江苏省连云港市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设加为实数，M=[2,fn\,N={2m,2},若加=川,则加的值为（）

A.0B.1C.2D.4

2.复数z=W在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段（）

A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形

4.己知”=（一3,1）,6=（1,-2）,^（2a-b）L（a+kb）,则实数上的值为（）

A.-B.-C.-D.5

632

5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）

以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500

元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人.如

图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒

D.4

6.已知口为钝角，sina+sin2^=sin2f^+^j+sin2[

则a=()

7兀B,”3兀5兀

A.C.D.

723T~6

7.用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为30cm,桶底直径为25cm,

母线长是27.5cm.已知每平方米需用油漆120g,共需用油漆（精确到0.1kg）（）

A.6.7kgB.6.8kgC.6.9kgD.7.0kg

8.在梯形ABC。中，山为钝角，且AB=AD=2OC=2,若E为线段3。上一

点，AE=BE,则BE-AC=（）

二、多选题

9.一组样本数据如下：82,83,85,85,87,88,则该组数据的（）

A.极差为6B.平均数为85

C.方差为26D.第80百分位数为87.5

10.已知直线氏/,平面则下列结论正确的有（）

A.若&〃£,/?〃/,则〃/B.若a1d。］丫,则夕_17

C.若a/,贝D.若。〃〃民e/3=1,贝1|a〃/

11.在VABC中，AC=4,A3=5,3C=6,。为AC的中点，E为3。的中点，延长AE交线段

BC于点/，贝I］（）

A.H组

B.AE=3EF

4

Z-O

c.zXBEF的面积为半

D.AEBC=——

88

三、填空题

12.已知％>0,y>0,且孙=9,则工+工的最小值为.

%y

13

13.在VABC中，tanA=-,tanB=-,若VABC最短边的长为友,则最长边的长为.

14.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较

大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍,若这两个圆锥的体积之和为4兀，则球的体积为

四、解答题

15.在VABC中，角AB,C的对边分别是a,b,c,且2ccos3=acos3+灰:osA.

⑴求角8的大小；

（2）若6=旧，3a=4c,求VABC的面积.

试卷第2页，共4页

16.已知三种不同的元件x,y,z,其中元件x,y正常工作的概率分别为060.8,每个元件

是否正常工作不受其他元件的影响.

ly1

-X—Y—-X—-----—

------------------TZ

系统S系统T

(1)用元件x,y连接成系统s(如左图)，当元件x,y都正常工作时，系统s正常工作.求系

统s正常工作的概率;

(2)用元件x,y,z连接成系统T(如右图)，当元件x正常工作且Y,Z中至少有一个正常工作

时，系统T正常工作.若系统T正常工作的概率为0.57,求元件Z正常工作的概率.

17.如图，在正方体中，E为棱的中点.

求证：(1)22〃平面胡C；

(2)平面£4C_L平面

18.(1)已知二£|。,耳万£1万兀,兀,且sin(a+/)=­°,sina=®.求cos/?的值;

2565

(2)已知2sin(2a—4)+sin)=。，且a—夕。巴+w红，左£Z.求瑛一21的值.

22tana

19.如图，已知各边长为4的五边形尸CD由正方形ABCD及等边三角形5C下组成，现

将沿BC折起，连接E4,在得到四棱锥尸-ABCD,且二面角方A的正切值

为

(1)求证：四棱锥方-ABCD为正四棱锥；

(2)求平面E4D与平面FBC所成的锐二面角的余弦值;

(3)若点E是侧棱FC上的动点，现要经过点E作四棱锥歹-ABC。的截面，使得截面垂直于

侧棱FC,试求截面面积的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据集合相等得到加=2根，解得即可.

【详解】因为M={2,m},N={2〃z,2},若河=",

所以"?=2m,解得m=0.

故选：A

2.D

【分析】先根据复数的除法运算求出复数z,再根据复数的几何意义即可得解.

2-i（2-i）（3-4i）2-lli

【详解】z=

3+4i-（3+4i）（3-4i）-25

所以复数z=w在复平面内所对应的点为位于第四象限.

故选：D.

