2024年中考数学专题综合复习

PAGE辅导教案学员姓名辅导科目数学年级九年级授课教师课题2024年中考专题复习授课时间教学目标重点、难点教学内容一元二次方程及应用【考点例析】考点一：一元二次方程的解例1〔2024•牡丹江〕假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2024-a-b的值是〔〕A．2024 B．2024 C．2024 D．2024对应训练1．〔2024•黔西南州〕x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，那么代数式a2+b2+2ab的值是．考点二：一元二次方程的解法例2〔2024•宁夏〕一元二次方程x〔x-2〕=2-x的根是〔〕A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2例3〔2024•佛山〕用配方法解方程x2-2x-2=0．2．〔2024•陕西〕一元二次方程x2-3x=0的根是．3．〔2024•白银〕现定义运算“★〞，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，假设x★2=6，那么实数x的值是．4．〔2024•山西〕解方程：〔2x-1〕2=x〔3x+2〕-7．考点三：根的判别式的运用例4〔2024•乐山〕关于x的一元二次方程x2-〔2k+1〕x+k2+k=0．

〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；

〔2〕假设△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．5．〔2024•泰州〕以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=06．〔2024•乌鲁木齐〕假设关于x的方程式x2-x+a=0有实根，那么a的值可以是〔〕A．2 B．1 C．0.5 D．0.257．〔2024•六盘水〕关于x的一元二次方程〔k-1〕x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠18．〔2024•北京〕关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．

〔1〕求k的取值范围；

〔2〕假设k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点四：一元二次方程的应用例5〔2024•连云港〕小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

〔2〕小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．〞他的说法对吗？请说明理由．9．〔2024•重庆〕随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速开展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

〔1〕求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

〔2〕假设甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？〔甲、乙两队的施工时间按月取整数〕【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•安顺〕关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，那么实数k的值为〔〕A．1 B．-1 C．2 D．-22．〔2024•鞍山〕b＜0，关于x的一元二次方程〔x-1〕2=b的根的情况是〔〕A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3.〔2024•珠海〕一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．以下说法正确的选项是〔〕A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解4.〔2024•威海〕关于x的一元二次方程〔x+1〕2-m=0有两个实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥- B．m≥0 C．m≥1 D．m≥25．〔2024•日照〕一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，那么下面对x1的估计正确的选项是〔〕A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜06．〔2024•滨州〕对于任意实数k，关于x的方程x2-2〔k+1〕x-k2+2k-1=0的根的情况为〔〕A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定7．〔2024•潍坊〕关于x的方程kx2+〔1-k〕x-1=0，以下说法正确的选项是〔〕A．当k=0时，方程无解B．当k=1时，方程有一个实数解C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．8．〔2024•东营〕要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排21场比赛，那么参赛球队的个数是〔〕A．5个 B．6个 C．7个 D．8个9．〔2024•咸宁〕关于x的一元二次方程〔a-1〕x2-2x+3=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕A．2 B．1 C．0 D．-110．〔2024•丽水〕一元二次方程〔x+6〕2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，那么另一个一元一次方程是〔〕A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4二、填空题11．〔2024•张家界〕假设关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，那么k的非负整数值是．12．〔2024•黑龙江〕假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=．13．〔2024•常州〕x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，那么a=．14．〔2024•巴中〕方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个等腰三角形的周长为．15．〔2024•哈尔滨〕某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，那么平均每次降价的百分率为．〔2024•临沂〕对于实数a，b，定义运算“﹡〞：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．假设x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，那么x1﹡x2=．17．〔2024•绵阳〕整数k＜5，假设△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，那么△ABC的周长．解答题18．〔2024•杭州〕当x满足条件时，求出方程x2-2x-4=0的根．19．〔2024•南充〕关于x的一元二次方程为〔m-1〕x2-2mx+m+1=0．

〔1〕求出方程的根；〔2〕m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？20．〔2024•日照〕，关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．21．〔2024•菏泽〕：关于x的一元二次方程kx2-〔4k+1〕x+3k+3=0

