2023-2024学年北师大版八年级数学上册重难点题型突破训练：第二章 实数（压轴30题）

第2单元实数压轴精选30题

一.选择题（共13小题）

1.估计X的运算结果应在（）

A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间

2.数轴上表示1,近的对应点分别为Z,瓦点8关于点Z的对称点为C,则

点。所表示的数是()

____ilClAB।〉

0?1V2

A.V2-1B.1-V2C.2-V2D.V2-2

3.已知实数。在数轴上的位置如图所示，则化简|i-M+疗的结果为（)

-101

A.1B.-1C.1-2aD.2a-1

4.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时,输出的y是（)

A.8B.2-/2C.273D.372

5.若|x+2|+4y_3=0，则xy的值为（)

A.-8B.-6C.5D.6

6.实数。在数轴上对应的点如图所示，则4,-a,1的大小关系正确的是（)

"•—>

a01

A.-a<a<1B.tz<-1C.1<-a<-aD.a<l<-a

7.若0Vx<l,则X,X2,R的大小关系是（)

A.x<x2<x3B.x<x3<x2C.x3<x2<xD.x2<x3<x

估算返节应的值（）

8.

V2

A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间

9.化简二次根式二3,结果是（）

A.-B.-CT\]-软C.D.aVa

10.若式子通W有意义，则X的取值范围为（）

X-1

A.xW2B.xW2且xWlC.x22D.xNl

11.使式子丁而有意义的X的取值范围是（）

A.xN-1B.-1WXW2C.xW2D.-l<x<2

12.当x＞l时，J（x-1）2-1化简的结果是（）

A.2-xB.x-2C.xD.-x

⑶设W咔卡+J哮方+…+J1/+，则S最接近的整数

是（）

A.2015B.2016C.2017D.2018

二.填空题（共10小题）

14.已知a、b为有理数，m、n分别表示5-W的整数部分和小数部分，且amn+bn2

=1,则.

15.已知a、b为两个连续整数，且a＜后＜b,则a+b的值为.

16.规定用符号时表示一个实数机的整数部分，例如：[2]=0,[3.14]=3.按

3

此规定+1]的值为.

17.将1、V2'如、迎按下列方式排列.若规定（机，〃）表示第机排从左向

右第〃个数，则（5,4）与（15,7）表示的两数之积

是.

1第一排

近a第二排

娓i第三排

a氓iV2第四排

i&V3第五排

18.实数a,b,。在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+臼-衣-归-&

bc0a

19.愿的整数部分是a,、尺的小数部分是b,则必=.

20.将1、&、M、遥按右侧方式排列.若规定(机，〃)表示第机排从左向

右第〃个数，则(7,3)所表示的数是；(5,2)与

(20,17)表示的两数之积是.

1第1排

72居第2排

761&第3排

73761>/2第4排

7376172第5排

21.若实数a满足|a-8|+Va-10=«>则a=_______.

22.已知孙=3,那么#+y产的值是.

23.已知实数x,y满足|x+5I+\g=0，则(x+y)2006=.

三.解答题(共7小题)

24.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：aAb=a2-根据这个

规则：

(1)求4a3的值；

(2)求(x+2)△5=0中x的值.

25.我们已经学过完全平方公式。2±2"+按=(a±b)2,知道所有的非负数都

可以看作是一个数的平方，如2=(V2)2,3=(V3)2,7=(小)2,0=

02,那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求3-2质的算术平方根.

解：3-2V2=2-2V2+1=(V2)2-2V2+12=(V2-1)2,­'-3-2

加的算术平方根是、历-1.

你看明白了吗？请根据上面的方法化简：

(1)V3+2^2

⑵710+8^3+272

(3)V3-272W5-2V6+V7<712+79-2720+711-2^30.

26.【知识链接】

（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根

式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式.

例如：的有理化因式是V"^；1-区乂2+2的有理化因式是l+Jx,+Z，

（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号

化去.指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的

有理化因式，达到化去分母中根号的目的.如：

1=ix（V2-i）=42-1=ix（V§-V^）=如

1W2（V2+D（V2-I）'V3W2（V3W2）（V3W2）

-加•

【知识理解】

（1）填空：2«的有理化因式是；

（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：

V7W6--------------------------------------D啦心

【启发运用】

(3)计算：---+---1---+-_—+…+---------

1W2V3W22^3而

27.已知女少出而语是m+n+3的算术平方根，B>-2n+3而而是m+2n的立方

根，求8-Z的立方根.

