2023年高三数学一轮复习资料基础知识归纳

高三数学一轮复习：基础知识归纳

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义是处理集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还

是因变量的取值？还是曲线上的点？…

2.黎形筝育是解集合问题时常用措施：解题时要尽量地借助数轴、直角坐标系或韦恩图

等工具，将抽象时代数问题详细化、形象化、直观化，然后运用数形结合的思想措施处

理

3.(1)元素与集合的关系：%eA<4>xCVA,xeCVAxA.

(2)德摩根公式：Q(AB)=qACuB;Cu(AB)=gACVB.

(3)

A\B=AB=BoAcB<=>CVBcCVAoA=①

<=>CVA\B=R

注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的状况.

(4)集合｛q,g，,4｝日勺子集个数共有*个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个;

非空真子集有2"-2个.

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函数与导数

1.映射：注意：①第一种集合中的I元素必须有象；②一对一或多对一.

2.函数值域的求法：①分析法；②配措施；③鉴别式法；④运用函数单调性；⑤换元法；

⑥运用均值不等式4ab<+<『7］；⑦运用数形结合或几何意义(斜率、距离、

绝对值的意义等)；⑧运用函数有界性(优、sinx、cosx等)；⑨平措施；⑩导数法

3.复合函数的有关问题：

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)W

b解出

②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相称于xd[a,b]时，求g(x)的值

域.

(2)复合函数单调性的鉴定：

①首先将原函数y=分解为基本函数：内函数M=g(x)与外函数y=f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段处理，再下结论。

5.函数的奇偶性：

⑴函数的定义域有关原点对称是函数具有奇偶性的必攀条件

⑵/(%)是奇函数of(-x)=-f(x)；f(x)是偶函数of(-x)=f(x).

⑶奇函数f(x)在0处有定义，则/(0)=0

⑷在有关原点对称的单调区间内：奇函数有相似的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6.函数的单调性：

⑴单调性的定义:

①/'(%)在区间河上是增函数oX/X],工2eM,当<x2时有/a)<)；

②/(X)在区间河上是减函数O\/天,工26/,当花<%2时有/(X。>/(々)；

⑵单调性的鉴定：①定义法：一般要将式子/(X])-/(%)化为几种因式作积或作商的形式,

以利于判断符号；②导数法(见导数部分)；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性重要用定义法和导数法。

7.函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意X,若有/'(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，

则称函数/'(x)为周期函数，T为它的一种周期。所有正周期中最小的称为函数的最

小正周期。如没有尤其阐明，碰到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的|周期：①y=sinx:T=2"；②y=cosx:T=2"；

2万

③丁=tanx:T=»；®y=Asin(a)x+cp).y=Acos(6xr+(p):T=---；

㈤

⑤y=tanGX:T=

㈤

⑶与周期有关的结论：

/(x+。)=/(%一。)或于(x-2a)=/(x)(tz>0)=>/(x)的周期为2〃

8.基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：y=ax(a>0,a^l)；

⑵对数函数：y=log。x(a>0,〃w1)；

⑶塞函数：y=xa(aeR)；

⑷正弦函数：y=sinx；

⑸余弦函数：y=cosx；

(6)正切函数：y=tanx；

⑺一元二次函数：ax1+bx+c=O(aWO)；

⑻其他常用函数：

kZ7

①正比例函数：丁=左双左wO)；②反比例函数：y=—(左。0)；③函数y=-(a>Q)

Xx+X

m__mi

㈡.⑴分数指数嘉：出=仃；a1=—(以上。>0,根,〃eN*,且〃>1).

an

⑵.①/=Nolog,N=6；@logfl(W)=logflM+logoN；

Mn

③log。77=log"Tog”N；④log)"=—log*.

Nm

⑶.对数的换底公式：log。N=logmN.对数恒等式：=N.

log"

9.二次函数：

⑴解析式：①一般式：/(x)=«x2+bx+c；

②顶点式：/(x)=a(x-h)-+k,(九左)为顶点；

③零点式：/(x)=a(x-x1)(x-x2)(aWO).