〔k是整数〕．

〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；

〔2〕假设方程的两个实数根分别为x1，x2〔其中x1＜x2〕，设y=x2-x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；假设不是，请说明理由．22．〔2024•淄博〕关于x的一元二次方程〔a-6〕x2-8x+9=0有实根．

〔1〕求a的最大整数值；〔2〕当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值．23．〔2024•泰安〕某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周假设按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售〔根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价〕，单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？24．〔2024•威海〕要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．

〔1〕求小亮设计方案中甬路的宽度x；

〔2〕求小颖设计方案中四块绿地的总面积〔友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同〕

25．〔2024•淮安〕小丽为校合唱队购置某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购置不超过10件，单价为80元；如果一次性购置多于10件，那么每增加1件，购置的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购置这种服装付了1200元．请问她购置了多少件这种服装？26．〔2024•绵阳〕“低碳生活，绿色出行〞，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2024年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

〔1〕假设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

〔2〕考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？分式方程【考点例析】考点一：分式方程的解例1〔2024•黑龙江〕关于x的分式方程=1的解是非正数，那么a的取值范围是〔〕A．a≤-1 B．a≤-1且a≠-2 C．a≤1且a≠-2 D．a≤1．1．〔2024•贵港〕关于x的分式方程=-1的解是负数，那么m的取值范围是〔〕A．m＞-1 B．m＞-1且m≠0 C．m≥-1 D．m≥-1且m≠02．〔2024•绥化〕假设关于x的方程+1无解，那么a的值是．考点二：解分式方程例2〔2024•资阳〕解方程：．3．〔2024•泰州〕解方程：．考点三：由实际问题抽象出分式方程例3〔2024•深圳〕小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．假设设小朱速度是x米/分，那么根据题意所列方程正确的选项是〔〕A．B．C． D．4．〔2024•锦州〕为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x人，那么x满足的方程是〔〕A．B．C． D．考点四：分式方程的应用例4〔2024•湘西州〕吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一局部学生沿“谷韵绿道〞骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达〔两条道路路程相同〕，汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．

5．〔2024•三明〕兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．

〔1〕第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？

〔2〕老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，假设要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？〔利润=售价-进价〕【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•重庆〕分式方程的根是〔〕A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-22．〔2024•莱芜〕方程的解为〔〕A．-2 B．2 C．±2 D．-3．〔2024•玉林〕方程的解是〔〕A．x=2 B．x=1 C．x= D．x=-24．〔2024•铁岭〕某工厂生产一种零件，方案在20天内完成，假设每天多生产4个，那么15天完成且还多生产10个．设原方案每天生产x个，根据题意可列分式方程为〔〕A．B．C． D．5．〔2024•泰安〕某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也参加该电子元件的生产，假设乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为〔〕A．B．C． D．6．〔2024•乐亭县一模〕某服装加工厂方案加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原方案提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原方案每天加工x套运动服，根据题意可列方程为〔〕A．B．C．D．二、填空题7.〔2024•扬州〕关于x的方程=2的解是负数，那么n的取值范围为．8.〔2024•威海〕假设关于x的方程无解，那么m=．9．〔2024•潍坊〕方程的根是．10．〔2024•临沂〕分式方程=3的解是．11.〔2024•牡丹江〕假设关于x的分式方程=1的解为正数，那么a的取值范围是．12．〔2024•齐齐哈尔〕假设关于x的分式方程-2有非负数解，那么a的取值范围是．13．〔2024•舟山〕杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，那么可列方程为．三、解答题14．〔2024•扬州〕某校九〔1〕、九〔2〕两班的班长交流了为四川安雅地震灾区捐款的情况：

〔Ⅰ〕九〔1〕班班长说：“我们班捐款总数为1200元，我们班人数比你们班多8人．〞

〔Ⅱ〕九〔2〕班班长说：“我们班捐款总数也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．〞

请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．15．〔2024•新疆〕佳佳果品店在批发市场购置某种水果销售，第一次用1200元购进假设干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购置时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购置的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．

〔1〕求第一次水果的进价是每千克多少元？

〔2〕该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？16．〔2024•济宁〕人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：

