2025年高考数学大题复习：用空间向量解决立体几何问题的六种题型（原卷）

第08讲用空间向量解决立体几何问题的六种题型

考法呈现

弘考法一：用空间向量证明平行或垂直

一例题分析

【例7】

如图所示，已知矩形力BCD和矩形力DEF所在的平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,4E上，且BM=^BD,

AN=^AE.求证：MN1AD.

E

D

M

BC

【例1-2】

在三棱台力iBiCi-力BC中,ZBXC=90°,ArA1平面ABC,ArA=聒AB=AC=2A1C1=2,。为BC的中

点.证明：平面力，平面BCC/i.

满分秘籍

用向量法证明异面直线垂直，可以用基向量法，也可以用空间直角坐标系。通过方向向

量（或法向量）之间的关系证明垂直或平行。

9变式训练

【变式1-1］如图，在直三棱柱ABC—4ZC1中，点E,尸分别为线段48,4M的中点，=AC=BC,AACB=

90°.证明：EFl平面BiCE.

【变式1-2］如图，已知六面体4BCDPE的面ABCD为梯形，AB//CD,AB1AD,AB=2,CD=力。=4,

棱PA1平面ABC。，PA//BE,PA=4,BE=2,F为PD的中点.

(1)求证：4F〃平面PBC；

(2)求直线8E与平面PCD所成角的大小.

【变式1-3］如图，在长方体力BCD—中，40=441=1,=3,点£在棱力B上移动.

AEB

(1)证明：DXELAXD-,

(2)当版=1卷时，求小E与平面力CD1所成角的正弦值.

【变式1-4】如图所示，在正方体力BCD-&B1C1D1中，。为AC与8D的交点，G为。的的中点，求证：401

平面G8D.

弘考法二：用空间向量解决异面直线成角问题

悬，例题分析

【例2】已知三棱台力iB]Ci-ABC,A141面ABC,4A1B1=AB=AC=4,cos/B4C=—3。是线段AM

中点，且BD1DC.

(1)证明：BD1FjC；

(2)请选择合适的基底向量，求直线BiC与所成角的余弦值.

满分秘籍

1.图示:

2.计算公式:

UV

cos8=|qos〈〃，v)\=\u\\v\~\u\\v\

3.易错点：向量的夹角并不一定是异面直线的成角。

变式训练

【变式2-1】已知正方体ABCD—&B1C1D1，点E为4中点，直线%的交平面CDE于点F.

⑴证明：点尸为8修1的中点；

⑵若点M为棱A/上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为誓，求普的值.

Z54I%

【变式2-2］如图，平行六面体4BCD—&B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDAQ1平面48CD,ADLDC,

二面角。1一4。一。的大小为120°,E为棱3%的中点.

⑵点尸在棱CG上，AE〃平面尸，求直线/£与。F所成角的余弦值.

【变式2-3】如图，在三棱台ABC—&B1C1中，BA1BC,平面力i/BA，平面4BC,二面角Bi—BC-4

的大小为45°,4B=2,BC=&Bi=44i=1.

⑴求证：A4「平面ABC；

(2)求异面直线B4与所成角的余弦值.

【变式2-4］如图，在三棱锥P-力BC中，P41底面ABC,NB4C=90。.点D、E、N分别为棱P4、PC、BC

的中点，M是线段4D的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN//平面8DE；

(2)已知点H在棱P力上，且直线NH与直线8E所成角的余弦值为宏，求线段的长.

【变式2-5】如图，在四棱锥P—A8CD中，平面PHD_L平面4BCD,PA=PD,AD=2CD=2BC=2,CD_LBC,

BC||AD,E,歹分别为NO,尸C的中点.

(1)证明：PE1CD；

⑵若BF与CD所成的角为60°,求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.

弘考法三：用空间向量解决线面夹角问题

，思，例题分析

【例3】已知三棱柱力BC-&B1C1中，48=4。=2,公力=&8=&。=2,/_84。=90。,£1是8。的中点，F

是线段4的上•点.

⑴求证：AB1EF-,

⑵设P是棱力&上的动点（不包括边界），当APBC的面积最小时，求直线PCi与平面4418/所成角的正弦

值.

