高考数学一轮题型归纳与解题策略考点19任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类(原卷版+解析)

考点19任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类考点一象限角与终边相同的角（一）终边相同的角（二）象限角（三）区域角的表示考点二扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算（二）扇形面积的有关计算（三）扇形中的最值问题（四）扇形弧长公式与面积公式的应用考点三三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值（二）由三角函数值求终边上的点或参数（三）由单位圆求三角函数值（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值考点四三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限1.象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．2.求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘以n；(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．3.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．4.“顺转减，逆转加”的应用注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。5.角度制和弧度制的互化：eq\x(180°＝πrad)—eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(—1°＝\f(π,180)rad≈0.01745rad,—1rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°))6.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．7.有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．8.三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，.（注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．）(3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；（注：(4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．）9.特殊角的三角函数值注：sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，tan15°＝2－eq\r(3)，tan75°＝2＋eq\r(3).10.三角函数的定义域和函数值在各象限的符号11.三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sinα在一、二象限为正，cosα在一、四象限为正，tanα在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sinα在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．12.三角不等式的重要结论0<α<eq\f(π,2)时，sinα<α<tanα，特别地，cos1<sin1<1<tan1.考点一象限角与终边相同的角（一）终边相同的角1．（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．3．【多选】（2023广西河池市期末）在范围内，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．4．（2023北京市昌平区期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023广州市培正中学）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(

)A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅（二）象限角6．（2023陕西省榆林市第十中学第一次月考）若角是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角7．（2023高三专题训练）已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角8．（2023高三专题训练）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023天津市红桥区期末）已知是锐角,那么是A．第一象限角 B．第二象限角C．小于的正角 D．不大于直角的正角10．（2023高三专题训练）若是第四象限角，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四（三）区域角的表示11．（2023高三专题训练）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A． B．C．D．12．（2023高三专题训练）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）13．（2023高三专题训练）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．考点二扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算14．（2023春·北京丰台·高三统考期中）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________.15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面圆半径为_______．16．（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．17．（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.18．（陕西省西安市周至县2023届高三下学期二模理科数学试题）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（

）A． B．C． D．19．（广西邕衡金卷2023届高三一轮复习诊断性联考数学（理）试题）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（

）A． B． C． D．20．【多选】（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．，则 D．若，则21．（贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（文）试题）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．22．（2023高三专题训练）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米（二）扇形面积的有关计算23．（2023河南省许昌市鄢陵县职业教育中心期末）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（

）A．30 B． C． D．24．（上海市长宁区2023届高三二模数学试题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________．25．（福建省连城县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.26．（北京市陈经纶中学2022-2023学年高三上学期12月诊断数学试题）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（

）A． B． C． D．27．（2023高三专题训练）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（

）A． B． C． D．28．（山西省长治市辅成学校2023届高三上学期1月大联考（新高考卷）数学试题）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．29．（湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（

）A． B． C． D．30．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．（三）扇形中的最值问题31．（天津市河东区2023届高三一模数学试题）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（

）A．4 B． C．2 D．132．（2023高三专题训练）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？33．（2023高三专题训练）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．34．（广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（

）A． B． C．2 D．不存在35．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．(1)求扇形的周长；(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．36．（2023·全国·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.(1)求关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.（四）扇形弧长公式与面积公式的应用37．（辽宁省朝阳市第一高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为________．38．（浙江省S9联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm．39．（2023高三专题训练）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或440．（2023山东省威海市乳山市银滩高级中学月考）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．41．（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为______．42．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（

）A． B． C． D．考点三三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值43．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．44．（山西省临汾市2023届高三二模数学试题）已知点是角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．45．（北京市房山区2023届高三二模数学试题）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______．46．（四川省攀枝花市2023届高三第三次统一考试理科数学试题）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（

）A． B．C． D．47．（四川省宜宾市2023届高三下学期第二次诊断性测试理科数学试题）四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（

）A．1 B． C． D．（二）由三角函数值求终边上的点或参数48．（江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知角的终边上一点，则（

）A． B．C． D．以上答案都不对49．（河南省开封市2023届高三第三次模拟考试理科数学试题）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（