28.观察下列一组等式，解答后面的问题：

（V2+1）（V^-1）=1,（V3+V2）（V3-V2）=1，（V4+V3）（V4-

V3）=1，（V5+V4）（V5-V4）=1,…

（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：

（-^―+」L+」L+…-........Xj-------）（V2016+1）-

V2+1V3+V2V4+V3V2016+V2015

（2）利用上面的规律，比较E-J五与J石适的大小.

29.先观察下列等式，再回答问题:

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想jiTT•的结果，并进行验证；

（2）根据上面的规律，可得I1,=.

（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用〃（〃为正整数）表示的等式,

并加以验证.

30.观察下面的式子：

S1=1+J_+J_,S2=1+LL53=1+J-+J---sn=l+X+_1_

I22222323242n2（n+l）2

（1）计算：何=--------------------，后=-----------------

猜想E=（用〃的代数式表示）；

（2）计算：$=何+圾+偲+…+何;（用〃的代数式表示）・

第2单元实数压轴精选30题

一.选择题（共13小题）

1.估计而的运算结果应在（）

A.6到7之间B.7到8之间C.8至U9之间D.9至U10之间

【答案】C

【解答】解：而4<&^<5,

•••原式运算的结果在8到9之间；

故选：C.

2.数轴上表示1,企的对应点分别为45,点3关于点幺的对称点为C,则

点C所表示的数是（）

CAB

_________1111.

0?1VI

A.V2-1B.1-V2C.2-V2D.A/2-2

【答案】C

【解答】解：•••数轴上表示1,企的对应点分别为4B,

:.AB=®-I,

••,点B关于点A的对称点为C,

：.AC=AB.

...点C的坐标为：1-（&-1）=2-企.

故选：C.

3.已知实数。在数轴上的位置如图所示，则化简|1-M+庠的结果为（）

a

_J--------1_•—1——>

-101

A.1B.-1C.l-2aD.2a-1

【答案】4

【解答】解：由数轴上a点的位置可知OVaVl,

/.1-a>09

・••原式=（1-。）+〃=1.

故选：A.

4.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（)

输入x方♦取算术平方根是「理数，输出）

T是有理数

A.8B.2A/2C.273D.3a

【答案】B

【解答】解：将64输入，由于其平方根是8,

为有理数，需要再次输入，

得到我，为2注.

故选：B.

5.若|x+2]+4y-3=0,则町的值为（）

A.-8B.-6C.5D.6

【答案】B

【解答】解：,••|x+2|N0,百互三0，

而|x+21y-3=0,

.,.x+2=0且厂3=0,

•«x=-2,y=3,

'-xy—（-2）X3=-6.

故选：B.

6.实数a在数轴上对应的点如图所示，则a,-a,1的大小关系正确的是（）

~>

a01

A.-a<-a<-1B.tz<-1C.1<-a<-aD.a<1-a

【答案】D

【解答】解：由数轴上。的位置可知。<0,同>1；

设a--2,则-a=2,

V-2<1<2

1<-«>

故选项Z,B,C错误，选项。正确.

故选：D.

7.若O<X<1,则X,X2,R的大小关系是（）

A.x<x2<x3B.x<x3<x2C.x3<x2<xD.x2<x3<x

【答案】C

【解答】解：：0«1,

，假设X=L,则X=A.,X2=A,X3=A,

2248

842

/.x3<x2<x.

故选：C.

8.估算运咎应的值（）

V2

A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间

【答案】D

【解答】解：原式=5+企，

XV4<6<9,

：.2<配<3,

其值在7和8之间.

故选：D.

9.化简二次根式，结果是（）

A.-a-/aB.-川-aC.周-aD.ay/a

【答案】B

【解答】解：有意义

.'•aWO

••原=-..-a•

故选：B.

10.若式子'五有意义，则X的取值范围为（）

xT

A.xW2B.xW2且xWlC.xN2D.xNl

【答案】B

【解答】解：•.•式子返三有意义,

X-1

IxT卉0

解得：xW2且xWl.

故选：B.

11.使式子丁而有意义的x的取值范围是（）

A.xN-1B.-1WXW2C.xW2D.-l<x<2

【答案】B

【解答】解：根据题意，得

[x+l>O

12-x>0

解得，-10W2；

故选：B.