满分秘籍

1.图示:

【敏变式训练

【变式3-1］如图，在四棱锥S-4BCD中，底面/BCD为正方形，侧面双。为等边三角形,48=2,SC=2a.

(1)证明：平面S4DJ•平面4BCD；

(2)侧棱SC上是否存在一点P(尸不在端点处)，使得直线BP与平面"C所成角的正弦值等于亨？若存在,

求出点尸的位置；若不存在，请说明理由.

【变式3-2］如图，P为圆锥的顶点，A,B为底面圆。上两点，乙4。8=m，E为P8中点，点尸在线段A8上,

S.AF=2FB.

(1)证明：平面A0P1平面。EF；

(2)若。P=AB,求直线4P与平面OEF所成角的正弦值.

【变式3-3］如图，在四棱锥P—A8CD中，底面A8CD是边长为2的菱形，力CnBD=0,且P。1平面ABCD,

P0=2,F,G分别是P8,PD的中点，E是P4上一点，且AP=3AE.

⑴求证：平面£TG；

(2)若NZMB=求直线P2与平面EFG所成角的余弦值.

【变式3-4]在圆柱002中，等腰梯形ZBCD为底面圆。1的内接四边形，且4D=DC=BC=1,矩形力BFE

是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.

(1)求证：平面。jCG〃平面力DE；

(2)设加=4朝，AG[0,1],试确定4的值，使得直线4P与平面4BG所成角的正弦值为甯.

【变式3-5】如图，在直角梯形/BCD中，ADUBC,AD1CD,四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF

相交于点"，平面CDEF_L平面ABC。，BC=2AD,NDCF=60。，G是线段BE上一动点(不含端点).

FE

(1)当点G为线段的中点时，证明：4G〃平面CDEF；

(2)若AD=1,CD=DE=2,且直线DG与平面CDEF成45。角，求二面角E-DG-尸的正弦值.

弘考法四：用空间向量解决面面夹角问题

，逐例题分析

【例4】如图，在三棱柱A8C—41B41中，侧面B/CiC为菱形，NCBBi=60°,AB=BC=2,4C=ABX=V2.

⑵求平面4CC遇i与平面A/1C1夹角的余弦值.

满分秘籍

1图示:

B

2计算公式:

_\nrn2\

~Mn2\

3易错点：两个平面成角范围是［0,习，二面角的范围［0,冗］。

变式训练

【变式4-1］如图，在四棱锥A—中，侧面ADE1底面BCDE,底面BCDE为菱形，A.BCD=120°,AE1

AD,^ADE=30°.

(1)若四棱锥力-BCDE的体积为1,求DE的长;

(2)求平面4BE与平面力CD所成二面角的正弦值.

【变式4-2】如图所示，在四棱锥E—4BCD中，底面力BCD为直角梯形，AB〃CD,4B="£>,CD1CE,/.ADC=

NEDC=45°,AD=V2,BE=V3.

B

£

(1)求证：平面ABE_L平面力BCD；

(2)求平面/WE与平面BCE所成二面角的余弦值.

【变式4-3】如图所示，在几何体P4BCD中，4D1平面PAB,点C在平面P4B的投影在线段PB上(BC<PC),

BP=6,AB^AP=2V3,DC=2,CD〃平面P48.

D

B7

(1)证明：平面PCD_1平面PAD.

(2)若二面角B-CD-P的余弦值为一'求线段AD的长.

【变式4-4】在三棱台ABC—DEF中，G为AC中点，AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

B

(1)求证：BC1平面DEG；

(2)若4B=BC=2,CFLAB,平面EFG与平面力CFD所成二面角大小为全求三棱锥E-DFG的体积.

【变式4-5】如图，在长方体4BCD-48也1。1中，AB=AD=1,441=2,点E在线段£)历上.

⑴求。至UBCi的距离；

(2)当E是。历的中点时，求直线力C与平面BCiE所成角的大小；

(3)若平面441%。与平面BCiE所成角的余弦值为右求线段0E的长.

弘考法五：用空间向量解决点到平面的距离问题

标例题分析

【例5］如图，PD1平面ABCD,AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点£,

F,M分别为NP,CD,2。的中点.

