2024年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷

2024年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学一模试卷

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分.)

I.（3分）2024的倒数是（）

A.2024B.-2024C.120241D.—L_

2024

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（X3）2=/B.x2+x3—x5

C.（-2油））3=一8a6/D.(a-b)(-a+b)=a~-b2

3.（3分）陈芋汐在2023年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水

的7个成绩分别是（单位：分）：9.0,8.5,9,0,9.0,8.5.这组数据的众数和中位数分别

是（）

A.9.0,8.5B.9.0,9.0C.8.5,8.75D.9.0,9.25

4.（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

5.（3分）若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为（）

A.6nB.8ITC.15nD.3On

6.（3分）下列命题中，真命题是（）

A.四边相等的四边形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分

D.矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质

7.（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆

面积.如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1（）

A.1B.2C.3D.4

8.（3分）如图，在矩形4BCD中，对角线/C,过点。作EFL4c交4D于点E,交.BC

于点尸.已知/8=4,则DB的长为（）

第1页（共36页）

E

AD

O

7^^C

A.2B.V5C.V6D.3

9.（3分）如图，点。是C7O/2。内一点，4D与x轴平行，BD=M，NBDC=120°,S

A.-673B.-6C.-12^/3D.-12

10.（3分）如图，抛物线夕=办2-也+4与直线夕=生什6经过点/（2,0）；抛物线与y

33

轴交于点C,与X轴交于另一点E,过点N的直线交抛物线于点“，且〃了轴；当点

N在线段上移动时（不与/、5重合），下列结论中正确的是（）

B.NBAC=NBAE

C.ZACB-NANM=L/ABC

2

D.四边形/CBM的最大面积为13

二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

II.（3分）分解因式：2加2-8=.

12.（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________

Vx-3

第2页（共36页）

13.（3分）清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小,

也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米.

14.（3分）南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八

百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形地的面积为864平

方步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为.

15.（3分）如图，在△/BC中，点。在线段/C上，若BF=5CF,四边形CDE尸是平行四

边形，则△/3C的面积为.

16.（3分）规定：若a=（xi,yi）,b=（物"），则a"=打了2+卬1.例如a=（1，3）,

b=（2,4）,则Z・E=1X4+3X2=1O.已知W=（X+1,X-2）,b=（x-3,4）,且1

WxW2,则a,b_________•

17.（3分）（1）如图①，RtZkNBC中，ZABC=9Q°,8C=8,点。是边NC的中点.以

点A为圆心，若点P是上述弧上的动点，点。是边BC上的动点；

（2）如图②，矩形/BCD中AB=200«，SC=300.£为CD中点，10为半径的圆弧

上选一处点P,边2C上选一处点。，10为半径的半圆的三等分点处，PM+NE的最小值

18.（3分）如图，在△45C中，ZABC=90°,满足M4=MC,AM//BC,连结30,作射

线BO交折线段/-M-C于点N,ON=3,则AM的长为.

第3页（共36页）

三.解答题（本大题共10小题，共96分）

19.（8分）⑴计算：（-i）3W^an45°-小

2

（2）化简：包:1.（1-2）.

aa

20.（8分）解方程与不等式组：

(1)X2+4X-1=0；

x-3

⑵J2+3>x+l

L1-3(X-1)<8-X

21.（10分）如图，已知N8=DC,AB//CD,且4尸=。£.

（1）求证：AABE沿ACDF；

(2)若4BC£=30°,NCBE=1G,求/CFD的度数.

22.（10分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字:

1,1,2,2,3

（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率

为;

（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀；否则，乙获胜.请

你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大.

23.（10分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，

随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间单位：〃），将收集的数据整理后分为

A,B,C,D,E五个组别，0,4,0.4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间t/h频数

A0VW0.55

第4页（共36页）

B0.5C/W1a

C1<0.520

DL5V/W215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

(1)本次调查的样本容量为,频数分布表中的。的值为;

(2)/组数据的众数为h,8组所在扇形的圆心角的大小为\

(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过lh的人数.