3.B

【分析】首先设VA3C的三边分别为a=5,b=6,c=7,得到角C为VA3C最大的角，再

根据cosC='+6一一7->0得到c为锐角，即可得到答案.

2x5x6

【详解】由题知：设丫川（7的三边分别为。=5,b=6,c=7,

因为c>a>b,所以角C为VA3C最大的角.

,2,z-2_1-12

因为cosC=>0,0<C<^,

2x5x6

所以C为锐角，故三角形为锐角三角形.

故选：B

4.B

【分析】首先求出2a-人：+高的坐标，依题意（2a-今（a+助=0,根据数量积的坐标

表示得到方程，解得即可.

【详解】因为a=（_3,l）,6=（l,_2）,

所以2j=2（_3,l）_（l,_2）=（_7,4）,

a+kb=（-3,r）+k（l,-2）=（k-3,l-2k）,

又（2a_6）_L（a+Z:6）,所以（2a-6）-（a+左6）=—7伏一3）+4（l-2Z）=0,解得

答案第1页，共11页

故选：B

5.C

【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数.

【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为

（0.01+0.005）x10=0.15,

所以样本中属于醉酒驾车的人数约为20x0.15=3人.

故选：C

6.D

【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出sina,即可得解.

（详解】因为sina+sir??=sin20+sin2（Q一宗1'

（•fj兀fj-兀）｛•n兀n,兀）

=sinpcos—+cospsin—+sinpcos----cos/>sin—

l66；V66J

（61YJV3.1Y

=|^^-sinp+—cospj+|^^-sin/>-—cosp

391oo1

=—sin-/5+—cos-P=sin-y0+—,

所以sina=!，

2

5兀

又a为钝角，所以&=?.

6

故选：D

7.C

【分析】根据圆台侧面积公式求出“，则一个桶需要涂漆面积为S=2（S恻+S底），进而求解.

［详确军】30cm=0.3m,25cm=0.25m,27.5cm=0.0275m,120g=0.12kg,

s恻=nx0.275x（与+产］=0.275x0.275兀，=7r.^J=0.125x0.125元，

故一个桶需要涂漆面积为S=2（%+5底）=0.1825K,

故100个桶需要涂漆为：100x0.12x0.1825,1«6.9kg.

故选：C.

8.B

答案第2页，共11页

【分析】根据题意，取中点0,因为AE=BE,所以OELAB,以AB,OE为羽V轴建立

直角坐标系，根据BE//BD，得。=------7，从而计算8E-AC.

【详解】根据题意，取A5中点。，因为=B石，所以O£_LAB,

以AB,0石为羽V轴建立直角坐标系，则A(-1,0),5(1,0),

^ABAD=a<TI^,E(0,〃)，

则D(2coscr-1,2sincr),C(2cosa,2sincif),

贝!JBE==(2cosa-2,2sina),AC=(2cosa+1,2sina),

因为BEUBD，贝1JTx2sina=tz(2cosa-2),

,,sinaEIisina、

的Q=;----------，贝iJ5E=-1,^-----------,

1-coscrv1-coscrJ

口“，一y/八八2sin2a2cos2cr-coscr-l+2sin2a

且•AC=-1x(2cosa+1)+------------=-------------------------------------

l-cosa1-cosa

故选：B

【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据3E/ABQ，确定点石的坐标，再坐标法计算数量积.

9.AB

【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义逐一计算即可.

【详解】对于A,极差为88-82=6,故A正确;

82+83+85+85+87+88

对于B,平均数为=85,故B正确;

6

=y,故C错误;

对于D,80%x6=4.8,所以第80百分位数为87,故D错误.

故选：AB.

10.ACD

【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可.

答案第3页，共11页

【详解】对于A,因为。〃△4〃7,由平面平行传递性可得a〃7,故A正确；

对于B,aL/3,/3Ly,则a与7可以平行，也可以相交，故B错误；

对于C,根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正

确；

对于D,根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故

D正确；

故选：ACD

11.ABD

【分析】对于A,由+两边平方，并求出cos/CM,即可求解；对于B,

22

设和一曲可得”=AC+]M，根据三点共线的性质即可求解；对于C,根据E为

AF靠近下的四等分点，下为CB靠近B的三等分点，可得取法='5钻一求S.c即可；对

于D,由=+化简可得答案.

