高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点24解三角形12种常见考法归类(原卷版+解析)

考点24解三角形12种常见考法归类考点一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求边或角（二）判断三角形解的个数考点二正弦定理的应用考点三余弦定理的应用考点四判断三角形的形状考点五正余弦定理的综合应用考点六与角度、边长有关的最值问题考点七三角形面积的计算及应用（一）求三角形的面积（二）已知三角形面积求边、角（三）三角形面积的最值问题考点八三角形周长的计算及应用（一）求三角形的周长（二）三角形周长的最值问题考点九解三角形的实际应用（一）测量距离问题（二）测量高度问题（三）测量角度问题（四）其他实际问题考点十正、余弦定理解决几何问题考点十一解三角形与三角函数的综合问题考点十二解三角形与平面向量的综合问题1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理余弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大边对大角大角对大边(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形内角和及三角形常见重要关系(1)内角和定理：，进而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函数关系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sinB＝sinA＋sinC.(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(5)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海伦公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)为△ABC的半周长.(5)其中4．正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．（1）已知两角及任意一边解三角形①正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.②因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.（2）已知两边及其中一边的对角解三角形①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边.其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.（3）解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解（4）利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．（5）利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．（6）当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.5．判断三角形形状的2种途径判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.(1)利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：①化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)；eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；②化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)；eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(2)利用余弦定理判断三角形形状的方法①利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．②判断三角形的形状时，经常用到以下结论△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝.6．求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．7．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．8．解三角形中的最值或范围问题的解决方法：解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围．9.正弦定理之齐次式结构结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化结构示例：（1）整式齐次式：①边的齐次式②sin角的齐次式（2）分式齐次式：注：在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种①合角如：②拆角——拆单角（“单身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，则或11.余弦定理之不等式结构结构特点：已知三角形一角及其对边，求面积或周长的最值核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值）求周长的最大值求周长的最大值求面积的最大值求面积的最大值12.解三角形中的常用术语(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ).坡度又称为坡比.13.测量距离问题的求解策略(1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解；(2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．14.测量物体高度的求解策略高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．15.测量角度问题的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．16.与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[注意]做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．17.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤18.利用解三角形知识解决实际问题利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．考点一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求边或角1．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）的三个内角所对边的长分别为，若，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，若，则边（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c，，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023春·广东东莞·高三东莞实验中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（）A． B． C． D．6．（2023春·天津和平·高三校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，，则BD等于（）A．1 B．2 C．3 D．（二）判断三角形解的个数7．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（

）A．若，则 B．若该三角形有两解C．周长的最小值为12 D．面积的最大值9．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．考点二正弦定理的应用11．（2023·北京·统考模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（

）A． B． C． D．12．（2023·四川·高三统考对口高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（

）A． B． C． D．13．（2023·江苏南京·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（

）A． B． C． D．14．（2023·江西·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A． B． C． D．15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．16．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．考点三余弦定理的应用17．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（

）A． B． C． D．18．（2023·河南·统考模拟预测）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（

）A．2 B． C． D．119．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（

）A．4 B． C． D．20．（2023·河南郑州·模拟预测）在中，满足，且，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（

）A． B．4 C． D．22．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（

）A． B． C． D．考点四判断三角形的形状23．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形24．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形25．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形26．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形27．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形28．（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形考点五正余弦定理的综合应用29．（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（

）A． B． C． D．30．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在中，角的对边分别为，且．角A等于（

）A． B． C． D．31．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（

）A． B． C． D．32．（2023·河北·高三学业考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（

）A．1 B． C．1或 D．33．（2023·宁夏银川·校联考二模）的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（

）A． B． C． D．34．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（

）A． B． C． D．考点六与角度、边长有关的最值问题35．（2023·全国·高三专题练习）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）若的内角A，B，C满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.39．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（

）A． B．C． D．40．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．41．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（

）A． B． C． D．42．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范围.43．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．44．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．3645．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，，则，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点七三角形面积的计算及应用（一）求三角形的面积46．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）A． B． C．12 D．1647．（2023·四川成都·统考二模）在中，已知，，，则的面积为（

）A． B． C． D．48．（2023·全国·高三专题练习）已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．（二）已知三角形面积求边、角49．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（