各组劳动时间的扇形统计图

24.(10分)如图，矩形/BCD中，E为/。的中点.

(1)在CD边上求作一点F,使得NCFB=2N4BE；

25.(10分)OO是△43C的外接圆，AB=AC,过点/作NE〃8C,过点C作于

点〃，交直线ZE于点D

(1)求证：OE是。。的切线.

26.(10分)图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车

架/8-CE-EF和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8cm,CD=30cm,DE=12cm,

第5页(共36页)

cosCD=A,当A,E,/C£F=135。.

5

（1）求/C的长；

（2）为方便存放，将车架前部分绕着点。旋转至按如图3所示方式放入收纳

箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据：72^1.4）.

27.（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-S+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x

=1,与〉轴交点坐标为（0,3）.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）点/、点2均在这个抛物线上（点/在点2的左侧），点/的横坐标为机，点2的

横坐标为4-〃?.将此抛物线上/、8两点之间的部分（含/、8两点）

①当点/在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求加的值；

②设点〃），点£（1,1-〃），将线段绕点。逆时针旋转90°后得到线段。凡

当ADEF（不含内部）和二次函数在x20范围上的图象有且仅有一个公共点时

28.（10分）如图1,四边形48c。中4D〃BC,/B=90°,tanC=A

3

（1）线段45=；

（2）如图2,点。是C。的中点，E、尸分别是40、5C上的点，将△口?方沿着尸。翻

折使C。与GO重合.

①当点E从点。运动到点/时，点G走过的路径长为»兀，求的长；

2

②在①的条件下，若E与4重合（如图3）,。为跖中点，将△口。沿尸。翻折得到

△PPQ,若△尸,尸。与△%尸厂的重合部分面积是尸厂面积的工

4

第6页（共36页）

（图1）（图2）（图3）

第7页（共36页）

2024年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.（3分）2024的倒数是（）

A.2024B.-2024C.120241D.―」

2024

【解答】解：2024的倒数是…1一,

2024

故选：D.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（X3）2=丫5B.x2+x3—x5

C.（-2/6）3=-8a6/D.(a-6)(-a+6)=a~-庐

【解答】解：/、原式=3,不符合题意;

B、原式不能合并；

。、原式=-8a%3,符合题意；

D、原式=-°2+3°6-序，不符合题意，

故选：C.

3.（3分）陈芋汐在2023年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水

的7个成绩分别是（单位：分）：9.0,8.5,9,0,9.0,8.5.这组数据的众数和中位数分别

是（）

A.9.0,8.5B.9.0,9.0C.8.5,8.75D.9.0,9.25

【解答】解：按照从小到大的顺序排列为8.5,3.5,9.4,9,0,由中位数的求解方法得到

这组数据的中位数为4.0；

这组数据中众数为9.5；

故选：B.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意;

B.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.该图形是中心对称图形，故本选项不符合题意；

第8页（共36页）

D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形.

故选：D.

5.（3分）若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为（）

A.6nB.8IIC.15TID.3On

【解答】解：圆锥的侧面积=2TtX3X8+2=15Tr.

故选：C.

6.（3分）下列命题中，真命题是（）

A.四边相等的四边形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分

D.矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质

【解答】解：/、可判断为菱形，

对角线相等的菱形是正方形，

C、正方形的两条对角线相等，故本选项错误，

。、菱形的对角线不一定相等，

故选：B.

7.（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆

面积.如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1（）

【解答】解：作/BLOC于点8,如图，

由题意可得，/AOB=36Q°+12=30°,

2

...这个圆的内接正十二边形的面积为：工XIX旦,

22

故选：C.

第9页（共36页）

8.（3分）如图，在矩形48co中，对角线/C,过点。作£F_L4c交40于点£,交BC

于点尸.已知/8=4,则DB的长为（）

c.V6D.3

由题意可得，为对角线NC的垂直平分线,

••AE=CES/\AOE=S/^COE=f

•・S”CE=2S/\COE=10.