⑵二次函数问题处理需考虑的原因：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤鉴别式；⑥两根符号。

卜(卜A_A2

二次函数丁=。/+法+。的图象的对称轴方程是X=-三，顶点坐标是-8,"nr-O

2a12a4a,

10.函数图象：

⑴图象作法：①描点法(尤其注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：i)y=f(x)fy=f(x±a),(a>0)•左“+”右"一

ii)y=/(X).y=/(尤)±匕(左>0)------上“+”下“一”；

②对称变换：i)y=/(x)—--->y=-/(-X)；ii)y=/(x)—=—/(x)；

道)y=f(x)—-=0->y=/(-%)；iv)y=/(x)y=A'>x=/(y)；

③翻折变换：

i)y=y=/(|x|)-----(去左翻右)y轴右不动，右向左翻(/(幻在y左侧图象

去掉)；

ii)y=/(无)-丁斗/(龙)|-----(留上翻下)x轴上不动，下向上翻(|/(x)|在x下面无

图象)；

11.函数图象(曲线)对称性的证明：

(1)证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点有关对称中心(对称轴)的

对称点仍在图像上；

(2)证明函数y=/(x)与y=g(x)图象时对称性，即证明y=，(x)图象上任意点有关

对称中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然。

注：①曲线Q:f(x,y)=0有关原点(0,0)的对称曲线C方程为:f(-x,-y)=0;

曲线Ci：f(x,y)=0有关直线x=0的对称曲线C2方程为：f(―x,y)=0;

曲线Ci：f(x,y)=0有关直线y=0的对称曲线&方程为：f(x,—y)=0;

曲线G:f(x,y)=0有关直线y=x的|对称曲线C2方程为：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b—x)(xGR)Oy=f(x)图像有关直线x=q±2对称；

2

尤其地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)Oy=f(x)图像有关直线x=a对称.

③丁二/(x)的J图象有关点(。,。)对称O/(«+%)+/(«-x)=2Z?.

尤其地：y=y(x)的图象有关点(a,0)对称o/(«+x)=-/(a-x).

④函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)欧I图象有关直线x=。对称;

函数y=于(a+x)与函数y=f(a-x)的图象有关直线x=0对称。

12.函数零点的求法：

⑴直接法(求/(%)=0的根);(2)图象法;⑶二分法.

⑷零点定理：若y=f(x)在［a,若上满足f(a)•f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一

种零点。

13.导数：

⑴导数定义：f(x)在点xo处的।导数记作,［户与=/'(%)=鼾。/"。+黑―

⑵常见函数的导数公式：①。'=0；②(%")'=③(sinx)=cosx；

④(cos%)=-sin%；⑤(优)=a"lna；⑥(e")=e"；⑦(log。％)=--—；

「xlna

⑧(In%)=！o

%

⑶导数的四则运算法则：(M±V)'=“'土M；o)'=u'v+“M;(勺’二";

VV

⑷(理科)复合函数的导数：尺=立."【；

⑸导数的应用：

①运用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？ii)所求的是“在”还是“过”该点时

切线？

②运用导数判断函数单调性：i)/(x)>0nf(x)是增函数；ii)r(x)<0=>/(x)为

减函数；iii)/(x)三0=>/(x)为常数；

③运用导数求极值：i)求导数/''(■¥)；ii)求方程_r(x)=0的根；道)列表得极值。

④运用导数求最大值与最小值：i)求极值；ii)求区间端点值(假如有)；iii)比较

得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.⑴角度制与弧度制的互化：乃弧度=180°,1°=」上弧度，1弧度=（史2）°土57°18'

180n

⑵弧长公式：/=系；扇形面积公式：s=-lR^-dR-^

22

2.三角函数定义:角a终边上任一点（非原点）P（x,y）,设|OP|=r则:

.yXy

sincr=—,coscr=—,tantr=—

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

JI

5.（Dy=Asin（/v+0）对称轴：令①x+（p=k兀得尤=・・・；对称中心:

(女』)(丘Z);

0)

k兀—（［）

出丁=人（：0$@¥+0）对称轴：令①X+cp=k兀，得％=------；对称中心:

CD

,71

K7tH------(p

-------=—,0)(^eZ);

CO

_27r

⑶周期公式:①函数y=Asin(ox+e)&y=Acos(<»x+e)的I周期7=丁丁(A、3、cp为

冏

常数,

且AW0）.②函数y=Atan（6M+。）的（周期T=2（A、3、0为常数，且AWO）.