12.当x>l时，Y（x-1）2-1化简的结果是（）

A.2-xB.x-2C.xD.-x

【答案】B

【解答】解：1>0,

原式=|x-1|-l=x-1-l=x-2.

,则s最接近的整数

A.2015B.2016C.2017D.2018

【答案】C

【解答】解：LICH—J

Vn2(n+1)2

=卜2(n+1)2+n2+(n+l)2-

V[n(n+l)]2

=J[n(n+l)]2+2n(n+l)+l

V[n(n+l)]2

=I(n2+n+l)2

Un(n+1)]2

n2tn+]

n(n+l)

22320162017

=2016+(i-A+J：—L+—L+…+—1-------1—

2233420162017

=2017-1■,

2017

所以S最接近的整数是2017,

故选：C.

二.填空题（共10小题）

14.已知a、b为有理数，m、n分别表示5rM的整数部分和小数部分，且amn+bn2

=1,则2a+b=2.5.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为2<近<3,所以2<5-J7V3,故机=2,n=5-47-2=

3-W.

把m=2,〃=3-，^代入amn+b〃2=l得,2（3-W）。+（3-W）2b=1

化简得（6a+16b）-V7（2a+6A）=1,

等式两边相对照，因为结果不含正，

所以6。+16方=1且2a+66=0,解得a=1.5,b--0.5.

所以2a+b=3-0.5=2.5.

故答案为：2.5.

15.已知a、b为两个连续整数，且a<任<b,则的值为7.

【答案】见试题解答内容

【解答】VV9<V15<VT6>

・・a=3,b=4,

••a+b=3+4=7.

故答案为：7.

16.规定用符号时表示一个实数机的整数部分，例如：苧=0,[3.14]=3.按

此规定[历+1]的值为4.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：〈疝V4,

3+1<710+1V4+1,

.,•4<V10+l<5,

•••[行+1]=4,

故答案为：4.

17.将1、企、正、述按下列方式排列.若规定（掰，〃）表示第机排从左向

右第〃个数，则（5,4）与（15,7）表示的两数之积是，通

1第一排

近V3第二排

V61V2第三排

V3V61V2第四排

V3V61V2M第五排

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：（5,4）表示第5排从左向右第4个数，则它表示的数为企;

（15,7）表示第15排从左向右第7个数，它所表示的数为遥，

V2X^6=2V3•

故答案为2我.

18.实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+臼-值-忸-c尸

0.

7c-Oa~

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据点在数轴上的位置，知：a>0,b<0,c<0；且臼>|a|>

・••原式=a-(a+b)+c+b-c—a~a~b+c+b~c=0.

19.我的整数部分是a,述的小数部分是b,则必=_遍-2_.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•••：!〈愿<2,2<A/5<3,

tz=1,b=yfs-2»

'•ab=1X（yf^-2）~2-

故填空答案：V5-2.

20.将1、&、如、遥按右侧方式排列.若规定（机，n）表示第掰排从左向

右第〃个数，则（7,3）所表示的数是—a（5,2）与（20,17）表示

的两数之积是」

1第1排

72耳第2排

R142第3排

7376172第4排

乔41&"第5排

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（7,3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中

间的一个数都是1,

1+2+3+4+5+6+3=24,

244-4=6,

则（7,3）所表示的数是遥；

从图示中知道，（5,2）所表示的数是逐；

•.•第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190,则（20,17）表示的

是第190+17=207个数，

207+4=51…3,

/.（20,17）表示的数是正.

（5,2）与（20,17）表示的两数之积是：泥Xj^=3&.

故答案为：V6;

21.若实数。满足|a-8|+正元=°,则a=74.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意得：a-10^0,解得a210,

・••原等式可化为：a-8+>/a-10=a,

即Ma-10=8,

...a-10=64,角窣得：（2=74.

22.已知xy=3,那么xf+y产的值是±2\伍.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：..•孙=3,

.•.%、y同号,

•••原式="旧+>后=击伤+杳伤’

当x>o,歹>0时，原式

当x<0,yV0时，原式=-伤+（-伤）=-273.

J原式=±2正.

23.已知实数x,y满足|x+5|W74=0，则（I+y）2赖=1.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：:|x+5|Wy-4=0，

/.x+5=0,y-4=0,

.*.%=-5,y=4,

/.（x+y）2006=（一5+4）2006=1.