：.^AE'CD=\Q,

2

'：CD=4,

；・AE=EC=6,

在Rt^CDE中，由勾股定理得：DE=y/^_^2.

故选：D.

9.（3分）如图，点。是CJCUBC内一点，与x轴平行，BD=M，Z5DC=120°,S

/\BCD=若反比例函数y=K（x<0）的图象经过C,则人的值是（）

第10页（共36页）

A.-6A/3B.-6C.-12A/3D.-12

【解答】解：过点C作轴，延长8。交C£于点凡

•.•四边形O/2C为平行四边形，

：.AB//OC,AB=OC,

:.NCOE=N1,

与y轴平行，

；.N1=NABD,ZADB=90°,

：.ZCOE=ZABD,

在△（%>£和中，

,ZADB=ZCEO

<NCOE=/ABD，

LOC=AB

.♦.△COE*△A8D（AAS）,

：.OE=BD=4^,

,/SmDC=—BD«CF=I-J3,

22

：.CF=1,

,：ZBDC^120°,

：.ZCDF=60°,

:.DF=3M，

点。的纵坐标为5愿，

设C（m,炳）,贝（w+3,4日），

•反比例函数>=巴（x<2）的图象经过C,

X

:・k=J^m=4

.\m=-12,

：.k=一12%,

第11页（共36页）

故选：c.

10.（3分）如图，抛物线了="2-也;+4与直线y=£+b经过点/（2,0）；抛物线与y

33

轴交于点C,与X轴交于另一点£,过点N的直线交抛物线于点且〃夕轴；当点

N在线段N2上移动时（不与/、3重合），下列结论中正确的是（）

A.MN+BN<AB

B./BAC=/BAE

C.ZACB-ZANM=^ZABC

2

D.四边形NCaW的最大面积为13

【解答】解：将点N（2,0）代入抛物线夕=亦8-4+4与直线歹=当

33

解得：a=—,b=-—,

43

设：A/■点横坐标为根,则M（加，竺层-7M+4）,^.m--）,

3583

其它点坐标为/（6,0）,4）,8）,

则N3=8C=5,则

：.AABC是等腰三角形.

/、当"N过对称轴的直线时、N的坐标分别为（旦，-工）、（2,2）,

3622

由勾股定理得：BN=空，而

64

BN+MN=5=AB,

故本选项错误;

第12页（共36页）

B、•.,3C〃x轴(B,

：.ZBAE=ZCBA,而△NBC是等腰三角形不是等边三角形,

ZCBA^ZBCA,

：.ZBAC=ZBAE不成立，

故本选项错误；

C、如图、BFLAC,

■:A4BC是等腰三角形，

，时是/A8C的平分线，

易证：NCAD=NABF=£/ABC,

而//C3-ZANM=ZCAD=1.^/ABC,

故本选项正确；

D、S四边形4cBM

S^ABC=10,

SYBM=AMN・(XB-XA)=-m2+2m-10,其最大值为？，

24

故S四边形4CBA/的最大值为10+——12.25,

4

故本选项错误.

故选：C.

二.填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

11.(3分)分解因式：2ml-8=2解+2)(加-2).

【解答】解：2m2-6,

=2(m2-6),

=2(m+2)(m-3).

故答案为：2(m+2)(m-2).

12.(3分)若代数式丁堂有意义，则实数x的取值范围是x>3

Vx-3

第13页(共36页)

【解答】解：•.•代数式‘1一有意义，

Vx-3

：.x-4>0,

解得x>3.

故答案为：x>4.

13.(3分)清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小,

也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米8.4X10”.

【解答】解：0.0000084=8.4X106.

故答案为：8.6X10-6.

14.(3分)南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八

百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形地的面积为864平

方步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为x(60-x)=864.

【解答】解：•.,长与宽的和为60步，且矩形的长为x步，

，矩形的宽为(60-x)步.

根据题意得：x(60-x)=864.