）A． B． C． D．50．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，且，求的值.51．（北京市八一学校2023届高三下学期3月月考数学试题）已知角终边经过点，且，则的值为_________．52．（2023高三专题训练）已知角的终边过点，若，则实数m的值为（

）A． B．4 C．或3 D．或4（三）由单位圆求三角函数值53．（2023高三专题训练）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（

）A． B． C． D．54．【多选】（江苏省常州市第三中学2023届高三下学期五模数学试题）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．55．（安徽省蚌埠市2023届高三四模数学试题）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（

）A． B． C． D．56．（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________．57．（2023届河南省部分名校高三仿真模拟测试文科数学试题）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（

）A． B．C． D．（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值58．（广西南宁市东盟中学2020-2021学年高三年级12月月考数学试题）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（

）A． B． C． D．59．（青海省玉树州2023届高三第三次联考数学文科试题）已知角的终边落在直线上，则（

）A． B． C． D．考点四三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号60．（2023高三专题训练）若，则（

）A． B．C． D．61．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．62．（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试文科数学试题）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限63．（2023高三专题训练）已知是第二象限角，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限64．（福建省宁德市2022-2023学年高三上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题）已知点是第二象限的点，则的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限65．（2023高三专题训练）已知点在第三象限，则角的终边在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四66．（2023高三专题训练）在平面直角坐标系中，点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四67．（2023高三专题训练）若角满足，，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点19任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类考点一象限角与终边相同的角（一）终边相同的角（二）象限角（三）区域角的表示考点二扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算（二）扇形面积的有关计算（三）扇形中的最值问题（四）扇形弧长公式与面积公式的应用考点三三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值（二）由三角函数值求终边上的点或参数（三）由单位圆求三角函数值（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值考点四三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限1.象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．2.求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘以n；(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．3.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．4.“顺转减，逆转加”的应用注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。5.角度制和弧度制的互化：eq\x(180°＝πrad)—eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(—1°＝\f(π,180)rad≈0.01745rad,—1rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°))6.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．7.有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．8.三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，.（注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．）(3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；（注：(4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．）9.特殊角的三角函数值注：sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，tan15°＝2－eq\r(3)，tan75°＝2＋eq\r(3).10.三角函数的定义域和函数值在各象限的符号11.三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sinα在一、二象限为正，cosα在一、四象限为正，tanα在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sinα在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．12.三角不等式的重要结论0<α<eq\f(π,2)时，sinα<α<tanα，特别地，cos1<sin1<1<tan1.考点一象限角与终边相同的角（一）终边相同的角1．（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为与是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为，C正确；对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，故选：C2．（2023山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是故选：A3．【多选】（2023广西河池市期末）在范围内，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为，，所以与角终边相同的角是和，故选：AC．4．（2023北京市昌平区期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“角与角的终边关于轴对称”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则，故，则，即；当时，此时，角与角的终边不关于轴对称，即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立，故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件，故选：A5．（2023广州市培正中学）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(

