(2)若f(1)＝0，f′(1)＝1，求函数f(u)的表达式．标准答案：(1)求二元复合函数z＝f()的二阶偏导数中必然包含f′(u)及f〞(u)．将的表达式分别代入等式＝0中，就能找出f′(u)与f〞(u)的关系式．(2)解可降价的二阶线性微分方程的通解和特解．在方程f〞(u)＋＝0中，令f′(u)＝g(u)，则f〞(u)＝g′(u)，方程变为g′(u)＋＝0，这是可分离变量微分方程，解得g(u)＝，即f′(u)＝，由初始条件f′(1)＝1C1＝1，所以f′(u)＝，两边积分得f(u)＝lnu＋C2，由初始条件f(1)＝0C2＝0，所以f(u)＝lnu．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设f(χ)＝∫01－cosχsint2dt，g(χ)＝，则当χ→0时，g(χ)是g(χ)的()A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但不等价无穷小标准答案：B知识点解析：4、设＝－1，则在χ＝a处()A、f(χ)的导数存在，且f′(a)≠0B、f(χ)取得极大值C、f(χ)取得极小值D、f(χ)的导数不存在标准答案：B知识点解析：由极限的保号性知，在χ＝a的去心邻域内有＜0，从而f(χ)＜f(a)，即f(χ)在χ＝a处取极大值．故选B．5、设f(χ)是连续函数，且∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，则下列各式正确的是()A、∫f(χ2)χdχ＝F(χ2)＋CB、∫(3χ＋2)dχ＝F(3χ＋2)＋CC、∫f(eχ)eχdχ＝F(eχ)＋CD、∫f(ln2χ)＝F(ln2χ)＋C标准答案：C知识点解析：∫f(eχ)eχdχ＝∫(eχ)d(eχ)＝(eχ)＋C．故选C．6、下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有()A、y＝sin2χ，[0，]B、y＝｜χ｜，[－1，1]C、y＝cos3χ，[0，π]D、y＝，[－2，2]标准答案：A知识点解析：B选项中，函数在χ＝0处不可导；C选项中，y(0)≠y(3π)；D选项中，函数在χ＝1处不可导；A选项中，函数在[0，]上连续，在(0，)可导，y(0)＝y()，符合罗尔定理条件，故本题选A．7、如果级数un收敛，则它的和是()A、u1＋u2＋…＋unB、C、D、以上都不是标准答案：C知识点解析：令Sn＝uk，若级数un收敛，则极限Sn存在，即级数uk的和uk存在，故应选C．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、曲线y＝－2的水平渐近线是_______，铅垂渐近线是_______．标准答案：y＝－2，χ＝0知识点解析：＝－2，则y＝－2是曲线的一条水平渐近线．＝∞，则χ＝0是曲线的一条铅垂渐近线．9、已知eχ＋y2＝1，则_______．标准答案：知识点解析：方程两边同时对χ求导eχ＋2y＝0，则．10、广义积分∫0＋∞dχ＝1，其中k为常数，则忌_______．标准答案：知识点解析：所给问题为计算广义积分的反问题，由于因此，应有＝1，故k＝．11、微分方程χy′－y＝0满足条件y｜χ＝1＝2的特解为_______．标准答案：y＝2χ知识点解析：χ－y＝0，即，解得y＝Cχ，又y｜χ＝1＝C＝2，即微分方程的特解为y＝2χ．12、设函数f(χ)在χ＝χ0处可微，且f′(χ0)≠0，则当｜△χ｜很小时，f(χ0＋△χ)≈_______．标准答案：f(χ0)＋f′(χ0)△χ知识点解析：当｜△χ｜很小时，有f′(χ0)≈知f(χ0＋△χ)≈f(χ0)＋△χf′(χ0)．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、设函数f(χ)＝当a为何值时，f(χ)连续?标准答案：由于f(χ)连续，则有a＝e，即a＝2e．知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、函数y＝y(χ)是由方程ey＋6χy＋χ2＝1所确定，求y〞(0)．标准答案：令F(χ，y)＝ey＋6χy＋χ2－1，则Fχ＝6y＋2χ，Fy＝ey＋6χ，故y′＝，当χ＝0时，y＝0，y′(0)＝0．则y〞＝＝－2．知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：＝sinχ－cosχ＋C．知识点解析：暂无解析17、已知f(2)＝，f′(2)＝0，∫02f(χ)dχ＝1，求∫01χ2f〞(2χ)dχ(其中f(χ)有连续导数)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求二重积分，其中D由y＝－χ，y＝和χ＝可围成．