人教版初中数学同步讲义练习-9下第01讲 锐角三角形函数（解析版）

第01讲锐角三角函数课程标准学习目标①锐角三函数的定义②特殊的锐角三角函数值掌握锐角三角函数的定义及其求法，能够熟练求锐角三角函数。掌握特殊的锐角函数值，并能够熟练的进行计算。知识点01正弦函数正弦函数的定义与算法：在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作，则。题型考点：①计算正弦三角函数值。②根据三角函数求边长【即学即练1】1．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则sinA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴sinA＝＝．故选：C．【即学即练2】2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sinB的值为（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，∴sinB＝＝，故选：B．【即学即练3】3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则sinB＝（）A． B．3 C． D．【解答】解：设AC＝x，则BC＝3AC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝＝x，所以sinB＝＝＝．故选：C．【即学即练4】4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（）A．10 B．8 C．5 D．4【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故选：B．【即学即练5】5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：∵sinA＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，∴AC＝3x，∴3x＝6，解得x＝2，∴AB＝10．故选：C．知识点02余弦函数余弦函数的定义与算法：在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作，则。题型考点：①计算余弦三角函数值。②根据余弦三角函数值求边长。【即学即练1】6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，则cosA的值为（）A． B． C． D．3【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝2，则cosA＝＝＝．故选：B．【即学即练2】7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，由勾股定理，得AB＝＝，由锐角的余弦，得cosA＝＝＝．故选：B．【即学即练3】8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴cosB＝＝．故选：A．【即学即练4】9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，如果AB＝14，那么AC＝4．【解答】解：∵cosB＝，AB＝14，∴cosB＝＝＝，∴BC＝10，∴AC＝＝＝4．故答案为：．【即学即练5】10．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若，AB＝12，则BC长为16．【解答】解：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，∴cosA＝＝＝，∴AC＝20，∴BC＝＝＝16．故答案为：16．知识点03正切函数正切函数的定义与算法：在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，∠A的对面与邻边的比值叫做∠A的正切，记作，则。题型考点：①计算正切三角函数值。②根据正切三角函数值计算边长。【即学即练1】11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tanA＝＝，故选：D．【即学即练2】12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（）A． B．3 C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，∴tanB＝＝＝．故选：A．【即学即练3】13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠BAC的正切值为（）A．5 B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tan∠BAC＝＝．故选：C．【即学即练4】14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tanA＝，则AB＝（）A． B． C．4 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝2，tanA＝，∴AC＝2BC＝4，∴AB＝＝＝2．故选：B．【即学即练5】15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，，那么BC＝10．【解答】解：∵tanA＝＝，∴令BC＝5x，AC＝12x，∵∠C＝90°，∴AB＝＝13x＝26，∴x＝2，∴BC＝5x＝10．故答案为：10．知识点04特殊角的锐角三角函数值特殊的锐角三角函数：特殊角三角函数30°45°60°1题型考点：①特殊锐角三角函数值的计算。【即学即练1】16．求下列各式的值（1）2sin30°﹣cos45°；（2）sin45°+tan30°•sin60°；（3）sin30°+cos30°．【解答】解：（1）原式＝2×﹣＝1﹣；（2）原式＝+•＝+＝+＝；（3）原式＝+＝．【即学即练2】17．计算：cos30°＝；tan60°•sin45°＝；|tan60°﹣2|＝2﹣；＝．【解答】解：cos30°＝；tan60°•sin45°＝＝；|tan60°﹣2|＝|﹣2|＝2﹣；＝＝．故答案为：，，2﹣，．【即学即练3】18．若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状．【解答】解：由，得，则，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度．∴△ABC为直角三角形．题型01求锐角三角函数值【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值．【解答】解：根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，a2+b2＝c2，又∵a＝3，c＝5，∴b2＝c2﹣a2＝16，∴b＝4，∴sinA＝＝，sinB＝＝．【典例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求tanA和cosA．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴，∴，．【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．题型02根据锐角三角函数求边长【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，求AC．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanA＝，∵BC＝3，tanA＝，∴＝，解得：AC＝．【典例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，BC＝2，求AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，∵tanB＝，BC＝2，∴＝，解得：AC＝3，由勾股定理得：AB＝＝＝．【典例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝，∵BC＝10，sinA＝，∴＝，∴AB＝26，∴AC＝＝＝24．【典例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝26．求△ABC的周长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，∴sinA＝＝，∴BC＝24，∴AC＝＝＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26+10+24＝60．题型03特殊的锐角三角函数值【典例1】计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°＝3×+1﹣2×＝+1﹣＝1．【典例2】计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【典例3】计算：（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°；（2）cos245°﹣tan30°•sin60°．【解答】解：（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°＝2×﹣3×1+＝1﹣3+＝﹣；（2）cos245°﹣tan30°•sin60°＝（）2﹣×＝﹣＝0．【典例4】在△ABC中，∠A与∠B都是锐角，且，则△ABC的形状是等腰三角形．【解答】解：∵∠A与∠B都是锐角，且，∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴△ABC的形状是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴tanB＝＝，所以A选项不符合题意；tanA＝＝，所以B选项不符合题意；sinB＝＝，所以C选项符合题意；cosB＝＝，所以D选项不符合题意．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则AB＝25，则BC＝（）A．24 B．20 C．16 D．15【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴＝，∵AB＝25，∴BC＝15．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，那么下列结论中错误的是（）A．a＝bcotA B．a＝csinA C． D．b＝atanB【解答】解：∵由锐角三角函数的定义可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝，∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB，故A选项不符合题意．故选：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanB＝＝＝．故选：D．5．已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【解答】解：，∵，∴b＞a＞c．故选：A．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15° B．45° C．30° D．60°【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为（）A． B． C．5 D．【解答】解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则扩大5倍后三边长是5b，5a，5c，∵tanA＝＝，∴扩大后tanA＝＝＝．故选：D．8．在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【解答】解：∵|cosA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故选：C．9．2cos45°﹣（π+1）0＝﹣1．【解答】解：原式＝2×﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，即，∴AB＝20，由勾股定理得：，故答案为：16．11．已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝75度．【解答】解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．12．如图，已知tanα＝，如果F（4，y）是射线OA上的点，那么F点的坐标是（4，2）．【解答】解：过F作FC⊥x轴于C，∵F（4，y），则OC＝4，CF＝y，在Rt△OFC中，tanα＝＝，即＝，∴CF＝2，即y＝2．故答案为（4，2）．13．计算：（1）2cos60°+2sin30°+3tan45°；（2）2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）．【解答】解：（1）原式＝2×+2×+3×1＝1+1+3＝5；（2）原式＝2×（）2﹣﹣（﹣1）＝2×﹣﹣+1＝﹣﹣+1＝1﹣14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tanA＝＝2，∴a＝2b，∵S△ABC＝9，∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理