“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否那么，这个解不是原分式方程的解．〞

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：

关于x的方程无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．

〔1〕求m和k的值；〔2〕求方程x2+kx+6=0的另一个根．平面直角坐标系与函数【考点例析】考点一：平面直角坐标系中点的特征例1〔2024•淄博〕如果m是任意实数，那么点P〔m-4，m+1〕一定不在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

对应训练1．〔2024•宁夏〕点

P〔a，a-3〕在第四象限，那么a的取值范围是．考点二：规律型点的坐标例2〔2024•济南〕如图，动点P从〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为〔〕A．〔1，4〕 B．〔5，0〕 C．〔6，4〕 D．〔8，3〕

2．〔2024•江都市一模〕如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A〔2，0〕同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，那么两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是〔〕A．〔2，0〕B．〔-1，1〕C．〔-2，1〕D．〔-1，-1〕考点三：函数自变量的取值范围例3〔2024•常德〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x≥-3 B．x≥3 C．x≥0且x≠1 D．x≥-3且x≠1考点四：函数的图象例4〔2024•重庆〕2024年“中国好声音〞全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是〔〕A． B． C． D．3．〔2024•湘西州〕小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y〔米〕与时间x〔分钟〕之间的关系的大致图象是〔〕A．B．C． D．考点四：动点问题的函数图象例5〔2024•烟台〕如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．假设P，Q同时开始运动，设运动时间为t〔s〕，△BPQ的面积为y〔cm2〕．y与t的函数图象如图2，那么以下结论错误的选项是〔〕

A.AE=6cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤10时，y=t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形4．〔2024•铁岭〕如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如以以下图是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合局部的面积为S，运动时间为t，那么S与t的图象大致是〔〕A．B．C．D．【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•郴州〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠-32．〔2024•资阳〕在函数y=中，自变量x的取值范围是〔〕A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞13．〔2024•玉林〕均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如以以下图，那么这个瓶子的形状是以下的〔〕A．B．C．D．4．〔2024•乌鲁木齐〕某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资〔调进与调出的速度保持不变〕．该仓库库存物资m〔吨〕与时间t〔小时〕之间的函数关系如以以下图．那么这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是〔〕A．8.4小时 B．8.6小时 C．8.8小时 D．9小时5．〔2024•黄冈〕一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，那么图中折线大致表示两车之间的距离y〔千米〕与快车行驶时间〔小时〕之间的函数图象是〔〕A．B．C．D．6．〔2024•绍兴〕如图是我国古代计时器“漏壶〞的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，那么y与x的函数关系式的图象是〔〕A．B．C．D．〔2024•东营〕假设定义：f〔a，b〕=〔-a，b〕，g〔m，n〕=〔m，-n〕，例如f〔1，2〕=〔-1，2〕，g〔-4，-5〕=〔-4，5〕，那么g〔f〔2，-3〕〕=〔〕A．〔2，-3〕 B．〔-2，3〕 C．〔2，3〕 D．〔-2，-3〕8．〔2024•济南〕甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s〔米〕与赛跑时间t〔秒〕的关系如以以下图，那么以下说法正确的选项是〔〕A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多9．〔2024•潍坊〕用固定的速度如以以下图形状的杯子里注水，那么能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是

〔〕A．B．C．D．10．〔2024•临沂〕如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t〔s〕，△OEF的面积为s〔cm2〕，那么s〔cm2〕与t〔s〕的函数关系可用图象表示为〔〕A．B．C．D．11．〔2024•三明〕如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么以以以下图象能大致刻画S与t之间的关系的是〔〕A．B．C．D．12．〔2024•天津〕如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有以下3个不同的问题情境：

①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；

②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．

其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．313．〔2024•南充〕如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，y与t的函数关系的图象如图2〔曲线OM为抛物线的一局部〕，那么以下结论：其中正确结论的个数为〔〕