标准答案：如图，区域D可用极坐标表示为，知识点解析：暂无解析19、求微分方程χy′＋y＝χsinχ2满足的特解．标准答案：将原方程改写成y′＋＝sinχ2，则将初始条件代入得C＝π－1／2，故原方程的特解为y＝．知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：又收敛，故级数收敛．知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第6套一、山东专升本（数学）单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析3、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析4、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析5、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析二、山东专升本（数学）填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析9、标准答案：可去知识点解析：暂无解析10、标准答案：（-2,1）知识点解析：暂无解析三、山东专升本（数学）计算题一(本题共8题，每题1.0分，共8分。)11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析四、山东专升本（数学）综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析广东专插本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线y=χ+4与y=所围成的平面图形的面积。标准答案：画出曲线y=χ+4与y=χ2的图形，得所围成的平面图形如图所示的阴影部分，并解方程组得交点(-2，2)与(4，8)，从而知所围成的图形的面积为知识点解析：暂无解析2、证明：当0＜χ<时，。标准答案：设函数。而则f〞(χ)为增函数，所以对于χ∈(0，)，有f〞(χ)>f〞(0)=0成立，所以fˊ(χ)为增函数，对于χ∈(0，)，有fˊ(χ)>fˊ(0)=0成立，所以f(χ)为增函数，对于χ∈(0，)，有f(χ)>f(0)=0成立。即，所以。知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设函数y=f(-2χ)，则yˊ()A、fˊ(-2χ)B、-fˊ(-2χ)C、2fˊ(-2χ)D、-2ˊ(-2χ)标准答案：D知识点解析：暂无解析4、若函数f(χ)=，在χ=0处连续，则a=()。A、0B、1C、-1D、标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设()A、t2B、2tC、-t2D、-2t标准答案：D知识点解析：暂无解析6、若函数y=f(χ)在点χ0处不可导，则函数f(χ)在点χ0处()A、无定义B、不连续C、没有切线D、不可微标准答案：D知识点解析：暂无解析7、微分方程yˊ=10χ+y的通解是()A、B、C、10χ+10y=CD、10χ+10y=C标准答案：D知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设，则a=_______。标准答案：-1知识点解析：暂无解析9、曲线的垂直渐近线是______。标准答案：χ=1知识点解析：暂无解析10、设，则F(χ)的单调减少区间是_______。标准答案：(0，)知识点解析：暂无解析11、微分方程y〞+4y=sinχ的特解形式可设为y*=______。标准答案：y*=Acosχ+Bsinχ(A，B为待定常数)知识点解析：暂无解析12、设函数y=ln(1+3-χ)，则dy=_______。标准答案：知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、。标准答案：知识点解析：暂无解析14、求不定积分。标准答案：知识点解析：暂无解析15、求函数f(χ)=χe-χ在定义域内的最大值和最小值。标准答案：函数f(χ)=χe-χ的定义域为(-∞，+∞)，且f(χ)处处可导，因为fˊ(χ)=e-χ-χe-χ-e-χ(1-χ)，令fˊ(χ)=0，得驻点χ=1，且χ＜1时，fˊ(χ)＞0，χ＞1时，fˊ(χ)＜0，所以f(1)=e-1=为函数f(χ)的最大值。又于是，f(χ)在定义域内无最小值。知识点解析：暂无解析16、求定积分。标准答案：知识点解析：暂无解析17、设确定常数a的