高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第05讲指数与指数函数(分层精练)(原卷版+解析)

第05讲指数与指数函数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·天津河西·高一统考期末）（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（

）（参考数据：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克5．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．6．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023春·四川成都·高三校联考期末）按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（

）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟8．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·高一课时练习）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（

）A． B．若，且，则C．若，则 D．的值域为三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）若，则=____________12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．四、解答题13．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数的图象经过点．(1)求实数b；(2)若，求x的取值集合．14．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知.(1)求证：为奇函数；(2)求函数的值域.B能力提升1．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若，，且满足，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则函数的值域为___．5．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数．(1)判定函数在上的单调性并用定义证明；(2)若函数在内有零点，求实数m的取值范围．C综合素养1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）里氏震级是一种由科学家里克特(Richter)和古登堡(Gutenberg)在1935年提出的地震震级标度，其计算公式为，其中是距震源100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指这次地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅.震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能量焦耳.若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（

）A．10倍 B．15倍 C．48倍 D．100倍4．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知函数，且，则实数的取值范围是______．5．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）设，函数.(1)若，求证：函数为奇函数；(2)若，判断并证明函数的单调性；(3)若，函数在区间上的取值范围是，求的范围.第05讲指数与指数函数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·天津河西·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，所以根据函数的图象可知，．故选：C．3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，即，得，函数（其中，）的图象恒过的定点是.故选：B.4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（

）（参考数据：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克【答案】A【详解】由题意可知，解得，由，可得．故选：A.5．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.故选：B6．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，定义域为，且，所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增；则，则，即，即，又因为为定义域内的奇函数，所以，又因为在上单调递增，所以，解得或，故实数a的取值范围是.故选：C7．（2023春·四川成都·高三校联考期末）按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（

）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】C【详解】由题意可知，当时，由，可得，所以，，由可得，解得（分钟），因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟.故选：C.8．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为在上单调递增，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以，即；同时，在处，，即，即，因为，所以，即，解得或（舍去），综上：，即.故选：B.二、多选题9．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示：当，则，A成立；当，则，B成立，C不成立；当时，则，D成立.故选：ABD.10．（2023·高一课时练习）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（

）A． B．若，且，则C．若，则 D．的值域为【答案】ABD【详解】函数的图像过原点，，即，，且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，由于，，，，故D确；故选：ABD三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）若，则=____________【答案】【详解】因为，所以.故答案为:12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．【答案】【详解】函数的图象如图所示，满足可得或.解得.故答案为：.四、解答题13．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数的图象经过点．(1)求实数b；(2)若，求x的取值集合．【答案】(1)(2)【详解】（1）函数经过点，则（），所以．（2）因为，所以函数在上为减函数，又因为，所以，即，解得或，所以的取值集合为．14．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知.(1)求证：为奇函数；(2)求函数的值域.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数.（2），因为，所以，所以，所以，所以，即函数的值域为.B能力提升1．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若，，且满足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.故选：C2．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，∴是增函数，∴，解得,故选：B．3．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】当时，；当时，.因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则函数的值域为___．【答案】【详解】设，则，此时，当时，即，函数取得最小值，此时最小值为；当时，即，函数取得最大值，此时最大值为．故答案为：.5．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数．(1)判定函数在上的单调性并用定义证明；(2)若函数在内有零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)增函数，证明见解析(2)【详解】（1）为增函数，证明如下，证明：设，，且，，∵，∴，，，∴，即，∴函数f(x)在上为增函数；（2）由题意知，方程，得，若方程在内有根，则函数与在上图象有交点，由（1）可知，函数，在上为增函数，又知函数是R上的偶函数，则在上，，∴m的取值范围为．C综合素养1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以由，得，即，所以，即对于任意的恒成立，而，则，即实数的取值范围是．故选：A．2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】方法一：函数，因为，所以，所以.所以.所以，即.当时，；当时，.故的值域为.故选：B.方法二：由，得.因为，所以，解得.当时，；当时，.所以的值域为.故选：B.3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）里氏震级是一种由科学家里克特(Richter)和古登堡(Gutenberg)在1935年提出的地震震级标度，其计算公式为，其中是距震源100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指这次地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅.震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能量焦耳.若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（

）A．10倍 B．15倍 C．48倍 D．100倍【答案】D【详解】设地震变化前释放的能量为，震级为，最大振幅为，变化后地震释放的能量为，震级为，最大振幅为，则，，因为，所以，所以，所以.故选：D.4．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知函数，且，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】由联想到构造，因为，所以考虑，令，由，可知函数为奇函数又，所以函数在R上单调递增．由，得，即，由奇函数性质可得，因为在R上单调递增，所以，解得.故答案为：.5．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）设，函数.(1)