①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，y=t2；③直线NH的解析式为y=-t+27；

④假设△ABE与△QBP相似，那么t=秒，A．4B．3 C．2 D．1二、填空题14．〔2024•云南〕在函数y=中，自变量x的取值范围是15．〔2024•上海〕函数

f(x)=，那么f〔〕=16．〔2024•新疆〕某书定价25元，如果一次购置20本以上，超过20本的局部打八折，试写出付款金额y〔单位：元〕与购书数量x〔单位：本〕之间的函数关系17．〔2024•聊城〕如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1〔0，1〕，A2〔1，1〕，A3〔1，0〕，A4〔2，0〕，…那么点A4n+1〔n为自然数〕的坐标为〔用n表示〕

18．〔2024•东营〕如图，直线l：y=，过点A〔0，1〕作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，那么点A2024的坐标为19．〔2024•兰州〕如图，在直角坐标系中，点A〔-3，0〕、B〔0，4〕，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，那么△2024的直角顶点的坐标为．

20．〔2024•湖州〕如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点A〔0，3〕，点B是x轴正半轴上的整点，记

△AOB内部〔不包括边界〕的整点个数为m．当点B的横坐标为3n〔n为正整数〕时，m=〔用含n的代数式表示〕．21．〔2024•咸宁〕“龟兔首次赛跑〞之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑〞的故事〔x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程〕．有以下说法：其中正确的说法是．

①“龟兔再次赛跑〞的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．一次函数【考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1〔2024•大庆〕对于函数y=-3x+1，以下结论正确的选项是〔〕A．它的图象必经过点〔-1，3〕B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而增大考点二：一次函数的图象和系数的关系例2〔2024•莆田〕一次函数y=〔m-2〕x-1的图象经过二、三、四象限，那么m的取值范围是〔〕A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2例3〔2024•眉山〕假设实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，那么函数y=cx+a的图象可能是〔〕A． B． C． D．对应训练1．〔2024•福州〕A，B两点在一次函数图象上的位置如以以下图，两点的坐标分别为A〔x+a，y+b〕，B〔x，y〕，以下结论正确的选项是〔〕A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0考点三：一次函数解析式确实定例4〔2024•常州〕一次函数y=kx+b〔k、b为常数且k≠0〕的图象经过点A〔0，-2〕和点B〔1，0〕，那么k=，b=．考点四：一次函数与方程〔组〕、不等式〔组〕的关系例5〔2024•黔西南州〕如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A〔m，3〕，那么不等式2x＜ax+4的解集为〔〕A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3考点五：一次函数综合题例6〔2024•绥化〕如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC〔OA＞OC〕的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．

〔1〕求C点坐标；〔2〕求直线MN的解析式；

〔3〕在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．2．〔2024•齐齐哈尔〕如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点〔OA＜OB〕且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-〔+1〕x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2

〔1〕求A、C两点的坐标；

〔2〕假设点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

〔3〕点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？假设存在，请直接写出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．考点六：一次函数的应用例7〔2024•株洲〕某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y〔单位：厘米〕与观察时间x〔单位：天〕的关系，并画出如以以下图的图象〔AC是线段，直线CD平行x轴〕．

〔1〕该植物从观察时起，多少天以后停止长高？〔2〕求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？3．〔2024•湛江〕周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所〔景点〕，游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y〔km〕与小明离家时间x〔h〕的函数图象．