）A． B．5 C． D．50．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（

）A．4 B． C．8 D．51．（2023·四川成都·川大附中校考二模）如图，在平面四边形中，，，，，三角形的面积为，则（

）A．2 B．4 C． D．52．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A． B． C． D．53．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，且的面积为，则（

）A． B．2 C． D．（三）三角形面积的最值问题54．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．55．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．56．（2023·宁夏中卫·统考一模）的内角的对边分别为a，b，c，满足.若为锐角三角形，且a=3，则面积最大为（

）A． B． C． D．57．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．58．（2023·山东济南·统考三模）在中，若，则面积的最大值为（

）A． B． C．1 D．59．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆的面积为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．考点八三角形周长的计算及应用（一）求三角形的周长60．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．61．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（

）A．4 B．6 C．8 D．1862．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）记的内角的对边分别为，其中(1)求的周长；(2)求cosA的最小值.（二）三角形周长的最值问题63．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（

）A． B．6 C． D．64．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．65．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（

）A．7 B． C． D．4考点九解三角形的实际应用（一）测量距离问题66．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．67．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较重，如果过长影响火箭发射），已知工程师们在建桥处看对岸目标点的正下方地面上一标志物的高为，从点处看点A和点俯角为，．求一枚火箭应至少携带引导索的长度（

）A． B．C． D．68．（2023·全国·高三专题练习）某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点．(1)求轮船的速度V；(2)求P，C两点的距离．69．（2023·安徽合肥·二模）如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长．70．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为，A，B两点的俯角分别为45°，60°．则A，B两点间的距离为（

）A． B．C． D．71．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.（二）测量高度问题72．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（

）A． B． C． D．73．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（

）（参考数据：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米74．（2023·全国·高三专题练习）滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（

）（精确到）A． B． C． D．75．（2023·河南·校联考模拟预测）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（

）（参考数据：，）A．13米 B．24米 C．39米 D．45米76．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

（三）测量角度问题77．【多选】（2023·全国·高三专题练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西78．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（

）A．B．A、D之间的距离为海里C．A、B两处岛屿间的距离为海里D．B、D之间的距离为海里79．【多选】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（

）A． B．的面积为C． D．点在点的北偏西方向上80．（2023·全国·高三专题练习）如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为.(1)若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程；(2)已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？（四）其他实际问题81．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，（1）若甲、乙都以每分钟100的速度从点出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达，甲到达，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点.设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离.82．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离km，且.现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，km.

(1)求大学与站的距离；(2)求铁路段的长.83．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.(1)求岸线上点与点之间的直线距离；(2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）84．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．(1)当时，求；(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．考点十正、余弦定理解决几何问题85．（2023·全国·高三专题练习）在中，，AB边上的高为，则（

）A． B． C． D．86．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）如图所示，在中，，点D在线段AB上，且满足，，则等于（

）A． B． C． D．87．（2023·全国·高三专题练习）在中，的角平分线交于点，，，，则（

）A． B． C． D．88．（2023·河南·校联考模拟预测）在四边形ABCD中，，，则的最大值为（

）A．25 B． C． D．89．（2023·广西·统考模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（

）A． B． C． D．90．（2023·全国·高三专题练习）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min．若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m．A．50 B．50 C．50 D．5091．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（

）A．49 B．7 C． D．考点十一解三角形与三角函数的综合问题92．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.93．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.94．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.95．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．96．（2023·上海·高三专题练习）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．考点十二解三角形与平面向量的综合问题97．（2023·重庆·统考三模）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．98．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，，则线段的长的最大值为（

）A． B． C． D．99．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．00．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）中是外接圆圆心，是的最大值为（