(1)求证：EF〃平面CP"；

⑵求平面QPM与平面CPM夹角的大小；

(3)若N为线段。。上的点，且直线DN与平面。尸M所成的角为也求N到平面CPM的距离.

满分秘籍

1图示：

2计算公式:

PQ=\j\AP\2-\AQ\2=宓一("")2("

是直线/的单位方向向量)

1变式训练

【变式5-1】已知在四棱锥P—48CD中，底面4BCD为正方形，侧棱PA1平面ABCD,点M为PD中点，PA=

AD=1.

(1)求证：直线PB//平面AMC；

(2)求点P到平面MAC的距离.

【变式5-2】如图，在四棱柱A8CZM向中，侧棱/〃_L平面48。，AB//DC,ABLAD,AD=CD=2,

AA]=AB=4,E为棱44/的中点.

(1)证明：BCrCiE.

⑵设而,而(0。＜1),若C/到平面班/M的距离为等，求九

【变式5-3】如图，四棱锥P-4BCD中，底面48CD为平行四边形，PA1.面48CD,AB1PC,BC=AP=

五AB=2.

(1)求点A到平面PBC的距离；

(2)求二面角C-PD-4的正弦值.

【变式5-4】底面为菱形的直棱柱4BCD-4/1的。1中，E、尸分别为棱4九、力道1的中点.

⑴在图中作一个平面a,使得BDua,且平面力£T〃a.(不必给出证明过程，只要求作出a与直棱柱力BCD-

占8道1。1的截面)

(2)若AB=AAt=2,/.BAD=60°,求平面4EF与平面a的距离d.

【变式5-5】如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PD1底面48cZ>,PD=DC=2,AD=242,M为

8C的中点.

(1)求证：4M_L平面P3。；

⑵求平面ABCD与平面AP7W■所成角的余弦值;

⑶求D到平面APM的距离.

弘考法六：用空间向量解决点到直线距离问题

F越£例题分析

【例6】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和:个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C,E,D,G四点

共面.

(1)证明：平面BDF1平面BCG；

(2)若平面8。尸与平面力BG所成二面角的余弦值为W，且线段48长度为2,求点G到直线DF的距离.

1变式训练

【变式6-1】如图1,在等腰梯形力BCD中,48||CD,AB=力。=1,CD=2,DE=EC,沿力E将△4DE折成△APE,

如图2所示，连接P8,PC,得到四棱锥P-A8CE.

图2

(1)若平面24£'。平面「8。=/,求证：1//BC；

(2)若点r是PC的中点，求点7到直线EB的距离的取值范围.

【变式6-2】在梯形A8CD中，AB||CD,=90。，AB=2AD=DC=&,如图1.现将△4DC沿对

角线AC折成直二面角P—4C—B,如图2,点M在线段BP上.

(1)求证：AP1CM；

⑵若点M到直线4c的距离为W，求器的值.

【变式6-3］异面直线5G上分别有两点/、8.则将线段的最小值称为直线匕与直线％之间的距离.如图，

已知三棱锥P-力BC中，P力，平面P3C,PB1PC,点。为线段/C中点，AP=BP=CP=1点E、尸分

别位于线段N3、尸。上(不含端点)，连接线段昉.

B

(1)设点M为线段跖中点，线段所所在直线与线段NC所在直线之间距离为d,证明：|丽|>d.

(2)若第=3=k(fc>1),用含后的式子表示线段所所在直线与线段8。所在直线之间的距离.

AhrC

【变式6-4］如图，在棱长为1的正方体力BCD-A/CiDi中，E为线段。小的中点，尸为线段的中点.

(1)求直线尸的\到直线2E的距离；

⑵求直线尸的到平面4B1E的距离.

【变式6-5】如图，在三棱锥P—4BC中，平面NBC,ABAC=90°,D,E,尸分别是棱/瓦BC,CP

的中点，力B=AC=1,PA=2.

⑴求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;

(2)求点P到平面DEF的距离；

(3)求点P到直线EF的距离.

由真题专练

I-如图，PD1平面力BCD,四边形4BCD为直角梯形，AB||CD,AADC=90°,PD=CD=2AD=2AB=2.