6.同角三角函数的I基本关系：sin2x+cos2x=1;S^X=tanx

cosx

7.三角函数的单调区间及对称性：

7T7T

⑴y=sin%的单调递增区间为2k兀---,2k兀+—左wZ,单调递减区间为

22

jr3乃jr

2k7T+-,2k7T+—keZ,对称轴为X=氏+5（丘Z）,对称中心为（丘,0）（左eZ）.

22

⑵y=cosx的单调递增区间为［2k^-7r,2k7r］k^Z,单调递减区间为

[2kr,2k兀+旬左£Z,

对称轴为x=k7i（kGZ）,对称中心为［上万+9,0J（左£Z）.

⑶y=tan%的单调递增区间为|左万一叁,左"+叁）左eZ,对称中心浮。］（左eZ）.

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

①sin(o±/?)=sinacos6±cososin/?；cos(6z±/?)=cosacos/?>sin6Zsin/?；

,c、tana±tan6

tan(zcr±,)=----------—.

1.tancrtan/3

②sin(a+/?)sin(a—/?)=sin2a-sin2p；cosa+/)cos(a一/?)=cos2a-sin2[3.

③asin2+Z?cosa=J^"7P_sin（a+9）（其中,辅助角0所在象限由点（。,6）所在aI象限

...b、

决JE,tan/=一).

a

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosc.(sin。士cos。)？=l±2sinacosa=l±sin2a

@cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(升幕公式).

21+COS2。.21—COS2。/枚直八一、

cosa=--------,sina---------(降累公式).

22

10.正、余弦定理：

⑴正弦定理：也=’^=2尺（2R是AABC外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：@4Z：Z?:c=sinA:sinB:sinC；

②a=27?sinA,/?=2RsinB,c=27?sinC；

abca+b+c

③-----------二------------二-------------二--------------------------------------------O

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

力22_2

⑵余弦定理：a1=〃2+。2_2/?ccosA等三个；cosA=----------等三个。

2bc

1L几种公式：

⑴三角形面积公式：

①S=Lah=Lbhb=Lch(h、hb>4分别表达a、b、c边上的I高)；

2a2。2。a°c

@S=—absinC=—bcsmA=—casinB.

222

③SAOAB=1I031)2-(0403)2

,,,cu_abc

⑵内切圆半径r=2SMBC:外接圆直径2R=---=----=----；

a+b+csinAsinBsinC

第四部分立体几何

1.三视图与直观图：⑴画三视图规定：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧

视图与俯视图宽相等。⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图时要领。

2.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S（B+2S底；②侧面积：S«）=17irh；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=SW+S②侧面积：SfllJ=^r/;③体积：V=，S底h：

3

⑶台体：①表面积：$=$恻+5上底+S下底;②侧面积：5恻="（厂+r）/；

③体积：v=-（S+而7+S'）h；

3

°4Q

⑷球体：①表面积：S=4冰；②体积：V=—7TR.

3

3.位置关系的证明（重要措施）:

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的鉴定定理；②面面平行n线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的鉴定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的I鉴定定理；②面面垂直的I性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义一一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的鉴定定理。

注：以上理科还可用向量法。

4.求角：（环节-----I.找或作角；II.求角）

⑴异面直线所成角日勺求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（运用线面角定义）；②用向量法

5.结论：

⑴棱锥的平行截面的性质假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截

面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成

比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；对应小棱锥与

小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

⑵长方体从一种顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为,标+从+02,

全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abco

⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为品，全面积为6a2,体积V=/。

⑷球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是

正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

⑷正四面体的性质：设棱长为。，则正四面体的：

①高：h=—a；②对棱间距离：—a；③内切球半径：—«；④外接球半径：—a.

32124

第五部分直线与圆

1.斜率公式：左=上&,其中《&,%)、上)•

x2_%]

直线的方向向量fv=(。力)，则直线的斜率为左=2h(aH0).

a

2.直线方程的五种形式：

(1)点斜式：y—%=-x—X])(直线/过点々Oi，%),且斜率为左).

(2)斜截式：,=履+人9为直线/在y轴上的截距).

Y—VX—X

L

(3)两点式：-----=-----^(《(芯,％)、P2(x2,y2)%w%2，%。为).