故答案为：x(60-x)=864.

15.(3分)如图，在△/8C中，点。在线段ZC上，若BF=5CF,四边形CDE产是平行四

边形，则△NBC的面积为24.

【解答】解：如图，连接EC,

•.•四边形是平行四边形，

C.DE//CF,EF//CD,

：.AM//DE//CF,AC//FM,

...四边形ACFM是平行四边形，

边。£上的高和△CDE的边。£上的高相同,

:.SABDE=S&CDE,

第14页(共36页)

同理：S"DE=S"ME，

•*S平行四边形ZCFM=2义6=12,

设平行四边形4a7M的边CF上的高为h,

则CF・h=12,

°：BF=7CF,

：.BC=4CF,

S“BC=—BC9h=—,

82

故答案为：24.

16.（3分）规定：若a=（xi,yi）,b=（%2,歹2）,则a-B=%U2+%2yi.例如a=（L3）,

b=（2,4）,则Z・E=1X4+3X2=1O.已知Z=（X+1,X-2）,b=（%-3,4）,且1

4W2,则m10.

【解答】解：根据题意知：a*b=（x-3）（x-2）+8（x+1）=（%-A）2+^-L.

44

因为6WxW2,

所以当x=l时，W'E取最小值Z・E=10.

即a・b的最小值是10.

故答案为：10.

17.（3分）（1）如图①，RtZ\N3C中，ZABC=90°,8C=8,点。是边NC的中点.以

点/为圆心，若点P是上述弧上的动点，点0是边2C上的动点—赤？-2—；

（2）如图②，矩形/BCD中AB=200«，3c=300.£为C〃中点，10为半径的圆弧

上选一处点尸，边BC上选一处点。，10为半径的半圆的三等分点处，PM+NE的最小值

是570.

第15页（共36页）

（图①）（图②）

【解答】解：（1）如图①，作点。关于2C的对称点。'、AP,

则QD=QD,DK=DK,

（图①）

：.PQ+QD^PQ+QD'^AQ-AP+QD',

当ap、。、。在同一条直线上时，

VZABC^90°,AB=6,

AC=VAB2+BC6=Ve2+22=10，

:点。是边/C的中点，

.1

••CD-yAC=5>

'：DK//AB,

：./\CDK-ACAB,

•DKCKCDDKCK5

••==,m卬J==,

ABBCAC6410

：.DK=3,CK=6,

：.D'K=3,BK=4,

;NE=/EBK=/BKD、=90°,

第16页（共36页）

・・・四边形5瓦yK是矩形，

：・DE=BK=6,BE=DK=3,

：.AE=AB+BE=6+2=9,

♦,•AD，=VAE2+DyE2=792+62=V97-

;AP=2,

J.PQ+QD的最小值=何-6，

故答案为：V97-2；

(2)如图②，连接MQ,过点。作QKLMN于K,将E向左平移10得到点E,过点/

,：M、N是半圆。的三等分点，

...△QW为等边三角形，S.MN//BC,

■:QKLMN,QM=1O,

，QK=5遥，

.•.随着圆心0在2C上运动，在平行于且到3c距离为5«，

■:EE//MN且EE=MN=10,

四边形EEMN是平行四边形，

：.NE=ME,

：.PM+NE=PM+ME》AM-AP+ME'=AM+ME'-10,

是cr)的中点，

DE-|cD=100>/3>

•1.EL=AA-DE=3(AB-QK)-DE=2X(20073-473)-10073=29073,

第17页(共36页)

AL=BC-EE=300-10=290,

在皮中，

AE，=VAL2+EZL2=72903+（29QV3）2=580Y，

：.PM+NE最小值=/E-AP=580-10=570,

故答案为：570.

18.（3分）如图，在△45C中，ZABC=90°,满足M4=MC,AM//BC,连结20,作射

线8。交折线段/-M-C于点N,ON=3,则4M的长为3+小后或1+JR.