(1)求异面直线AB与PC所成角的大小;

(2)求二面角8—PC-D的余弦值.

2.如图，在多面体/5COE中，平面力CD1平面45C,BEABC,△ABC和△力CD均为正三角形，AC=

2,8£=b，点/为线段。。上一点.

D

(1)求证：DE1AM-,

⑵若EM与平面ACD所成角为京求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

3.如图，棱长为2的正方体力BCD-4%的。1中，尸为线段当小上动点.

(1)证明：CP||平面力/£)；

(2)当直线BP与平面48CD1所成的角正弦值为"时，求点D到平面48P的距离.

O

4.已知△ABC和AADE所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,ABAC=120°,。是线段BC的

中点，AD=V3.

⑴求证：AD1BE；

(2)设AE=2,在线段力E上是否存在点F(异于点力)，使得二面角力-BF-C的大小为45。.

5.如图，在三棱柱A8C—4BiCi中，侧面BCC/i为正方形，平面BCC/i_L平面力BBi4,AB=BC=2,M,

N分别为4/i，/C的中点.

(1)求证：MN〃平面BCCiBi；

(2)从条件①：AB±MN,条件②：中选择一个作为已知，求直线A3与平面皿W所成角的正弦值.

6.如图，在直三棱柱ABC—HiBiCi中，平面418C1侧面ABB141，且力4=4B=2.

(1)求证：AB1BC-,

(2)若直线力C与平面&BC所成的角为士E为线段&C的中点，求平面ABE与平面8CE所成锐二面角的大小.

O

7.如图，在△ABC中，Z.B=90°,P为4B边上一动点，PD〃BC交4C于点D,现将△PDA沿PD翻折至△PD4’.

E

(1)证明：平面CB4’1平面PB4’；

Q)若PB=CB=2PD=4,且A'PIAP,线段Z,C上是否存在一点E(不包括端点)，使得锐二面角E—BD—C

的余弦值为甯，若存在求出普的值，若不存在请说明理由.

14EC

8.如图，圆锥。。中，力E为底面圆。的直径，AE^AD,△ABC为底面圆。的内接正三角形，圆锥的高。。=18,

点P为线段。。上一个动点.

D

(1)当P0=3返时，证明：P4_L平面PBC；

(2)当P点在什么位置时，直线尸£和平面PBC所成角的正弦值最大.

9.已知直三棱柱4BC-4道1的中，侧面44B1B为正方形，AB=BC,E,尸分别为/C和。的的中点，D为

棱公当上的动点.BF1

(1)证明：BF1DE；

(2)求平面BB1C1C与平面。防所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.

10.四棱锥S—HBCD中，底面ABCD为矩形，力D=&,S力=2,NSAB=60。,^SAD=45°,平面S4D与平

面SBC的交线为I.

(1)求证：直线，平行于平面4BCD；

(2)求二面角。—SA-B的余弦值.

11.如图，在多面体ABCDE中，平面4CD1平面ABC,BE1平面ABC,△ABC^WL4CD均为正三角形，AC=4,

BE-V3,点F在AC上.

D

(2)若F是力C的中点，求二面角F—DE—C的正弦值.

12.如图，在多面体4BCD-EFG”中，上底面EFGH与下底面力BCD平行，且都是正方形，该多面体各条侧

棱相等，且每条侧棱与底面4BCD所成角都相等.已知力B=2,AE=V5,CM1DG,垂足为点三棱锥C-

(1)证明：力E1平面M8C；

(2)求直线力E与平面BEF所成角。的正弦值.

13.如图，平面是圆柱的轴截面，防是圆柱的母线，AFCDE=G,BFCCE=H,NABE=60°,

AB=AD=2.

F

⑴求证：GH〃平面/BCD；

(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值.

14.在长方体4BCD—4/1的小中，AB=BC=2CC1；点产为棱的%上任意一点.

(1)求证：平面441cle_L平面P8D；

⑵若点E为棱CC1上靠近点C的三等分点，求点P在棱Ci%上什么位置时，平面BDE与平面P8D夹角的余

弦值为等.

15.已知直角梯形形状如下，其中4B_L4D,DC=2AB=6AE,AB=6,AD=2.

DCF