)A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅【答案】C【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得．【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C．【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．（二）象限角6．（2023陕西省榆林市第十中学第一次月考）若角是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C．7．（2023高三专题训练）已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．【详解】因为角第二象限角，所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．8．（2023高三专题训练）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.【详解】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.9．（2023天津市红桥区期末）已知是锐角,那么是A．第一象限角 B．第二象限角C．小于的正角 D．不大于直角的正角【答案】C【解析】根据是锐角，得出的取值范围是，再判定的终边位置即可．【详解】∵是锐角，即，∴.所以是小于的正角．故选：C．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出的取值范围是关键．10．（2023高三专题训练）若是第四象限角，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】由题可得，，即得答案.【详解】是第四象限角，则，，则，，在第二象限.故选：B.（三）区域角的表示11．（2023高三专题训练）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】对按奇偶分类讨论可得．【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．故选：B．12．（2023高三专题训练）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【解析】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.13．（2023高三专题训练）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】【分析】求出终边在直线OM上、直线ON上的角的集合进行求解即可.【详解】终边在直线OM上的角的集合为：．同理可得终边在直线ON上的角的集合为，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为．故答案为：考点二扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算14．（2023春·北京丰台·高三统考期中）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________.【答案】/【分析】根据扇形弧长公式进行求解【详解】若扇形的圆心角为，半径为，则扇形弧长公式，代入，得：.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面圆半径为_______．【答案】1【分析】由圆锥的侧面积公式结合半圆弧长计算公式求得结果【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则依题意得，解得，则圆锥底面圆半径为1.故答案为：1.16．（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解【详解】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得.故选：.17．（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.【答案】【分析】根据点坐标的几何意义，利用三角函数以及几何关系，可得答案.【详解】如图，作轴，，为垂足.根据题意得劣弧，则，于是在中，，，，可得点的横坐标为，点的纵坐标为，所以点的坐标为.故答案为：.18．（陕西省西安市周至县2023届高三下学期二模理科数学试题）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示出d和，进而求得的值.【详解】过点O作于D，则，则，则故选：A19．（广西邕衡金卷2023届高三一轮复习诊断性联考数学（理）试题）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【详解】设圆心角，，，所以，，所以．故选：B.20．【多选】（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．当时，，，所以C错误．反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．故选：AD．21．（贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（文）试题）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．【答案】【分析】由已知可判断点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.先求解当点在平面内时，可推得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.然后根据扇形的弧长公式，即可得出当点在平面内时，点P的轨迹长度是，进而得出答案.【详解】因为，所以点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.当点在平面内时，由平面，平面，可知，所以，所以，所以点到的距离为，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.如上图，，，则的长，所以，当点在平面内时，点P的轨迹长度是.同理可得，当点在平面内时，点P的轨迹长度也是.当点在平面时，点P的轨迹长度也是.综上所述，点P的轨迹长度为.故答案为：.22．（2023高三专题训练）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】由扇形弧长公式可求得圆心角，根据可求得结果.【详解】根据题意作图如下，由题意知：的长为，为的中点，，，即所求距离约为米.故选：A.（二）扇形面积的有关计算23．（2023河南省许昌市鄢陵县职业教育中心期末）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（

）A．30 B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式求得结果.【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1，所以扇形的面积.故选：B.24．（上海市长宁区2023届高三二模数学试题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________．【答案】/【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，，解得：，，圆锥体积.故答案为：.25．（福建省连城县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.【答案】100【分析】本题可通过题意中的“以径乘周四而一”得出答案.【详解】因为径长为20米，下周长为20米，所以由题意中“以径乘周四而一”可知，该扇形菜田的面积平方米。故答案为：100.26．（北京市陈经纶中学2022-2023学年高三上学期12月诊断数学试题）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设等边三角形的边长为，由题意可得，进而求出的值，再求出扇形的面积和等边三角形的面积，从而求出该勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形的边长为，则由题意得：，解得：，所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，又等边三角形的面积为，则该勒洛三角形的面积为，故选：B.27．（2023高三专题训练）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，解得：.故选：A.28．（山西省长治市辅成学校2023届高三上学期1月大联考（新高考卷）数学试题）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由直角三角形的面积及扇形的面积即可得解.【详解】如图，设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，且，则，所以，所以该封闭图形的面积为.故选：A.29．（湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由条件可得，化简计算可得的值，从而得到结果.【详解】设扇形的圆心角，所在圆的半径为，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，故扇形的面积为.故选:A.30．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．【答案】【分析】过点作，在中，表示出.然后在中，根据勾股定理，得出.进而根据已知，结合三角形的面积公式，即可得出答案.【详解】如图，过点作，设所在圆的半径为，则，在中，，，所以，，所以，.在中，有，即，整理可得，.因为，所以，所以，扇形OAC的面积为.故答案为：.【点睛】关键点睛：作，得到两个直角三角形.表示出各边关系，进而求得扇形的半径.（三）扇形中的最值问题31．（天津市河东区2023届高三一模数学试题）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则，所以，则扇形的周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，所以周长最小时半径的值为.故选：C.32．（2023高三专题训练）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.【分析】设扇形的半径是，扇形的弧长为，根据扇形的周长为30cm，则有，然后利用扇形面积公式表示扇形面积求其最值，根据弧长公式求圆心角.【详解】设扇形的半径是，扇形的弧长为，圆心角的弧度数是，则，.扇形的面积，可得当时，，又，所以.所以，当扇形的半径为，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是.33．（2023高三专题训练）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【答案】(1)(2)最大值为25；【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解【详解】（1）因为，所以扇形的面积为；（2）由题意可知：，即，所以扇形的面积为，当时，扇形面积的最大值为，此时，34．（广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（

