自动控制原理 教案 项目4 控制系统的根轨迹法

项目名称项目四控制系统的根轨迹法教学内容根轨迹基本概念及其绘制的基础——根轨迹方程。绘制根轨迹的基本法则。广义根轨迹中非最小相位根轨迹、参数根轨迹、根轨迹簇及零度根轨迹的应用。增加开环零点和增加开环极点对根轨迹的影响。应用MATLAB进行绘制根轨迹的方法。授课时间授课学时教学目标学习目标1.理解根轨迹的定义及根轨迹方程的含义，以及已知根轨迹相角条件与幅值条件求根轨迹增益的方法。2.理解参数根轨迹、非最小相位根轨迹、根轨迹簇、零度根轨迹的定义及其绘制方法。3.掌握使用根轨迹分析控制系统的方法。4.了解应用MATLAB绘制根轨迹的方法。技能目标1.具备应用根轨迹法分析控制系统的能力。2.具备绘制根轨迹的能力。3.具备应用MATLAB绘制根轨迹的能力。素养目标1.锻炼处理人际关系的能力，积极参加学校举办的活动，主动建立和集体的联系。2.不断学习好的学习方法和思维模式，提升自己的思维能力，将所学运用到实践中。学情分析通过对本项目的学习，理解根轨迹基本概念及其绘制的基础——根轨迹方程。掌握绘制根轨迹的基本法则。熟悉广义根轨迹中非最小相位根轨迹、参数根轨迹、根轨迹簇及零度根轨迹的应用。掌握增加开环零点和增加开环极点对根轨迹的影响。熟练应用应用MATLAB进行绘制根轨迹的方法。教学方法学生通过课前预习、查阅相关资料，课堂上紧跟着老师的思路，做好随堂笔记，对老师所讲的内容要理解，课后要勤加练习、反思总结等方法进行本章节的学习。学生可以通过电脑根据在课堂上所学习的内容，反复的操作实践验证；实训课上要加强训练，同学之间要相互讨论。教学媒介教材、配套的PPT课件、多媒体教案等 教学过程教学环节教学内容教学引入1948年，伊万斯(Evans)根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征根比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。即当开环系统某一参数(如开环增益K或开环根轨迹增益K∗)发生变化时，用开环传递函数的零、极点推导出闭环传递函数的零、极点分布轨迹，进而分析闭环系统的稳态性能、动态性能，以及参数变化对系统性能的影响。利用根轨迹可以根据对系统瞬态特性的要求，来调整参数或确定开环零、极点位置。根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。教授新知一、明确教学目标二、教学内容“控制系统的根轨迹法”任务一根轨迹的基本概念与绘制一、根轨迹的基本概念根轨迹是当开环系统某一参数(如根轨迹增益K∗)从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹增益K∗是Ⅰ型开环传递函数对应的系数。可以应用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。依据系统的根轨迹图，能分析当参数(如K∗)变化时，对应根的变化过程和趋势，进而分析系统的稳定性、动态性能，以及参数变化对系统性能的影响。(一)稳定性开环增益从零变化到无穷大时，根轨迹全部落在左半s平面，因此当K∗>0(或K=0.5K∗>0)时，系统是稳定的；随着K∗的变化，使得系统的根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K∗(或K)值下系统是不稳定的；系统在根轨迹与虚轴交点处为临界稳定，对应的K∗(或K)值就是临界根轨迹增益。(二)动态性能当0<K∗<1(或0<K<0.5)时，闭环特征根为负实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程。当K∗=1(或K=0.5)时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调上升过程，但响应速度较0<K∗<1时快。当K∗>1(或K>0.5)时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随着K∗的增加，阻尼比减小，超调量增大。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参数(K∗或K)变化时系统动态性能的变化趋势。二、根轨迹方程控制系统的一般动态结构图如下图，相应的开环传递函数为G(s)H(s)。系统的开环传递函数为式中，K∗为系统的根轨迹增益，m为开环零点个数，n为开环极点个数。幅值条件为相角条件为示例可参考书中【例4-1】。