%一%入2一%一一一一一

(4)截距式：土+)=1(其中a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且。/0力/0).

ab

(5)一般式：4+为+。=0(其中人、8不一样步为0).

3.两条直线的位置关系：

(1)若4:y=kxx+4,4：V=k?x+a，贝U：

①(〃4o=左2，4。；②4~L4o桃?=-1.

(2)若4:A^x+8］》+a=0,，2：^2^+B2y+c?—0,贝ij：

①/"//20AB2—4片=。且—4孰wo；②4，，o44+与8=。・

4.求解线性规划问题的环节是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目的函数；（3）确定目的函数的最优解。

5.两个公式：

⑴点P（xo,yo）到直线Ax+By+C=O的距离：八出+叫"|；

VA2+B2

⑵两条平行线Ax+By+Ci=O与Ax+By+C2=0的距离d=JSzSkL

6.圆的方程:

⑴原则方程：①（x—。了+⑶―»2=/；②/+,2=/。

⑵一般方程：x"+y2+Dx+Ey+F^O（D2+E2-4F>0）

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表达圆u>A=CWO且B=0且D2+E2-4AF>0

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8.点、直线与圆的位置关系：（重要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d表达点到圆心的距离）

①^二尺。点在圆上；②d<Ho点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表达圆心到直线的距离）

①d=Ro相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表达圆心距，表达两圆半径，且R>r）

①d>R+ro相离；②4二R+尸0外切；③R—r<d<R+ro相交;

@d=R—ro内切；⑤0<d<R—ro内含。

9.直线与圆相交所得弦长|AB|=23-d2

第六部分圆锥曲线

1.定义：⑴椭圆：|叫|+|班|=2a,（2a>|片工|）；

⑵双曲线：||MFJ—|呵11=2a,Qa<|g|）；

⑶抛物线:|MF|=d

2.结论：

⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A（七，％）,B（X2,y2）,

或1ABi=|必

则=Ja—%）2+（%—%>,或|Aq=I%1-X2|7T7P

注：①抛物线：|AB|=Xl+X2+p；

2b2

②通径（最短弦）：i）椭圆、双曲线：——；ii）抛物线：2P.

a

⑵过两点的I椭圆、双曲线原则方程可设为：mx2+ny2=1

（同步不小于0时表达椭圆；"加<0时表达双曲线）；

当点P与椭圆短轴顶点重叠时NFiPF2最大；

⑶双曲线中的结论：

2222

①双曲线^--2L=]（a>0,b>0）的渐近线：__匕=0；

a2b2a2b2

②共渐进线y=±?x的双曲线原则方程可设为二一3=2.为参数，4W0）；

aa2b2

③双曲线为等轴双曲线oe=4io渐近线互相垂直；

⑷焦点三角形问题求解：运用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3.直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意如下问题：①联立的有关“X”还是有关“y”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③鉴别式验证了吗？

⑵设而不求（点差法——代点作差法）：--------处理弦中点问题

环节如下：①设点A（xi,yj、B（X2,yJ；②作差得左AB二%一为=…….③处理问题。

X]-x2

4.求轨迹的常用措施：（1）定义法：运用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称有关点法或坐标转移法）；

（4）待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。

第七部分平面向量

平面上两点间的距离公式：-为）+（为一乂），其中（）（）

1.dAB=22AX1,%,Bx2,y2.

2.向量的平行与垂直：设a=（占,%）,3=（%,%），且BwG,则：

①a〃bob八a=x一々%=。；

②a_l_B（aw6）oa・B=0<=>xxx2+yxy2=0.

3.a•b=|a||b|cos<a,b>=xxx2+yiy2；

注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的I投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a•b几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的I投影|b|cos〈a,b>Btl乘积。

a-b

4.cos<a,b>=———；

1。1叫

5.三点共线的I充要条件：P,A,B三点共线o0P=x04+y081jc+y=l。

第八部分数列

1.定义:

⑴等差数列{an}oan+l-an=d(d为常数“eN*)oan-an_x=d(n>2)

2

o2an=an+l+a“_](n>2,«eN*)oa.=kn+b=S*=An+Bn

aan

⑵等比数列{4}o=q(q/0)=a：=n-\'n+i(22,neN*)

