2024年新北师大版七年级上册数学课件 5.3 第2课时“盈余不足”问题

3一元一次方程的应用

第五章

一元一次方程

七年级上册数学（北师版）第2课时

“盈余不足”问题教学目标1.

借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。2.

领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的方法。重点：利用方程解决“盈余不足”问题。难点：根据题意建立等量关系,列出方程。导入新课《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？探究新知“盈不足”问题1“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱，若每人出7钱，则还少4钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？合作探究（2）设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表。有关量每人出8钱每人出7钱人数x出钱总数物价8x

8x

-3x

7x

7x+4知识总结（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。设人数为x。根据等量关系，列出方程：

。解这个方程，得x=

。因此，人数为

，物价为

。77538x

-3=7x+4知识总结如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。解得

y=53。你比较喜欢用哪种方式列方程呢？例1《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？典例精析分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x出钱总数物价400x

400x

-3400x

300x

300x

-100解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x

-3400）钱，还可表示为（300x

-100）钱，根据等量关系，列出方程：方程的两边就是金价的两种不同的表达式。400x-3400=300x-100。解这个方程，得x=33。300×33-100=9800。因此，人数为33，金价为9800钱。思考交流（1）对于例1，如果设金价为

y，能列出怎样的方程？解得

y=9800。（2）《九章算术》给出了一种算法：人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数，或物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。解方程→顺向思考算式方法→逆向思考练一练1.(盐城·期末)《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。问绳长、井深各几何?”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为()A.13x

-4=14x

-1B.3x+4=4x+1C.13x+4=14x+1D.3(x+4)=4(x+1)D2.(广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？解：设学生有

x人．根据题意，得8x－3＝7x＋4.解得

x＝7.7×8－3＝53(元)．答：学生有7人，该书单价是53元．当堂小结实际问题盈亏不足问题盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量亏时方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有

x

个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是（）A．9x

+

11

=

6x

-

16

B．9x

-

11

=

6x

+

16C．6x

-

11

=

9x

+

16

D．6x

+

11

=

9x

-

16课堂练习B2.牛奶是家家户户早餐的选择，现某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每个送奶员配送10瓶，还剩6瓶；若每个送奶员配送12瓶，还差6瓶。设该奶站现有送奶员x人，根据题意列方程为（）A．10x+6=12x

-6 B．10x

-6=12x+6C．10+6x=12-6x

D．10-6x=12+6x

A3.在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车。若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车。则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程：（1）设共有x辆车；（2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为

（用含x的式子表示）；（3）由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”可得人数为

（用含x的式子表示）；（4）