〔1〕求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

〔2〕假设妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•陕西〕如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A〔2，m〕，B〔n，3〕，那么一定有〔〕A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜02．〔2024•荆门〕假设反比例函数y=的图象过点〔-2，1〕，那么一次函数y=kx-k的图象过〔〕A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限3．〔2024•黔东南州〕直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，那么m的取值范围是〔〕A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤14．〔2024•菏泽〕一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过〔〕A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限 D．第二、三、四象限5．〔2024•潍坊〕设点A〔x1，y1〕和B〔x2，y2〕是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，那么一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．〔2024•泰安〕把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，那么m取值范围是〔〕A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜47．〔2024•威海〕甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s〔km〕与行驶时间t〔h〕的函数关系．那么以下说法错误的选项是〔〕A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．经过0.25小时两摩托车相遇D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地km8．〔2024•十堰〕张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油假设干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，油箱中剩余油量y〔升〕与行驶时间t〔小时〕之间的关系如以以下图．以下说法错误的选项是〔〕A．加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t的函数关系是y=-8t+25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升9．〔2024•天门〕小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s〔米〕与小文出发时间t〔分〕之间的函数关系如以以下图．以下说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题10．〔2024•永州〕一次函数y=kx+b的图象经过A〔1，-1〕，B〔-1，3〕两点，那么k0〔填“＞〞或“＜〞〕11.〔2024•成都〕点〔3，5〕在直线y=ax+b〔a，b为常数，且a≠0〕上，那么的值为．12．〔2024•潍坊〕一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．那么b的取值范围是．13.〔2024•包头〕如图，一条直线经过点A〔0，2〕、点B〔1，0〕，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．假设DB=DC，那么直线CD的函数解析式为．14．〔2024•温州〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为〔-2，0〕，〔-1，0〕，BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′〔A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点〕，直线y=x+b经过点A，C′，那么点C′的坐标是．15．〔2024•孝感〕如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y〔单位：升〕与时间x〔单位：分〕之间的局部关系．那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完．16．〔2024•随州〕甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y〔千米〕与小聪行驶的时间x〔小时〕之间的函数关系如以以下图，小明父亲出发小时时，行进中的两车相距8千米．三、解答题20．〔2024•盐城〕水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．

〔1〕现在实际购进这种水果每千克多少元？

〔2〕王阿姨准备购进这种水果销售，假设这种水果的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕满足如以以下图的一次函数关系．

①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？〔利润=销售收入-进货金额〕21．〔2024•河北〕如图，A〔0，1〕，M〔3，2〕，N〔4，4〕．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．

〔1〕当t=3时，求l的解析式；

〔2〕假设点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

〔3〕直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．22．〔2024•临沂〕某工厂投入生产一种机器的总本钱为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台本钱y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的局部对应值如下表：x〔单位：台〕102030y〔单位：万元∕台〕605550〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

〔2〕求该机器的生产数量；

〔3〕市场调查发现，这种机器每月销售量z〔台〕与售价a〔万元∕台〕之间满足如以以下图的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．〔注：利润=售价-本钱〕23．〔2024•滨州〕根据要求，解答以下问题：

〔1〕直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；

〔2〕如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．

①求直线l3的函数表达式；

②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．

〔3〕分别观察〔1〕〔2〕中的两个函数表达式，请猜测：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜测结论直接写出过原点且与直线y=-x垂直的直线l5的函数表达式．24．〔2024•济宁〕如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．假设运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形〔点P、Q重合除外〕．

〔1〕求点P运动的速度是多少？

〔2〕当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

〔3〕当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．反比例函数【考点例析】考点一：反比例函数的图象和性质例1〔2024云南〕假设ab＞0，那么一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是〔〕A． B． C． D．例2〔2024•绥化〕对于反比例函数y=，以下说法正确的选项是〔〕A．图象经过点〔1，-3〕B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小对应训练1．〔2024•随州〕正比例函数y=kx和反比例函数〔k是常数且k≠0〕在同一平面直角坐标系中的图象可能是〔〕A． B． C． D．2．〔2024•河北〕反比例函数y=的图象如以以下图，以下结论：正确的选项是〔〕

①常数m＜-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③假设A〔-1，h〕，B〔2，k〕在图象上，那么h＜k；