【解答】解：分N在和CM上两种情况：

①当N在CW上，分别延长4W,并交于点P,

,：ZABC=90°,。是边NC的中点，

：.OA=OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

"：MA=MC,

：.NMAC=ZMCA,

■:AM//BC,

：./MAC=/OCB,

在△E4O和△C3O中，

rZMAC=Z0CB

，0A=0C，

LZA0P=ZC0B

:.△PAgXCBOCASA）,

：.OP=OC,

；.OA=OC=OB=OP,/P=/OBC=/MCA,

:.△MNPs^cNB,丛MNPs丛ONC,

第18页（共36页）

・MN=NPMN=NP

*'CNNB，ON而‘

^MA=MC=x,

■:MN=2,ON=3,

-7=OB-3,2=OB-2,

x-2OB+73x-2

：.OB=3x,OB=2X+5,

x-28

.•.也=8x+5,

x-43

：.X4-6X-10=0,

解得x=4+Ji5或x=3-舍去),

经检验，x=3+，逋时，

...x=3+J历是原方程的解；

②当N在/M上时，连接CN,

,：ZABC=90°,。是边/C的中点，

：.OA=OB=OC,

'：AM//BC,

：.NMAC=NOCB,

在△/ON和△COB中，

rZMAC=Z0CB

<AO=CO，

,ZA0N=ZC0B

:.△AON冬ACOB(ASA),

：.AN=BC,ON=OB,

：.OA=OC=OB=ON=3,AN=AM-MN=x-2,

VZABC=90°,

，四边形48CN是矩形，

:.NANC=/CNM=90°,

第19页（共36页）

：.CN4=AC2-AN2=CMS-MN2,

VAC=AO+CO=6f

2

.9.5-（x-2）7=X2-26,

.*.x2-2x-18=2,

解得x=l+J否或x=l-d再，舍去），

综上所述：4M的长为：5+小历或1+J历.

故答案为：3+«19或5+A/19.

三.解答题（本大题共10小题，共96分）

19.（8分）（1）计算：（-l）3W^tan45°-

2

（2）化简：三二1.（1-2）.

aa

【解答】解：（1）原式=-1+&X3-2加

=-7-V2；

(2)原式=(a-2)(a+5)+至工

aa

=(a-2)(a+6)•a

aa-2

=a+2.

20.(8分)解方程与不等式组：

(1)X2+4X-1=0；

1-3(x-l)<8-x

【解答】解：(1)移项得，X2+4X=2,

配方得，X2+4X+7=1+4,

即(x+6)2=5,

;

解得：X3=-2+V5-X3=-2-V5

⑵^"+3>x+5①

」-3(x-6)<8-x②

解不等式①得

解不等式②得X>-5,

第20页（共36页）

故不等式组的解集为：-2<xWl.

21.(10分)如图，已知N8=DC,AB//CD,且/尸=C£.

(1)求证：AABEmACDF；

(2)若/8CE=30°,ZCBE=10°,求/CFO的度数.

【解答】(1)证明：\AB//CD,

：./BAE=ZFCD,

'：AF=CE,

：.AE=CF,

又<AB=CD,

.,.△ABE妾ACDF(S/S).

(2)解：•:/BCE=3Q°,NCBE=1Q°,

：.ZAEB=ZBCE+ZCBE=3Q°+70°=100°,

AABE丝ACDF,

：.ZCFD=ZAEB=]Q0°.

22.(10分)甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字:

1,1,2,2,3

(1)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为_2_；

5

(2)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀；否则，乙获胜.请

你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大.

【解答】解：(1)1，1,3,2,3中，4,

甲从中任意摸出一个小球，这个小球的编号是偶数的概率为2.

5

故答案为：A.