）A． B． C． D．考点24解三角形12种常见考法归类考点一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求边或角（二）判断三角形解的个数考点二正弦定理的应用考点三余弦定理的应用考点四判断三角形的形状考点五正余弦定理的综合应用考点六与角度、边长有关的最值问题考点七三角形面积的计算及应用（一）求三角形的面积（二）已知三角形面积求边、角（三）三角形面积的最值问题考点八三角形周长的计算及应用（一）求三角形的周长（二）三角形周长的最值问题考点九解三角形的实际应用（一）测量距离问题（二）测量高度问题（三）测量角度问题（四）其他实际问题考点十正、余弦定理解决几何问题考点十一解三角形与三角函数的综合问题考点十二解三角形与平面向量的综合问题1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理余弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大边对大角大角对大边(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形内角和及三角形常见重要关系(1)内角和定理：，进而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函数关系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sinB＝sinA＋sinC.(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(5)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海伦公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)为△ABC的半周长.(5)其中4．正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．（1）已知两角及任意一边解三角形①正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.②因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.（2）已知两边及其中一边的对角解三角形①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边.其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.（3）解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解（4）利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．（5）利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．（6）当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.5．判断三角形形状的2种途径判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.(1)利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：①化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)；eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；②化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)；eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(2)利用余弦定理判断三角形形状的方法①利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．②判断三角形的形状时，经常用到以下结论△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝.6．求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．7．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．8．解三角形中的最值或范围问题的解决方法：解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围．9.正弦定理之齐次式结构结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化结构示例：（1）整式齐次式：①边的齐次式②sin角的齐次式（2）分式齐次式：注：在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种①合角如：②拆角——拆单角（“单身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，则或11.余弦定理之不等式结构结构特点：已知三角形一角及其对边，求面积或周长的最值核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值）求周长的最大值求周长的最大值求面积的最大值求面积的最大值12.解三角形中的常用术语(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ).坡度又称为坡比.13.测量距离问题的求解策略(1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解；(2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．14.测量物体高度的求解策略高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．15.测量角度问题的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．16.与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[注意]做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．17.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤18.利用解三角形知识解决实际问题利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．考点一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求边或角1．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）的三个内角所对边的长分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由以及余弦定理得,故选：D2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，若，则边（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求.【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意.当时，则，由正弦定理，得，解得；当时，则，此时为等腰三角形满足.综上，或.故选：D3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】由，得，所以．故选：C.4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可得，再结合倍角正弦公式即可求解.【详解】由正弦定理得：.故选：C5．（2023春·广东东莞·高三东莞实验中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值．【详解】由余弦定理可得，，．故选：．6．（2023春·天津和平·高三校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，，则BD等于（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质及余弦定理可求解.【详解】，，在中，由余弦定理可得，，，.故选：D.（二）判断三角形解的个数7．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（