④假设P〔x，y〕在图象上，那么P′〔-x，-y〕也在图象上．A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点二：反比例函数解析式确实定例4〔2024•广元〕关于x的方程〔x+1〕2+〔x-b〕2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为〔〕A．B．C．D．考点三：反比例函数k的几何意义例5〔2024•内江〕如图，反比例函数〔x＞0〕的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，假设四边形ODBE的面积为9，那么k的值为〔〕A．1 B．2C．3D．43．〔2024•锦州〕如图，直线y=mx与双曲线交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，假设S△ABM=2，那么k的值为〔〕A．-2 B．2C．4D．-4考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6〔2024•岳阳〕如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，以下说法正确的选项是〔〕A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大4．〔2024•达州〕一次函数y1=kx+b〔k≠0〕与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如以以下图，假设y1＞y2，那么x的取值范围是〔〕A．-2＜x＜0或x＞1B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜1【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•广东〕k1＜0＜k2，那么函数y=k1x-1和的图象大致是〔〕A． B． C． D．2.〔2024•六盘水〕以以以下图形中，阴影局部面积最小的是〔〕A． B． C． D．3．〔2024•淄博〕如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，那么该反比例函数的解析式是〔〕A．y= B．y= C．y= D．y=二、填空题4.反比例函数y=在第一象限的图象如以以下图，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，那么S△AOB=．5．〔2024•营口〕双曲线y=和y=的局部图象如以以下图，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．假设CB=2CA，那么k=6．〔2024•张家界〕如图，直线x=2与反比例函数y=和y=-的图象分别交于A、B两点，假设点P是y轴上任意一点，那么△PAB的面积是．二次函数的图象和性质【考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1〔2024•常州〕二次函数y=a〔x-2〕2+c〔a＞0〕，当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，那么y1，y2，y3的大小关系正确的选项是〔〕A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y21．〔2024•衢州〕二次函数y=x2-7x+，假设自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，那么对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的选项是〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2〔2024•咸宁〕对于二次函数y=x2-2mx-3，有以下说法：其中正确的说法是．①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，那么m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，那么m=-1；④如果当x=8时的函数值与x=2024时的函数值相等，那么当x=2024时的函数值为-3．〔2024•河北〕如图，抛物线y1=a〔x+2〕2-3与y2=〔x-3〕2+1交于点A〔1，3〕，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．那么以下结论：其中正确结论是〔〕①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；A．①②B．②③C．③④D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3〔2024•玉林〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下图，其对称轴为x=1，有如下结论：那么正确的结论是〔〕①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④假设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=2，①②B．①③C．②④D．③④3．〔2024•重庆〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下图对称轴为x=．以下结论中，正确的选项是〔〕A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4〔2024•桂林〕如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，那么平移后的抛物线解析式是〔〕A．y=〔x+1〕2-1B．y=〔x+1〕2+1C．y=〔x-1〕2+1D．y=〔x-1〕2-1〔2024•南京〕以下函数①y=x2；②y=-x2；③y=〔x-1〕2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•白银〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下图，那么函数值y＜0时x的取值范围是〔〕A．x＜-1B．x＞3C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞32．〔2024•兰州〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下图，假设|ax2+bx+c|=k〔k≠0〕有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜-3B．k＞-3C．k＜3D．k＞3〔2024•德阳〕设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是〔〕A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3〔2024•乐山〕二次函数y=ax2+bx+1〔a≠0〕的图象的顶点在第一象限，且过点〔-1，0〕．设t=a+b+1，那么t值的变化范围是〔〕A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．-1＜t＜15．〔2024•广元〕假设二次函数y=ax2+bx+a2-2的图象如图，那么a的值为〔〕A．1B．C．-D．-2〔2024•西宁〕如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过〔﹣1，1〕、〔2，﹣1〕两点，以下关于这个二次函数的表达正确的选项是〔〕A．当x=0时，y的值大于1B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1D．y的最大值小于07．〔2024•巴中〕对于二次函数y=2〔x+1〕〔x-3〕，以下说法正确的选项是〔〕A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-18.〔2024•天门〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下图，它与x轴的两个交点分别为〔-1，0〕，〔3，0〕．对于以下命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个9．〔2024•泰安〕二次函数y=a〔x+m〕2+n的图象如图，那么一次函数y=mx+n经过〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限10.〔2024•陕西〕在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上〔下〕或向左〔右〕平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，那么|m|的最小值为〔〕A．1B．2C．3D．611．〔2024•菏泽〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下图，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是〔〕A．B．C．D．12．〔2024•泰安〕设A〔-2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=-〔x+1〕2+a上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y213．〔2024•烟台〕二次函数y=2〔x-3〕2+1．以下说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为〔3，-1〕；④当x＜3时，y随x的增大而减小．那么其中说法正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个14.〔2024•日照〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下图，给出以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题15．〔2024•玉林〕二次函数y=-〔x-2〕2+的图象与x轴围成的封闭区域内〔包括边界〕，横、纵坐标都是整数的点有个16．〔2024•孝感〕二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕图象的对称轴是直线x=1，其图象的一局部如以以下图．以下说法：其中正确的选项是①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．17．〔2024•长春〕在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a〔x-3〕2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，那么以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18．〔2024•成都〕有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们反面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x的一元二次方程x2-2〔a-1〕x+a〔a-3〕=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-〔a2+1〕x-a+2的图象不经过点〔1，0〕的概率是．19．〔2024•宁波〕把二次函数y=〔x-1〕2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为20．〔2024•贵港〕假设直线y=m〔m为常数〕与函数y=的图象恒有三个不同的交点，那么常数m的取值范围是21．〔2024•广安〕如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A〔-6，0〕和原点O〔0，0〕，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，那么图中阴影局部的面积为三、解答题22．〔2024•潍坊〕许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度〔如图〕，燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水〔当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，应选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90〕，记录相关数据得到下表：旋钮角度〔度〕2050708090所用燃气量〔升〕73678397115〔1〕请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；〔2〕当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？〔3〕某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．二次函数的综合题及应用【考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1〔2024•牡丹江〕如图，二次函数y=x2+bx+c过点A〔1，0〕，C〔0，-3〕