5

(2)列表如下：

15227

1(1,3)(1,1)(5,2)(1,2)(1,3)

第21页(共36页)

6(1,1)(2,(1,6)(1,2)(4,3)

1)

2(8,1)(2,8)(2,(8,2)(2,5)

2)

2(2,3)(2,1)(2,2)(2,7)(2,3)

3(3,1)(7,(3,4)(3,2)(5,

1)3)

共有25种等可能的结果，其中摸出两个小球编号之和为偶数的结果有：(1,(7,(1,(1,

(4,(1)(2,(3)(2,(2,(4,(3)(3,共13种，

摸出两个小球编号之和为奇数的结果有：(4,2),2),8),2),1),3),3),1),7),3),

2),7),

甲获胜的概率为工3,乙获胜的概率为工2.

2525

•••-13--5"-^-12，

2525

，甲获胜的概率大.

23.(10分)劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，

随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间单位：h),将收集的数据整理后分为

A,B,C,D,E五个组别，0,4,0.4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间t/h频数

A0VK0.55

B0.5V/W1a

C20

D1.5VW215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

(1)本次调查的样本容量为60,频数分布表中的a的值为12；

(2)N组数据的众数为0.4h,3组所在扇形的圆心角的大小为72。：

第22页(共36页)

（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过球的人数.

各组劳动时间的扇形统计图

【解答】解：（1）本次调查的样本容量为15・25%=60.

频数分布表中的。的值为60-5-20-15-8=12.

故答案为：60；12.

（2）由题意可知，/组数据的众数为2.4〃.

3组所在扇形的圆心角的大小为360°X」2=72°.

故答案为：0.2；72°.

（3）1200x20+15+8=86。（名）.

60

...该校学生劳动时间超过lh的约有860名.

24.（10分）如图，矩形/BCD中，£为/。的中点.

（1）在CD边上求作一点尸，使得NCFB=2N4BE；

:（2L）在（1）中，若AB=9,BC=6

【解答】解：（1）如图，过点E作斯，3E交CD于点G

延长BE和CD交于点M,

；四边形48CD是矩形,

：.CD//AB,

：.NM=NABE,ZCFB^ZABF,

:E为AD的中点.

第23页（共36页）

：.DE=AE,

在△£)£以和中，

，ZM=ZEBA

-ZMED=ZBEA-

,DE=AE

^DEM^/XAEB(AAS),

：.EM=EB,

；EFLBE,

...EB是线段M?的垂直平分线，

：.FM=FB,

：./M=ZFBM,

,：NCFB=ZM+ZFBM,/ABF=ZABE+ZFBM,

:.NCFB=2/ABE；

(2):四边形/BCD是矩形，

：.CD=AB=9,AD=BC=4,

：.DE=AE=3,

,：EF2+BE2=BF2,

：.(37+DF2)+(38+62)=(8-£>F)2+66,

解得DF=1,

:.CF=CD-DF=9-3=8,

BF=寸g5+g2=10.

跖的长.

25.(10分)O。是△NBC的外接圆，AB^AC,过点/作NE〃3C,过点。作8,3月于

点H,交直线/£于点D

(1)求证：是。。的切线.

(2)已知BC=4遍，tanZD=--求。£的长度.

BC

第24页（共36页）

【解答】(1)证明：过点/作/尸，BC,垂足为R

;AB=AC,AFLBC,

，/尸是8C的垂直平分线,

二/尸过圆心O,

'JDE//BC,

：.ZEAO=ZAFB=90°,

'：0A是圆。的半径，

是。。的切线；

(2)解：连接。C,

"DE//BC,

：.ND=NDCB,

.".tanZDCB=tanD=—,

2

■:CHLBE,

:./BHC=/OHC=/DHE=90°,

在RtZ\87/C中，tanNZX?B=EK=_l,

CH2

:.设BH=x,则C"=2x,

,：BH'1+CH2=BC1,

/.x8+（2x）2=（7遥）2,

.••x=±4（负值舍去），

：.BH=4,07=8,

设。。的半径为r,

第25页（共36页）

在RtzXOHC中，OH5+Ctf=Oe,

（r-4）2+86=^,

.*.r=10,

：.OC=OA=OB=10f

：.OH=OB-BH=10-4=7,

VZDHE=ZEAO=90°,

ZE+ZAOE=90°,Z£+ZD=90°,

・•・ZD=ZAOE,

，tanN4OE=tmZD=—,

2

在RtZX/OE中，AE=AOtanZAOE=lOxk,

2

:,OE=VA02+AE6=V103+52=3通.

