广东省陆河县河田中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期河田中学高三级学考班第一次考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩N＝（）A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．y＝2x－1的定义域是（

）A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)3．已知，则（）A．5 B．11 C．21 D．274．不等式x2-9<0的解集为()A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3}5．命题“”的否定形式是（

）A． B．C．或 D．或6．下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与7．函数y＝的值域是（

）A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)8．已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（

）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a9．函数（常数）的图像所经过的象限是（

）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限10．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a11．函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)12．函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是()A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.-∞,二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）13．某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生．14．已知，则15．函数在上的最大值是．16．函数（，且）必过定点.17．集合,集合,若,则实数.18．将一根长为的铁丝剪成两段，一段围成一个正方形，另一段围成一个圆，则当圆的半径为时，正方形与圆的面积之和取得最小值．三、解答题（本大题共4小题，第19、20、21题每小题10分，第22题12分，共42分）。19．求值.(1)且;(2)20．我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？21．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，点O1，O分别是上、下底面菱形的对角线的交点．（1）求证：A1O∥平面CB1D1；（2）求点O到平面CB1D1的距离．22．已知函数f(x)＝1＋eq\f(1,x)－xα(α∈R)，且f(3)＝－eq\f(5,3).(1)求α的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．参考答案：1．B【详解】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩N＝{0，1}．2．A【详解】因为，所以，3．C【详解】．4．D【详解】由x2-9<0,可得-3<x<3.5．D【详解】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“或”.6．D【详解】对于A，函数与函数的对应关系不同，不表示同一个函数，故A不正确；对于B，函数与的对应关系不同，不表示同一个函数，故B不正确；对于C，函数与的定义域不同，不表示同一个函数，故C不正确；对于D，函数与的定义域和对应关系都相同，表示同一函数，故D正确.7．B【详解】由题意知，函数y＝的定义域为x∈R，则x2＋1≥1，所以y≥1.8．A【详解】解：由函数在0,+∞上单调递增，所以，由于函数在上单调递减，所以，由于函数在0,+∞上单调递增，所以，故.9．B【详解】因为函数在一、三象限，而函数可由函数向右平移个单位长度即可得到，所以经过一、三、四象限，10．D【详解】：由－1<b<0，可得b<b2<1，又a<0，所以ab>ab2>a.11B【详解】函数f(x)＝log2x＋x－2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(1)＝0＋1－2<0，f(2)＝1＋2－2>0，故函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．.12A【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.13．40【解析】抽样比为1∶10，而C学院的学生有1200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．14．【详解】令，则，，所以，，所以.0【详解】因在上单调减，故时，函数取得最大值为0.16．【详解】因为，且，所以令，得，此时，所以函数必过定点.17．【详解】.因为,所以.当时,这时说明方程无实根,所以；当时,这时说明是方程的实根,故；当时,这时说明是方程的实根,故；因为方程最多有一个实数根,故不可能成立.18．【详解】设圆半径为，则正方形边长为，．∴，当时，取得最小值．．17．【详解】(1)(2)原式20、【详解】（1）由题意得，（2）当时，由二次函数性质得，当时，由基本不等式得，则，当且仅当即时等号成立，综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元21【详解】解：（1）因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1．因为O1，O分别是A1C1，AC的中点，故OC∥A1O1且OC＝A1O1．所以四边形A1O1CO为平行四边形，所以A1O∥O1C．又平面CB1D1，平面CB1D1，所以A1O∥平面CB1D1．（2）（解法1等体积法．）设点O到平面CB1D1的距离为h．因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．因为AC，BD为菱形ABCD的对角线，所以CO⊥BD．因为D1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，CO＝．则点O到直线B1D1的距离为DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面积＝·DD1·B1D1＝．所以三棱锥C-OB1D1的体积V＝·CO＝．在中，CB1＝CD1＝，B1D1＝1，则的面积＝．由V＝·h＝··h＝，得h＝．因此，点O到平面CB1D1的距离为．（解法2作垂线．）因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．因为A1C1，B1D1为菱形A1B1C1D1的对角线，所以B1D1⊥A1C1．因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．因为B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．在平面AA1C1C内，作OH⊥CO1，H为垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，所以OH⊥平面CB1D1，即线段OH的长为点O到平面CB1D1的距离．在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，sin∠CO1C1＝＝，sin∠OCH＝＝＝，所以＝，故OH＝．因此，点O到平面CB1D1的距离为．22、解：(1)由f(3)＝－eq\f(5,3)，得1＋eq\f(1,3)－3α＝－eq\f(5,3)，解得α＝1.(2)由(1)，得f(x)＝1＋eq\f(1,x)－x.令f(x)＝0，即1＋eq\f(1,x)－x＝0，也就是eq\f(x2－x－1,x)＝0，解得x＝eq\f(1±\r(5),2).经检验，x＝eq\f(1±\r(5),2)是1＋eq\f(1,x)－x＝0的根，所以函数f(x)的零点为eq\f(1±\r(5),2).(3)函数f(x)＝1＋eq\f(1,x)－x在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1)－