）A．若，则 B．若该三角形有两解C．周长的最小值为12 D．面积的最大值【答案】C【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理得，根据基本不等式解决即可.【详解】对于A，，，由正弦定理得，所以，故A正确；对于B，由正弦定理得得，所以，因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，故所以面积的最大值为，故D正确.故选：C.9．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.【详解】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．10．（2023·全国·高三专题练习）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理计算可得；【详解】解：由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A考点二正弦定理的应用11．（2023·北京·统考模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】因为，由正弦定理可得，、，则，所以，，所以，，故.故选：C.12．（2023·四川·高三统考对口高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用正弦定理求出，利用三角形内角和可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，所以，所以或；因为，所以舍去，故，所以.故选：A.13．（2023·江苏南京·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，解得答案.【详解】，即，即，，则，，则，故，，故，.故选：B14．（2023·江西·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用正弦定理与和差公式求解.【详解】因为，由正弦定理得：，，，即，，又，所以，即或，得或（舍），又，，，所以；故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，，又，，，，两式相加得：，即，，即，又，，.故选：B.16．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可求得，进而得出.作图设出球心以及外接圆的圆心为，则，且，根据正弦定理即可得出外接圆的圆心的半径，进而即可得出外接球的半径，根据面积，即可得出答案.【详解】由已知可得，即为直线与平面所成的角，所以.因为，所以，所以.如图，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，则，且.在中，设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以，即.因为，所以，所以，三棱锥的外接球的半径，所以，三棱锥的外接球的体积.故选：A.考点三余弦定理的应用17．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理计算即可.【详解】，∵，∴.故选：C18．（2023·河南·统考模拟预测）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化简给定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【详解】在中，由已知及余弦定理得，即，由正弦定理边化角得：，而，即，则，即有，又的外接圆半径，所以.故选：C19．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出.【详解】因为，，的面积为，所以,所以.由余弦定理得：.故选：D.20．（2023·河南郑州·模拟预测）在中，满足，且，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简求出，再利用余弦定理即可求解AC.【详解】解：，即，解得，由余弦定理可知，则，整理得，解得或（舍），故选：C.21．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.则，，所以，故选：B.22．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，利用二次函数的性质结合其最小值为，得到，再结合，得到，然后利用余弦定理即得.【详解】因为，当时，取最小值，则，所以，又为锐角，故，因为，所以，所以，得，所以．故选：D考点四判断三角形的形状23．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】使用正弦定理和两角和的正弦公式花间即可求解.【详解】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以为钝角，故选：C.24．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，整理得，则，因为，所以，又由及正弦定理，得，化简得，所以为等边三角形，故选：B25．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，因为，由正弦定理得，则，则，所以为有一个角为的直角三角形.故选：B.26．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．【详解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，则，即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D.27．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状.【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理为，即，得，或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D28．（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A考点五正余弦定理的综合应用29．（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等变换及余弦定理即可处理.【详解】原式=化简得：由正弦定理角化边得：，由余弦定理得：故选：B.30．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在中，角的对边分别为，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦定理角化边化简，可得，再根据余弦定理即可求得答案.【详解】在中,,则,即，即，故，而,故，故选：B31．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理边角关系有，结合已知、余弦定理求，即可确定角的大小.【详解】由正弦定理边角关系：化为，由余弦定理得：，而，故.故选：B32．（2023·河北·高三学业考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解【详解】∵，∴，∴，①当时，，为直角三角形．∵，，∴；②当时，则有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，综上，或．故选：C．33．（2023·宁夏银川·校联考二模）的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得.【详解】，，即，，，则故选：D34．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后由，结合三角形的面积公式可求得的值，进而可求得的值，再利用余弦定可求得的值.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因为，所以，，因为，由可得，即，解得，，由余弦定理可得，因此，.故选：B.考点六与角度、边长有关的最值问题35．（2023·全国·高三专题练习）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，在根据锐角三角形的性质分析运算.【详解】∵，由正弦定理可得，则，在锐角三角形中，，则，∴，即，可得，解得.故选：C.36．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）若的内角A，B，C满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切化弦后，再由正余弦定理化为边的关系，由余弦定理求出，再由均值不等式求最值即可.【详解】，,，由正弦和余弦定理可得，，化简得，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选：C37．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而整理，并求的取值范围，结合正弦函数分析运算即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，因为，，则，所以，即，则，因为，解得，所以，则，即的取值范围是.故选：B.38．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.【详解】（1）及，，化简得，，又，.（2）由（1）可得为锐角三角形，且，，.，，故的取值范围为.39．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解.【详解】由正弦定理得，所以因为锐角△ABC中，，所以，所以，所以，所以，即．故选:B.40．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用正弦定理将边化角，再转化为关于角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】在中，，所以，，所以，因为，所以，所以，，则的最小值为.故选：A41．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，锐角中，，即，同理，于是，解得，又线段为边上的中线，则，又，于是，因此，当时，，，所以中线的取值范围是.故选：D42．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算；（2）利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算.【详解】（1）∵，即，由于，则，即，两边同乘以可得：，则，且，解得.（2）由题意及正弦定理，得，，则，由（1）可知，且为锐角三角形，则，解得，则，所以，故的取值范围是.43．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得，进而有，再把化为并确定的范围，应用余弦函数性质求范围即可.【详解】由，则，所以，则，所以或（舍），故，综上，，且所以，，由锐角△，则，可得，则，所以，故.故选：A【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即，再把目标式，由边化角得求范围.44．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.45．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，，则，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而可得，根据向量的模长公式，由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】由题意知，由正弦定理知，，又，，故在中,．，，又由余弦定理可得：，，由，当且仅当时取等号，，的最大值为．又，故的取值范围是，考点七三角形面积的计算及应用（一）求三角形的面积46．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，从而求出的面积.【详解】由正弦定理及，得，所以，所以，即，所以.由正弦定理得.因为，所以，又，所以由余弦定理得，解得，所以的面积为.故选：B.47．（2023·四川成都·统考二模）在中，已知，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式和正弦定理，由可得，再在和中分别利用余弦定理列式，结合长度关系解得和，代入面积公式即可求解.【详解】由可得，因为，所以，又因为，所以在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即①，在中，由余弦定理可得，即②，①②联立解得，，所以，，所以，故选：D48．（2023·全国·高三专题练习）已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用余