2.等差、等比数列性质：

等差数列等比数列

n—\

通项公式an=ay+(n-l)d%=%q

l.q=1时，Sn=nar;

前n项和时，s'=%QT)

i-q

二3一anq

i-q

n-m

性质@an=am+(n—m)d,@an=amq;

②m+n=p+q时am+an=aP+aq②m+nFp+q时aman=apaq

③Sk，S2k~Sk,S3k_S2k，•••成AP③Sk,S2k一凡，S31t-S2V…成GP

④…成AP,d'=md④a,,a^,„,aMm，…成GP,q'=q"'

3.常见数列通项的求法：

⑴定义法（运用AP,GP的定义）；⑵累加法（/+]-型）；⑶公式法：JS1

⑷累乘法（如=%型）；⑸待定系数法（a-=姐+6型）转化为a„+1+x=k（a“+x）

an

（6）间接法（例如：an,-an=4a/“1n'.....—=4）；（7）（理科）数学归纳法。

a”a“_i

4.前〃项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。

5.等差数列前n项和最值的求法:

Q>0，Q<0、

⑴S”最大值1%一或S”最小值1%—；⑵运用二次函数的图象与性质。

&+1401口+120J

第九部分不等式

1.均值不等式：4ab<<^^\a,b>0)

注意：①一正二定三相等；②变形：abW与W二七(a,beR)。

2.极值定理：已知羽y都是正数，则有：

(1)假如积型是定值p，那么当无=y时和x+y有最小值2后；

1,

(2)假如和x+y是定值s,那么当x=y时积孙有最大值

3.解一元二次不等式af+法+C>0(或<0):若a〉0,则对于解集不是全集或空集时,对应

时解集为“大两边，小中间”.

如：当X1<x2,(X-当Xx-)<0O<x<x2;

(X-X]Xx-)>。OX>%2或x</.

4.具有绝对值的不等式：当。>0时，有：①N〈aox?0一a<x<。；

②国>4<=>>¥2>"0%>1或％<—a.

5.分式不等式:

(1)受^〉0oy(x).g(x)〉o；⑵一<0o/(x),g(x)<0；

V(x).g(x)之。/(%)J/(x).g(x)W0

(3)1g(x)，。；(4)由

g⑴

6.指数不等式与对数不等式

/W>o

8(x)

(1)当a>1时，>aO/(x)>g(x)；logflf(x)>logag(x)<^><g(x)>0.

/U)>g(x)

7w>o

8(x)

(2)当0vav1时，〃"")>ao/(x)<g(x)；logaf(x)>logag(x)=<g(x)>0

J(x)<g(x)

7.不等式的性质：

(Da>boZ?va；⑵〃>"6>。=>a>。；

(3)a>boa+c>b+c；a>b,c>d^a+ob+d；

(Qa>b,c>0=ac>bd；a>b.c<Q^>ac<bc；a>b>0,c>d>G^ac>bd;

⑸a>b>0na〃>bn>Q(nGN*);

⑹a>b>0=\[a>y[b{nGN*)

第十部分复数

1.概念：

⑴z=a+bi£Rob=0(a,b£R)0z=N00；⑵z=a+bi是虚数ObW0(a,b£R)；

⑶z=a+bi是纯虚数Oa=0且b#0(a,b£R)Oz+N=0(zW0)OzQO；

(4)a+bi=c+diOa=c且c=d(a,b,c,d£R)；

2.复数的代数形式及其运算：设Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d£R),则：

(1)zi+z2=(a+b)±(c+d)i；(2)zi.z2=(a+bi),(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

⑶zi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad

⑻------------------+i(Z2W0)

2222

z2(c+di)(c-di)c+dc+d

3.几种重要的结论：

®(l±z)2=±2z；②l±!=i；k2=

1-i1+z

③M生质：T=4；严=1,严+1=i,严+2=_1,严+3=T；产+产+1+产2+产+3=0;

4.模的性质:⑴IzgHZilIZzI；⑵|五|=后1；⑶|z"Hz|".

Z

Z2I2I

5.实系数一元二次方程ox?+bx+c=0%|解：

—Zi+、/—A

①若A=/—4ac＞0,贝!!再2=---------------------；②若A="—4-ac=0,则再=9=-------；

—2a2a

③若A=〃—4改＜0,它在实数集H内没有实数根；在复数集。内有且仅有两个共轨复数

根x=一'±J_&―4a3b_4这＜0）.

