2025版高考数学大一轮复习第十章概率3第3讲几何概型新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第3讲几何概型[基础题组练]1．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|y＝\r(10＋3a－a2)))，若在集合A内任取一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为()A.eq\f(1,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：选B.由10＋3a－a2≥0，解得－2≤a≤5，即A＝[－2，5]．因为1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，故2＋a－a2＞0，解得－1＜a＜2.由几何概型的学问可得，所求的概率P＝eq\f(2－（－1）,5－（－2）)＝eq\f(3,7).故选B.2．(2024·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故选A.3.(2024·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限靠近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，b∈N*，b＜a)，则圆周率的近似值为()A.eq\f(b,a)B.eq\f(a,b)C.eq\f(3a,b)D.eq\f(3b,a)解析：选C.依题意可得eq\f(360°,12)＝30°，则正十二边形的面积为12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二边形内，依据几何概型可得eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，则π＝eq\f(3a,b)，选C.4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选B.若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π.全部事务是{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，所以S＝(2π)2＝4π2，而满意条件的事务是{(a，b)|a2＋b2≥π}，所以S1＝4π2－π2＝3π2，则概率P＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).5．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为________．解析：由题知1<log2x<2，解得2<x<4，故log2x的值介于1到2之间的概率为eq\f(4－2,6－0)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6.如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝eq\f(V锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).答案：eq\f(1,2π)7．(2024·西安市八校联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满意x＋y≥2的概率为________．解析：如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤4，,x＋y≥2))对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝eq\f(S阴影,S圆)＝eq\f(\f(1,4)×4π－\f(1,2)×2×2,4π)＝eq\f(π－2,4π).答案：eq\f(π－2,4π)8．(2024·辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．解：(1)x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.则基本领件有(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共9个，其中满意x＋y≥0的基本领件有8个，故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为eq\f(8,9).(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事务M，x∈[0，2]，y∈[－1，1]表示的区域为如图所示的四边形ABCD及其内部，事务M表示的区域为图中的阴影部分．所以P(M)＝eq\f(S阴影,S四边形ABCD)＝eq\f(S四边形ABCD－\f(1,2)×1×1,S四边形ABCD)＝eq\f(2×2－\f(1,2)×1×1,2×2)＝eq\f(7,8)，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为eq\f(7,8).[综合题组练]1．(应用型)(2024·南宁二中、柳州中学联考)老师安排在晚自习19：00－20：00解答同学甲、乙的问题，预料解答完一个学生的问题须要20分钟，若甲、乙两人在晚自习的随意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不须要等待的概率为()A.eq\f(2,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)解析：选B.设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－y|≥20，,0≤x≤60，,0≤y≤60.))作出该不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，则所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×40×40×2,60×60)＝eq\f(4,9).故选B.2．(应用型)七巧板是一种古老的中国传统智力嬉戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：选A.设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，所以S△BCI＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)，S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以所求的概率P＝eq\f(S△BCI＋S平行四边形EFGH,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq\f(3,16).故选A.3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)a2.由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，所以圆的面积S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由几何概型的概率计算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)4．如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于eq\f(1,4)的概率为________．解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于eq\f(1,4)，则eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB<eq\f(1,4)，所以sin∠AOB<eq\f(1