【详解】因为VABC中，AC=4,AB=5,BC=6,

对于A,由题可得c-八族U=?因为。为AC的中点，E为加的中点，所

以4£=工4。+工43,则

22

2(11Y12121251163

AE=-AD+-AB=-AD+-AB+-AD-AB=1+—+-x2x5x-=—

u2J4424288

所以|AE卜杵=半，故A正确；

1111夕；

对于B,由AE=—AD+—A3=—AC+—设AF=；L4E，所以Ab=-AC+—AB,

224242

oiAa

因为C,F,B三点共线，则7+7=1,解得彳=；,则=所以AE=3EF，故B

4234

正确；

317

对于C,由于AE=/A尸，所以E为AF靠近尸的四等分点，由于A尸=34。+耳42,所以F

为CB靠近B的三等分点，故品£〃=：，35.0=154"

答案第4页，共11页

由于COSNCAB=G，Z.CABE.(0,7i),所以sinNCA6=,则

o

」“4义5』.

qABC

284

=Lx"也二些，故C不正确;

所以SBDtELFr=-]-2S,ABC

12416

对于D,

1211-2)u12563乜

AEBC=-AC+-AB\(AC-AB\=-AC+-ACAB-—AB=4+5x--------一胃，故D

4244282o

正确;

故选：ABD

12-1

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】因为％>0广>0,且孙=9,

匚511c112

所以一十一之21——=|,当且仅当x=y=3时取等号.

%y%y

2

故答案为：—

13.Tn

【分析】易得0<A<3<TT],贝|。<6,再利用两角和的正切公式求出tanC,即可得出最长

边和最短边，再利用正弦定理即可得解.

i3

【详解】由tanA=—,tanB=—,A,BG(0,K),

457

TT

得0<A<JB<—,所以a<Z?,

2

-/4八、tanA+tanB,八

tanC=-tan(A+B)=--------------------=-1<0,

'71-tanAtanB

jr37r

所以上<C〈兀，所以C=把，所以a<6<c,

24

故〃二血，。为最长的边,

tanA=cosA=4J得cosA=4sinA,

则sin?A+cos2A=17sin2A=1，

所以sinA=\^（sinA=一卡舍去）,

答案第5页，共11页

四X0

casinC

由正弦定理得二所以C=

smAsinCsinA1

即最长边的长为府.

故答案为：V17.

32万,32

14.-----/—兀

33

【分析】设圆锥与圆锥邑。公共底面圆心为。一两圆锥公共底面圆周上一点A,底面

半径厂=。H，设球心为。，球的半径尺=。4,根据圆锥的体积得到S2a=350，再由

s^+sp.^R,即可表示邑q、sq,再由勾股定理得到『与R的关系，最后由圆锥的体

积求出R,即可求出球的体积.

【详解】

如图，设圆锥与圆锥yQ公共底面圆心为0一两圆锥公共底面圆周上一点A,底面半

径r=O|A,设球心为0,球的半径R=OA,

由匕⑼=?产HQ,匕g=$小必，

y—兀-2s2。1sQ

又泮——=3>即^^=3,即邑a=3S0,又邑a+S，=2R,

13

所以。，

31=5nS2OX=-R,

所以OQ=gR,又„+r2=R2,所以「=孝氏，

答案第6页，共11页

又匕O=!兀r?S。+J"2so=471,

/3413II

即,兀x^-RX—R+—71Xx—7？=471,解得H=2,

32J23(2)2

44QOjr4,7

所以丫=9兀&=：兀＞23=当，即球的体积为一r.

3333

故答案为：掾32兀

71

15.(1)-

3

(2)373

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;

(2)由余弦定理求出。、。，再由面积公式计算可得.

【详解】(1)因为2ccosB=acosB+ZTCOSA,

由正弦定理可得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA,

即2sinCcosB=sin(A+B)=sin(K-C)=sinC,

又。«0,兀)，所以sinC>0,所以cos3=],

又5£(0,兀)，所以3=1.