2a

第十一部分概率

1.事件的关系：

⑴事件B包括事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AqB；

⑵事件A与事件B相等：若则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AuB（或A+5）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AcB（或A3）

⑸事件A与事件B互斥：若Ac5为不也许事件（Ac5=。），则事件A与互斥;

⑹对立事件：Ac5为不也许事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2.概率公式:

⑴互斥事件（有一种发生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；

⑵…尸⑷」包般篝黑2个数

⑶几何概型：尸⑷二试验黑黑牌黑黑黑黑葭1等,；

第十二部分记录与记录案例

1.抽样措施：

⑴简朴随机抽样：一般地，设一种总体的个数为N,通过逐一不放回的措施从中抽取一种容量

为n的样本，且每个个体被抽到日勺机会相等，就称这种抽样为简朴随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为V二I；

N

②常用的简朴随机抽样措施有：抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡时提成几种部分，然后按照预先制定的规则，

从每一种部分抽取一种个体，得到所需样本，这种抽样措施叫系统抽样。

注：环节：①编号；②分段；③在第一段采用简朴随机抽样措施确定起始的个体编号；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分构成时，为使样本更充足的反应总体的状

况，将总体提成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数义—

N

注：以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2.频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反应样本的频率分布规律的直方图称为频率分

布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表达十位数，即第一种有效数字，

两边的数字表达个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎

上长出来的叶子，这种表达数据时图叫做茎叶图。

3.总体特性数的估计：

⑴样本平均数元」®+%2+，，，+X,）」力毛；

⑵样本方差52=匕（±-彳）2+（%-元）2+…+（%一彳）2]=之（七_守；

n

⑶样本原则差S=也可_7）2+（%-元）2+…+（%-元沟=

丫〃V几i=l

3.有关系数（鉴定两个变量线性有关性）：

J（x,.-x）（x-y）f（x,-元）（％-歹）

三1__________________________i=l

^（x,.-x）2J（y,-y）2J（tx；一灰2）（f%2_“.2）

注：⑴r>0时，变量正有关；r<0时，变量负有关；

⑵当|厂|越靠近于1,两个变量的线性有关性越强；

当|厂|越靠近于0时，两个变量之间几乎不存在线性有关关系。

4.回归直线方程

y=a+bx,其中

第十三部分算法初步

1.程序框图:

⑴图形符号:

终端框（起止框）；②输入、输出框;

处理框（执行框）；④'判断框；⑤流程线；

⑵程序框图分类:

①次序构造:②条件构造:③循环构造:

r^O?否求n除以i的余数

i^rr^Tr=O?否

是

注：循环构造分为：I,当型（while型）一一先判断条件，再执行循环体;

II.直到型（until型）一一先执行一次循环体，再判断条件。

2.基本算法语句:

⑴输入语句INPUT“提醒内容”；变量；输出语句：PRINT“提醒内容”；体现式

赋值语句：变量=体现式

⑵条件语句：①②

IF条件THENIF条件THEN

语句体语句体1

ENDIFELSE

语句体2

ENDIF

⑶循环语句：①当型:②直到型:

WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1.充要条件的判断：

（1）定义法一一正、反方向推理

注意辨别：“甲是乙的充足条件（甲n乙）”与“甲的充足条件是乙（乙n甲）”

（2）运用集合间的包括关系：例如：若4口3,则A是B的充足条件或B是A的必要条

件；若人=8,则A是B的充要条件。

2.逻辑联结词:

⑴且（and）：命题形式pAq；PqpAqpvq-<p

⑵或（or）：命题形式pvq；真真真真假

⑶非（not）：命题形式.真假假真假

假真假真真

假假假假真

3.四种命题的互相关系

否否

逆逆

------------否否

否命题逆否命题

<-------

若非P则非q互逆若非q则非P

4o四种命题：

⑴原命题：若P则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若一ip则一।q；⑷逆否命题：若一iq则一।p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一种”等，用V表达；

全称命题p：VxeM,p(x)；全称命题P的否认「P：3%eo

⑵存在量词--------“存在一种”、“至少有一种”等，用三表达；

特称命题p：BxGM,p(x)；特称命题p时否认->p：