三.解答题（共7小题）

24.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：aAb=a2-b2,根据这个

规则：

（1）求443的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）4A3=42-32=16-9=7；

(2)由题意得：(x+2)2-25=0,

(x+2)2=25,

x+2=±5,

x+2=5或x+2=-5,

解得：勺=3,x2=-7.

25.我们已经学过完全平方公式。2±2曲+62=(。±5)2,知道所有的非负数都

可以看作是一个数的平方，如2=(V2)3=(-V3)2,7=(V7)2,0=

02,那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求3-2-V2的算术平方根.

解：3-272=2-242+1=(V2)2-2^2+12=(V2-1)2J，3-2

加的算术平方根是我-1.

你看明白了吗？请根据上面的方法化简：

(1)V3+2V2

⑵Vw+sTs+^T

(3)肥-啦W5-2^/6+V7-2V12+V9-2720+711-2730.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)V3+2V2=V2+2^2+1=(72)2+2V2+12=V(V2+1)2=

V2+1；

(2)^10+8^(3+272)=V10+8(v12+l)=\''18+8^2=\''16+8^2+2=

V42+2X4XV2+(V2)2=V(4^2)2=4+如；

(3)原式=42-2\^+1+\/3-2\^+2+4W-271^+4+V4-2收+5+45-2^+6,

=7(V2)2-2V2+12+V(VI)2-2X72XV3+(A/1)2+

V(V3)2-2X2XV3+22+V22-2X2X+(V5)2+

V(V5)2-2XV5XV6+(V6)2»

=^/(V2-l)2+V(V3-V2)2+7(V3-2)2+A/(2W5)2+V(V5-76)2,

=-1+V^-J^+2-V3+V5-2+V6-V5,

=V6-1.

26.【知识链接】

(1)有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根

式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式.

例如：的有理化因式是丁^；1-{x2+2的有理化因式是1+,乂2+2,

(2)分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号

化去.指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的

有理化因式，达到化去分母中根号的目的.如：

1=1X(V2-1)=®-1,1==如

1+V2(V2+1)(V2-1)'V3+V2(V3W2)(V3W2)

-V2.

【知识理解】

(1)填空：2V^的有理化因式是—Vx—；

(2)直接写出下列各式分母有理化的结果：

①7-1厂二一W二遍一；②一f-1/—=-3A/2^V17_-

V7W63V2+V17

【启发运用】

(3)计算：_1__+_______+_____+1____

1W2V3W22W3而1班

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1),••24X4=2X,

•••24的有理化因式是

故答案为：Vx-

(2)①1=—,聿坐=-=V7-V6；

V7+v6(v7+v6)(V7-v6)

⑦I=3--VT7=3亚-V77

而(3V2W17)(3V2-V17)

故答案为：①VV-V^；②3V^-VT7.

(3)原式=_____®T_____+_____巡_料______+2-M+•..

(1W2)(V2-1)(V3W2)(V3-V2)(2+V3)(2-73)

+7n+]-Vii,

(Vn+1+Vn)(Vn+1-Vn)

=V2~1+V3~V2+2-%+…+Mn+l-五，

—Vn+1-1-

27.已知人少出忘石花是他+〃+3的算术平方根，Bb2n+3而加是机+2〃的立方

根，求8-Z的立方根.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：人少飞标百而是机+"+3的算术平方根,

・・"？一〃2,

•；B>-2n+3诟石是m+2n的立方根,

m-2〃+3=3,

••.联立得到方程组［m-n=2

_

|Lm2n+3=3

解这个方程组得：m=4,〃=2,

.•.4=3,B=2,

所以5-N的立方根为-1.

28.观察下列一组等式，解答后面的问题：

（V^+i）=1,（V3+V2）（Vs_V2）=1，（V4+V3）（^4-

V3）=i,（遥+y）（遥-'几）=i,…

（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：

（—r^—+y—1y—+y—1y—+…I/1/）（72016+1）•

V2+1V3+V2V4+V3V2016+V2015

（2）利用上面的规律，比较，与后的大小.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）原式=（V2-1+V3-V2+V4-V3+-+V2016-42015）

（V2016+1）

=（V2016-1）@2016+1）

=2016-1

=2015；

（2）V-=V12+VT1,

V12-V11

1.=后+值,

V13-V12

而V1WTI〈后+任，

•••Vi2-VTT>Vi3-Vi2.

29.先观察下列等式，再回答问题:

③小白六叶圭修

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证;

（2）根据上面的规律，可得

（3）请按照上面各等式反映的规律，试