）A． B． C．2 D．不存在【答案】A【分析】由题意点P，Q都不再运动，且满足已知条件时，为的中点，且，则为的中点，连接交于，求出，即可得解.【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置，此时，，则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时，，且点离最远，则为的中点，所以为的中点，连接交于，因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，为的中点，又因，为的中点，所以，，所以，因为为的中点，所以，所以.故选：A.35．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．(1)求扇形的周长；(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.【详解】（1）由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；（2）设，则，，所以，所以矩形的面积，，所以当时，取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.36．（2023·全国·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.(1)求关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.【详解】（1）解：根据题意，可算得，．因为，所以，所以，.（2）解：根据题意，可知，当时，.综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.（四）扇形弧长公式与面积公式的应用37．（辽宁省朝阳市第一高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为________．【答案】【分析】根据扇形的面积公式列式可求出结果.【详解】依题意得，，设半径为，由，得，得.故答案为：38．（浙江省S9联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm．【答案】【分析】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得出，求解即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得，圆心角，面积，所以有，即，解得.故答案为：.39．（2023高三专题训练）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，所以扇形的中心角的弧度数是或.故选：C40．（2023山东省威海市乳山市银滩高级中学月考）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．【答案】【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解.【详解】由扇形面积公式，可得，解得，所以，所以.故答案为：41．（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为______．【答案】或【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为，依题意，，即，解得或，当时，圆锥的高，体积为，当时，圆锥的高，体积为，所以该圆锥的体积为或.故答案为：或42．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据扇形弧长公式可知弧所在圆和弧所在圆的半径之间关系为，结合可求得，再根据柱体的体积计算公式，采用切割的方式可求得结果.【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，因为弧的长度是弧长度的2倍，所以，即，又，则，所以该曲池的体积，故选：.考点三三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值43．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求值计算作答.【详解】因为角的终边经过点，则，因此，所以.故选：B44．（山西省临汾市2023届高三二模数学试题）已知点是角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的定义得出，利用三角恒等变换代入化简即可.【详解】故选：A.45．（北京市房山区2023届高三二模数学试题）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______．【答案】/0.6【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点关于轴的对称点，即可求得，再结合余弦的差角公式即可得到结果.【详解】由题意，角终边过点，由三角函数定义知：，，，由角终边与角终边关于轴对称得角的终边过点，所以，，故.故答案为：，.46．（四川省攀枝花市2023届高三第三次统一考试理科数学试题）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用三角函数的定义可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】因为为锐角，，则，所以，，由三角函数的定义可得，因此，.故选：A.47．（四川省宜宾市2023届高三下学期第二次诊断性测试理科数学试题）四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由正切函数的定义即可求得，再根据正切的和差公式即可求解.【详解】依题意，设正方形的边长为1，根据正切函数的定义有：，所以.故选：C.（二）由三角函数值求终边上的点或参数48．（江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知角的终边上一点，则（

）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【分析】可由题意，利用坐标分别表示出，然后再计算即可得到答案.【详解】因为角的终边上一点，所以，，所以.故选：C.49．（河南省开封市2023届高三第三次模拟考试理科数学试题）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可.【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，故，所以.故选：B50．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，且，求的值.【答案】【分析】根据三角函数的定义列式求解即可.【详解】因为角的终边经过点，且，所以由三角函数的定义可得，即，解得，所以，，，所以，51．（北京市八一学校2023届高三下学期3月月考数学试题）已知角终边经过点，且，则的值为_________．【答案】/【分析】根据终边所过点和任意角三角函数定义直接求解即可.【详解】，，.故答案为：.52．（2023高三专题训练）已知角的终边过点，若，则实数m的值为（

）A． B．4 C．或3 D．或4【答案】D【分析】先根据二倍角公式求出，再利用三角函数的定义可求答案.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：D．（三