〔1〕求此二次函数的解析式；

〔2〕在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2〔2024•苏州〕二次函数y=x2-3x+m〔m为常数〕的图象与x轴的一个交点为〔1，0〕，那么关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是〔〕A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3对应训练1．〔2024•株洲〕二次函数y=2x2+mx+8的图象如以以下图，那么m的值是〔〕A．-8 B．8 C．±8 D．6考点三：二次函数的实际应用例3〔2024•营口〕为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农〞优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，这种产品的本钱价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

〔1〕求w与x之间的函数关系式．

〔2〕该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

〔3〕如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？2．〔2024•武汉〕科幻小说?实验室的故事?中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况〔如下表〕：温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．

〔1〕请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；

〔2〕温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？

〔3〕如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．考点四：二次函数综合性题目例4〔2024•自贡〕如图，抛物线y=ax2+bx-2〔a≠0〕与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D〔2，3〕，tan∠DBA=．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

〔3〕在〔2〕中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？假设存在，求出圆心Q的坐标；假设不存在，请说明理由．3.〔2024•张家界〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象过点C〔0，1〕，顶点为Q〔2，3〕，点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

〔1〕求直线CD的解析式；〔2〕求抛物线的解析式；

〔3〕将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

〔4〕在〔3〕的条件下，假设点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．【聚焦中考】一、选择题1．〔2024•大庆〕函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，那么m的值可能是〔〕A．-4 B．0 C．2 D．32．〔2024•南昌〕假设二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象与x轴有两个交点，坐标分别为〔x1，0〕，〔x2，0〕，且x1＜x2，图象上有一点M〔x0，y0〕在x轴下方，那么以下判断正确的选项是〔〕A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2 D．a〔x0-x1〕〔x0-x2〕＜03．〔2024•淄博〕如图，Rt△OAB顶点A〔-2，4〕在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，那么P的坐标为〔〕A．〔，〕 B．〔2，2〕 C．〔，2〕 D．〔2，〕4．〔2024•湖州〕如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．假设抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形〞．以O为坐标原点建立如以以下图的平面直角坐标系，假设抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为3，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，那么满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是〔〕A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题5．〔2024•宿迁〕假设函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，那么常数m的值是．6．〔2024•贵港〕如图，在平面直角坐标系xOy中，假设动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F〔0，n〕，且与直线y=-n始终保持相切，那么n=〔用含a的代数式表示〕．7．〔2024•锦州〕二次函数y=x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周长为．三、解答题8．〔2024•鞍山〕某商场购进一批单价为4元的日用品．假设按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；假设按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y〔件〕与价格x〔元/件〕之间满足一次函数关系．

