备考2025年高考数学一轮复习第二章考点测试10

考点测试10指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度考点研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21C．24 D．27答案D解析因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.2.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0答案D解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.故选D.3．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(4,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a答案A解析∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))，又幂函数y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，且eq\f(4,5)>eq\f(4,9)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))，即a>b.又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(x)在定义域上单调递减，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，即b>c，故a>b>c.4．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的()A．49% B．51%C．65.7% D．72.9%答案C解析依题意，前2小时过滤后剩余污染物的数量为70%N0，于是70%N0＝N0e－2k，解得e－2k＝0.7，因此前6小时过滤后剩余污染物的数量为N＝N0e－6k＝N0(e－2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的eq\f(N0－0.343N0,N0)×100%＝65.7%.故选C.5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定答案A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此可得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)，∴f(3x)≥f(2x)．故选A.6．若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2＋2x＋3的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)答案A解析令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞)，因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1.所以g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2＋2x＋3，由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．7．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)＞0的解集为()A．(0，1)B．(－3，0)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案C解析因为函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且是R上的增函数，f(2x)＋f(x2－x)＞0⇔f(x2－x)＞f(－2x)，于是得x2－x＞－2x，解得x＜－1或x＞0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8．(多选)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)C.eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)答案ACD解析因为2x1·2x2＝2x1＋x2，故A正确；因为2x1＋2x2≠2x1·x2，故B错误；函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，则eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，则eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，故C正确；eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(2x1＋2x1,2)≥eq\r(2x1·2x2)＝2eq\s\up7(\f(x1＋x2,2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，又x1≠x2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故D正确．故选ACD.9．(多选)已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．函数f(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)的值域为(－1，1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0答案AC解析f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝eq\f(1－3x,3x＋1)＝－f(x)，所以函数为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；设y＝eq\f(3x－1,3x＋1)，整理得3x＝eq\f(1＋y,1－y)，所以eq\f(1＋y,1－y)＞0，即eq\f(y＋1,y－1)＜0，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；因为∀x1，x2∈R，且x1≠x2，若eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，则该函数为减函数，而f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)为增函数，故D错误．10．化简：2×(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋(eq\r(2\r(2)))eq\s\up7(\f(4,3))－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))－eq\s\up7(\f(1,2))－eq\r(4,2)×80.25＋(－2024)0＝________．答案214解析原式＝2×(2eq\s\up7(\f(1,3))×3eq\s\up7(\f(1,2)))6＋(2eq\s\up7(\f(1,2))×2eq\s\up7(\f(1,4)))eq\s\up7(\f(4,3))－4×eq\f(3,4)－2eq\s\up7(\f(1,4))×2eq\s\up7(\f(3,4))＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.11．若函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P(m，n)，则函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是________．答案eq\f(3,4)解析函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，2)，则m＝－1，n＝2，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，则eq\f(1,4)≤t≤2，故f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[－1，2]上的最小值，即g(t)＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))上的最小值，当t＝eq\f(1,2)时，g(t)min＝eq\f(3,4)，则函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是eq\f(3,4).二、高考小题12．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因为f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f(（－x）e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e（a－1）x],eax－1)＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D.13．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.14．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c答案D解析解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.15．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，则()A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案A解析函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)＜2－eq\f(\r(6),2)＜eq\f(\r(3),2)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故选A.16．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t－53）)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)()A．60 B．63C．66 D．69答案C解析因为I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t－53）)，所以I(t*)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t*－53）)＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，解得t*≈eq\f(3,0.23)＋53≈66.故选C.三、模拟小题17．(2024·湖北腾云联盟高三上学期月考)已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq\f(x3·2x,ax＋1)为奇函数，则a＝()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq\f(x3·2x,ax＋1)为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即eq\f(（－x）3·2－x,a－x＋1)＝－eq\f(x3·2x,ax＋1)，化简，得eq\f(ax,2x)＝2x，所以a＝4.故选B.18．(2024·山东临沂第十八中学高三第一次调研)若a＝(eq\r(2))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝log3e，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))-eq\s\up7(\f(1,3))，则()A．a>b>c B．c>a>bC．a>c>b D．c>b>a答案B解析因为a＝(eq\r(2))eq\s\up7(\f(2,3))＝2eq\s\up7(\f(1,3))>20＝1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))-eq\s\up7(\f(1,3))＝eeq\s\up7(\f(1,3))>2eq\s\up7(\f(1,3))＝a，所以c>a>1，又b＝log3e<log33＝1，故c>a>b.故选B.19．(2024·广东湛江第一中学高三模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－3a）x，x≥1，,－a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(x)－\f(1,8)，x＜1))满足对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)＞0成立，则实数a的取值范围为()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))答案D解析因为对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)＞0成立，所以对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，即函数f(x)是R上的减函数．因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－3a）x，x≥1，,－a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(x)－\f(1,8)，x＜1，))令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，t＞eq\f(1,2)，要使f(x)＝－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\f(1,8)在(－∞，1)上单调递减，所以y＝t2－at－eq\f(1,8)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．另一方面，函数y＝(2－3a)x，x≥1为减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3a＜0，,\f(a,2)≤\f(1,2)，,2－3a≤－\f(1,2)a＋\f(1,8)，))解得eq\f(3,4)≤a≤1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).20．(多选)(2024·广东高中毕业班第一次调研)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是()A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，则f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x都为增函数，作出两个函数的图象如图1，两个函数的图象有2个交点，分别为(0，1)，(1，5)．对于A，如图2，作直线y＝m(1<m<5)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且0<a<b<1，此时f(a)＝g(b)＝m，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故A正确；对于B，如图3，作直线y＝n(n<0)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且b<a<0，此时f(a)＝g(b)＝n，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故B正确；对于C，由两个函数的图象可知，若1<a<b，则g(b)>f(b)>f(a)，所以此时2a＋3a＝3b＋2b不可能成立，故C不正确；对于D，a＝b＝0或a＝b＝1，2a＋3a＝3b＋2b成立，故D正确．故选ABD.]21．(多选)(2024·福建厦门第一中学高三模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x，则下列说法正确的是()A．g(0)＝1B．g(x)在[0，1]上单调递减C．g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称D．