三、根轨迹的绘制掌握根轨迹增益K∗(或开环增益K)变化时绘制根轨迹的实用法则，可以方便、快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。法则1根轨迹的起点和终点法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性法则3实轴上的根轨迹法则4根轨迹的渐近线法则5根轨迹的分离点(或会合点)法则6根轨迹与虚轴的交点法则7根轨迹的出射角和入射角法则8根之和四、根轨迹绘制实例根轨迹绘制实例可参考书中【例4-2】，【例4-3】。任务二广义根轨迹当系统的开环根轨迹增益K∗或开环增益K发生变化时，可以使用常规根轨迹法则绘制根轨迹。但是，当系统存在正实部极点其他参数变化时，根轨迹的绘制方法将有所不同。一、非最小相位根轨迹在s平面右半部具有开环极点或开环零点的反馈系统，称为非最小相位系统；反之，若全部开环极点和开环零点在s平面左半部，则称为最小相位系统。绘制非最小相位系统根轨迹的基本规则与绘制最小相位系统根轨迹的基本规则完全相同，可完全按根轨迹绘制基本规则进行分析计算。二、参数根轨迹在绘制反馈系统的根轨迹时，其参量并非都是系统的根轨迹增益K∗(或开环增益K)，有时为研究除根轨迹增益K∗外其他参量对系统性能的影响，还常以时间常数、反馈系数等为参量绘制根轨迹图的参变量。除根轨迹增益K∗(或开环增益K)以外的其他参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。三、根轨迹簇的绘制有时需要研究两个参量同时变化对系统性能的影响。例如，在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需要研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参量同时变化的根轨迹，所作出的根轨迹是一组曲线，称为根轨迹簇。根轨迹簇的绘制实例可参考书中【例4-6】。四、零度根轨迹在负反馈条件下，相角条件为相应的常规根轨迹为180°根轨迹。在正反馈条件下，相角条件为绘制的根轨迹称为0°根轨迹。0°根轨迹与180°根轨迹的幅值条件一致，而二者相角条件不同。因此，绘制180°根轨迹法则中与相角条件无关的法则可直接用来绘制0°根轨迹，而与相角条件有关的法则3、法则4、法则7则需要相应修改。任务三开环零点、极点对系统性能的影响由于根轨迹是由开环零、极点决定的，因此在系统中增加开环零、极点或改变零、极点在s平面上的位置，都可以改变根轨迹的形状。如果系统的性能不能满足要求，则通过调整开环系统零、极点的分布，可以改变根轨迹的形状，进而改善系统的品质。一、增加开环零点对根轨迹的影响开环传递函数为其闭环根轨迹如下图，其系统是不稳定的。现附加一个开环零点，其开环传递函数为渐近线与实轴的交点和夹角为改变零点z的值，可以改变渐近线的位置σa值，从而改变根轨迹的走向和趋势。附加的开环零点对根轨迹的影响为：改变了实轴上根轨迹的分布；改变了根轨迹渐近线与实轴的交点坐标值；使根轨迹向左移动(偏移)，附加零点越靠近虚轴，这种作用越大。二、增加开环极点对根轨迹的影响开环传递函数为其根轨迹如下图，系统始终是稳定的。增加一个开环极点，其开环传递函数为当p分别取-4和0时的根轨迹如下图(b)和(c)。增加开环极点，能改变实轴上根轨迹的分布；增加根轨迹渐近线条数，能改变渐近线与实轴的交点坐标，使交点坐标向右移动；使根轨迹向右偏移，降低系统的稳定度，开环极点离虚轴越近，这种作用越大。任务四应用根轨迹法分析系统实例当控制系统的根轨迹作出后，可以对系统进行分析和定量计算，应用根轨迹法分析控制系统的实例可参考书中【例4-8】，【例4-9】。任务五应用MATLAB绘制根轨迹根据绘制根轨迹的基本规则能粗略地画出系统随某一参数变化时的根轨迹。应用MATLAB也可绘制控制系统的根轨迹。应用MATLAB绘制控制系统的根轨迹指令如下。(1)num：分子数组，由开环传递函数分子的各项系数构成。(2)den：分母数组，由开环传递函数分母的各项系数构成。(3)tf2zp：将传递函数模型转换成零、极点模型。(4)zp2tf：将零、极点模型转换成传递函数模型。(5)conv()：多项式乘积。(6)rlocus()：产生或绘制根轨迹图，其格式为rlocus(num，den)[r，K]=rlocus(num，den)或[r，K]=rlocus(num，den，K)不直接显示根轨迹图，而是显示矩阵r和增益向量K值。其根轨迹图可以用plot()来绘制。(7)rlocfind(num，den)：求某一特征根所对应的具体值。应用MATLAB绘制控制系统的根轨迹时，其增益向量K是自动生成的，因而应用MATLAB绘制系统的根轨迹，完全决定于数组