〔1〕试求y与x之间的函数关系式；

〔2〕当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？9．〔2024•乌鲁木齐〕某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y〔万个〕与销售价格x〔元/个〕的变化如下表：价格x〔元/个〕…30405060…销售量y〔万个〕…5432…同时，销售过程中的其他开支〔不含造价〕总计40万元．

〔1〕观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y〔万个〕与x〔元/个〕的函数解析式．

〔2〕求出该公司销售这种计算器的净得利润z〔万个〕与销售价格x〔元/个〕的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

〔3〕该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x〔元/个〕的取值范围，假设还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？10．〔2024•黄冈〕某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢送，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，假设在国内市场销售，平均每件产品的利润y1〔元〕与国内销售量x〔千件〕的关系为：

y1=，

假设在国外销售，平均每件产品的利润y2〔元〕与国外的销售数量t〔千件〕的关系为y2=。〔1〕用x的代数式表示t为：t=；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=；当时，y2=100；

〔2〕求每年该公司销售这种健身产品的总利润w〔千元〕与国内销售数量x〔千件〕的函数关系式，并指出x的取值范围；

〔3〕该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？11．〔2024•日照〕一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x〔元〕与每月租出的车辆数〔y〕有如下关系：x3O00320035004000y100969080〔1〕观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y〔辆〕与每辆车的月租金x〔元〕之间的关系式．

〔2〕租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x〔x≥3000〕的代数式填表：租出的车辆数

未租出的车辆数

租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

〔3〕假设你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．12．〔2024•枣庄〕如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为〔3，0〕，与y轴交于C〔0，-3〕点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

〔1〕求这个二次函数的表达式．

〔2〕连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

〔3〕当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．13．〔2024•潍坊〕为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如以以下图的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边

BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月〔图中阴影局部〕，两弯新月局部栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．

〔1〕求y与x之间的函数解析式；

〔2〕当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

〔3〕求两弯新月〔图中阴影局部〕的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的？14．〔2024•烟台〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为〔-，0〕，以0C为直径作半圆，圆心为D．

〔1〕求二次函数的解析式；

〔2〕求证：直线BE是⊙D的切线；

〔3〕假设直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点〔点M与点B，C不重合〕，过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？假设存在，求出最大值；假设不存在，请说明理由．

15．〔2024•泰安〕如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于C〔0，-4〕，与x轴交于点A，B，且B的坐标为〔2，0〕

〔1〕求该抛物线的解析式．

〔2〕假设点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．

〔3〕假设点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．16.〔2024•威海〕如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

〔1〕求点A，B的坐标；

〔2〕求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

〔3〕设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．〔2024•潍坊〕如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D〔2，〕在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2〔k≠0〕的图象，点O是坐标原点．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕假设直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；

〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不管k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由．18.〔2024•湛江〕如图，在平面直角坐标系中，顶点为〔3，4〕的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点〔点B在点C的左侧〕，A点坐标为〔0，-5〕．

〔1〕求此抛物线的解析式；

〔2〕过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；

〔3〕在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

19．〔2024•曲靖〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

〔1〕求抛物线的解析式．

〔2〕当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

〔3〕连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？假设存在，求此点D坐标；假设不存在，说明理由．20．〔2024•钦州〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．

〔1〕求点A的坐标和∠AOB的度数；

〔2〕假设将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；

〔3〕在〔2〕的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；

〔4〕假设点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？假设存在，请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．三角形与全等三角形【考点例析】考点一：三角形三边关系例1〔2024•长沙〕如果一个三角形的两边长分别为2和4，那么第三边长可能是〔〕A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2〔2024•湘西州〕如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如以以以下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，那么∠BFD的度数是〔〕A．15° B．25° C．30° D．10°1．〔2024•鄂州〕一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，∠α度数是〔〕A．165° B．120° C．150°D．135°考点三：三角形全等的判定和性质例3〔2024•荆州〕如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．考点四：全等三角形开放性问题例5〔2024•云南〕如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE〔只能添加一个〕．

〔1〕你添加的条件是．

〔2〕添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．【聚焦中考】一、选择题1.〔2024•河北〕如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．那么以下说法正确的选项是〔〕A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，