26.（10分）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车

架48-CE-M和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8c〃z,CD=30cm,DE=12cm,

cosZACD=A,当/,E,NCE尸=135°.

5

（1）求/C的长；

（2）为方便存放，将车架前部分绕着点。旋转至按如图3所示方式放入收纳

箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据：加仁1.4）.

第26页（共36页）

B

•：/CEF=\35°,

AZAED=180°-ZCEF=45°,

AZHAE=90°-ZAEH=45°,

：.AH=HE,

设AH=HE=xcm,

VCD=30cm,DE=12cm

：.CE=CD+DE=42(cm),

：.CH=CE-EH=(42-x)cm,

在RtZ"S中，cos//CD=qi=当，

AC5

・••设C//=5〃，AC=5a,

AH=7AC2-CH2=V(5a)2-(7a)2=3a^

：.tanZACH=胆=---=—=—,

CH42-x4a3

•*»x=18,

经检验：x=18是原方程的根，

・・・4H=18,

・・・3。=18,

・・q=6,

.'.AC=4a=30(cm),

.'•AC的长为30cm；

(2)该滑板车折叠后能放进长〃=100。冽的收纳箱,

理由：过点。作垂足为

第27页（共36页）

:・/NED=18G°-/DEF=45°,

；・/NDE=90°-ZNED=45°,

:・ND=NE=DE,cos45°=12X也=8历

2

在RtZXOMC中，CD=30cmA,

6

.\CM=CD«COSZ^CD=30XA=24（cm）,

5

，：AC=30cm,

：.AM=AC-CM=30-24=4（cm）,

，折叠后的总长=S+AM+NE+EF+8

—5+6+6A/^+68+8

处98.4（cm）<lOOcw,

该滑板车折叠后能放进长a=100c加的收纳箱.

27.（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-r^+bx+c（6、c为常数）的对称轴为直线x

=1,与〉轴交点坐标为（0,3）.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）点/、点2均在这个抛物线上（点/在点2的左侧），点/的横坐标为机，点8的

横坐标为4-加.将此抛物线上/、8两点之间的部分（含/、8两点）

①当点/在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求a的值；

②设点〃），点E（1,1-〃），将线段绕点。逆时针旋转90°后得到线段。凡

当ADEF（不含内部）和二次函数在x20范围上的图象有且仅有一个公共点时

【解答】解：（1）:抛物线y=-/+6x+c的对称轴为直线x=l,

/.-------=L

4X（-1）

:抛物线与y轴交点坐标为（0,3）,

第28页（共36页）

.,.c=8,

・・・此抛物线对应的函数表达式为＞=-f+2x+2；

(2)①抛物线解析式为y=--+2x+8=-(x-1)2+4,

令＞=0，得：0=-(%-7)2+4,

解得：x=-5或x=3,

故抛物线与1轴的交点为(-1,3),0)；顶点坐标为(1,

4-(-m2+8m-5)=6,

解得：加=7-或加=3+，^,舍去);

当1＜加＜2时，如图2,

-m2+2m+5-（-m2+6m-8）=6,

解得：机=工（不合题意，

3

综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，加的值为3-&;

图3

VD(5,n),1-n\

:・DE=1-n-〃=8-2n,

由旋转得：DF=DE,ZEDF=90°,

：・F(2n,孔),

・,・直线EF的解析式为y=x-n,

联立方程组得：x-/+2x+3,

整理得：-x-(几+3)=0,

*：ADEF（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点,

A=(-1)2-2XlX[-(〃+3)]=8,

解得：n=--,

4

：.n<-H；

4

当-2W〃V工时，如图7；

2