(2)由余弦定理廿=々2+C2—2QCCOSB,即13=/+/一々0，

=4

又%=4c,解得。(负值已舍去)，

[c=3

所以S^ABC=；〃csinB=；x4x3x=3A/3.

16.(1)0.48

(2)0.75

【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算可得；

(2)记元件Z正常工作为事件。，系统了正常工作为事件N,则

P(N)=P(ABC+A5e+A瓦，，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可.

【详解】(1)记元件X正常工作为事件A,元件丫正常工作为事件

答案第7页，共11页

系统S正常工作为事件贝|J尸（A）=0.6,P（B）=0.8,

所以P（M）=P（A）P（B）=0.6x0.8=0.48；

（2）记元件Z正常工作为事件C,系统T正常工作为事件N,

则P（N）=P（ABC+ABC+ABC^

=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=P（A）-P（B）-P（C）+P（A）-P（B）-[1-P（C）]+P（A）-[1-P（B）]-P（C）

=0.6x0.8xP（C）+0.6x0.8x[l-P（C）]+0.6x0.2xP（C）=0.57,

解得P（C）=0.75,即元件Z正常工作的概率为0.75.

17.（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（2）借助题设运用面面垂直的判定

定理推证.

【详解】（1）连8。交AC于0,连EO,

因为0为班）的中点，E为DR的中点，所以EO//B]

又BD、（Z平面EAC,EOu平面EAC,

所以22〃平面RiC

（2）因为AC_LBD,DD]_L平面A3C£>,所以。2于。，

所以AC,平面所以ACJ.B2

同理可证4月1.82，

又ACcAB]于A,所以BDJ平面MC,

因为EO//B2，所以平面明C,

又EOu平面E4C,

所以平面以CJ_平面MC.

253

18.（1）------.（2）—3.

325

【分析】（1）把题目给的两角和a+夕看成一个整体，则£=（。+6）-&,结合已知条件再

答案第8页，共11页

运用和差公式化简求值即可.

（2）把a一夕看成一个整体，把条件2sin（2切-0+sin〃=O变形为

2sin[（a-尸）+a[=sin[（a-4）-a],再运用和差公式化简求值即可.

【详解】（1）:.a+(3e.

34

sin(a+/3)=--cos(a+尸)=_Jl-sir?(a+p)

5

，加=臾­=小=5，

6565

cos/3=cos[(a+

63253•

=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sincif=-^x-^-+x——=

65325

253

故答案为:

325

(2)2sin(2cr—/7)+sin；0=0,

/.2sin(2a-乱=一sinyff=sin(-/7),即2sin[(a—分)+a[=sin](a—⑶—a],

2sin(a-£)cosa+2cos(a-/?)sina=sin(二一77)cosa-cos(a-/?)sina

sin(<z-/?)cosa=-3cos(cr-/?)sincr,又,a—0手5+kit,a手~^,ksZ,

/.cos(a-7?)w0,cosaw0,tanawO,

an

/.tan(6Z-/?)=-3tancr,即，(0__n=_3.

tana

故答案为：-3.

19.(1)证明见解析

⑵工

3

016立

\'-5/-

【分析】（1）根据过点歹作R9，面ABC。，垂足为。，取BC中点T,连接尸7,。7,二面

角尸-3C-A的正切值为&,验证。的为正方形ABC。的对角线的交点，从而得证；

（2）利用二面角的定义确定二面角的平面角，求解即得；

（3）通过在图形中找到与FC垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的

答案第9页，共11页

情况，计算出面积；

【详解】(1)证明：过点尸作R9上面ABC。，垂足为0,取BC中点T,连接FT,OT,如

图所示，

FT±BC,FO±BC,FO,TF是平面TFO内两条相交直线,

//G0I

AB

.•.3C_L平面7FO.

.OTu平面TFO,.•.7O_L3C,二面角尸—3C—A的平面角为ZFTO.

tanZFTO=及，:.sinZFTO=—

3

在等边三角形BCF边长为4,根据勾股定理可得FE=7FC2-TC2=742-22=2』,

在直角三角形TFO,-=^-,:.FO=2s[2,O