等比数列专题(有答案)

一、等比数列选择题1．在数列中，，，则（）A．32 B．16 C．8 D．42．已知是正项等比数列且，，成等差数列，则（）A． B． C． D．3．已知等比数列的前n项和为Sn，则下列命题一定正确的是（）A．若S2021＞0，则a3+a1＞0 B．若S2020＞0，则a3+a1＞0C．若S2021＞0，则a2+a4＞0 D．若S2020＞0，则a2+a4＞04．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第六个单音的频率为f，则（）A．第四个单音的频率为 B．第三个单音的频率为C．第五个单音的频率为 D．第八个单音的频率为5．在等比数列中，，，则（）A．45 B．54 C．99 D．816．与的等比中项是（）A．－1 B．1 C． D．7．等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（）A．102 B．203C．204 D．2058．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（）A．2 B．4 C．8 D．169．记为正项等比数列的前项和，若，则（）.A． B． C． D．10．等比数列的前项和为，，，则公比为（）A． B．或1 C．1 D．211．等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（）A． B． C． D．12．已知，，，成等比数列，且，若，则（）A．， B．，C．， D．，13．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58A．34 B．35 C．36 D．3714．已知是各项均为正数的等比数列，，，则（）A．80 B．20 C．32 D．15．设数列，下列判断一定正确的是（）A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列16．已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（）A．32 B．31 C．16 D．1517．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．18．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（）A．50 B．60 C．70 D．8019．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（）A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏20．记等比数列的前项和为，已知，，则（）A．180 B．160 C．210 D．250二、多选题21．题目文件丢失！22．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列23．已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．24．若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（）A．数列是等差数列 B．C．数列的前项和为 D．数列的前项和为，则25．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列26．设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（）A．B．C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为D．若恒成立，则的最小值为27．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（）A．8 B．12C．－8 D．－1228．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．29．已知数列{an}，，，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且，当n≥2时，恒有，则（）A．数列{an}为等差数列 B．C．数列{an}为等比数列 D．30．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为31．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则32．已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn•bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A．0＜a1＜1 B．1＜b1 C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n33．已知数列满足，，则下列结论正确的有（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前项和34．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（）A．数列是等差数列 B．数列是等比数列C．数列的通项公式为 D．35．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（）A．3 B．2 C．7 D．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．C【分析】根据，得到数列是公比为2的等比数列求解.【详解】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．因为，所以．故选：C2．D【分析】根据，，成等差数列可得，转化为关于和的方程，求出的值，将化简即可求解.【详解】因为是正项等比数列且，，成等差数列，所以，即，所以，解得：或（舍），，故选：D3．A【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案.【详解】等比数列的前n项和为，当时，，因为与同号，所以，所以，当时，，所以，所以，综上，当时，，故选：A【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.4．B【分析】根据题意得该单音构成公比为的等比数列，再根据等比数列通项公式依次求第三、四、五、八项即可得答案.【详解】解：根据题意得该单音构成公比为的等比数列，因为第六个单音的频率为f，所以第三个单音的频率为.所以第四个单音的频率为.所以第五个单音的频率为.所以第八个单音的频率为故选：B.5．C【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可【详解】设数列的公比为，因为，所以，所以.故选C6．D【分析】利用等比中项定义得解.【详解】，与的等比中项是.故选:D7．C【分析】由题意可得，，利用等比数列的性质即可求解.【详解】由，即，则有，即。所以等比数列各项为正数，由，即，可得：，所以，，故使得成立的最大自然数n的值为204，故选：C【点睛】关键点点睛：在分析出，的前提下，由等比数列的性质可得，，即可求解，属于难题.8．C【分析】根据等比数列的通项公式将化为用基本量来表示，解出，然后再由前4项和为30求出，再根据通项公式即可求出．【详解】设正数的等比数列的公比为，因为，所以，则，解得或（舍），所以，又等比数列的前4项和为30，所以，解得，∴．故选：C.9．D【分析】利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．【详解】为正项等比数列的前项和，，，，解得，，．故选：．10．A【分析】由，列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.【详解】因为，所以，所以，解得，故选：A.11．D【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项.【详解】设等比数列的公比为.∵，∴，即.∴，∴或（舍去），∵，∴，∴，故选：D.12．B【分析】由可得出，进而得出，再由得出，即可根据的范围判断大小.【详解】设等比数列的公比为，则，可得，当时，，，，，即，，整理得，显然，，，，即，，即.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出，从而可判断大小.13．D【分析】假设第轮感染人数为，根据条件构造等比数列并写出其通项公式，根据题意列出关于的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数.【详解】设第轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，所以，解得，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为．故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.14．A【分析】由条件求出公比，再利用前4项和和公比求的值.【详解】根据题意，由于是各项均为正数的等比数列，，，∴，，则.故选：A15．C【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.【详解】对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.16．B【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出的值.【详解】因为等比数列的前n项和为，公比，所以，又因为，所以.故选：B.17．B【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项、使得，可得，．对，分类讨论即可得出．【详解】解：设正项等比数列的公比为，满足：，，解得，存在两项、使得，，，，的取值分别为，，，，，则的最小值为．故选：B．18．B【分析】由等比数列前项和的性质即可求得.【详解】解：数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，.故选：B.19．C【分析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，分析可得每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可.20．C【分析】首先根据题意得到，，构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.【详解】因为为等比数列，所以，，构成等比数列.所以，解得.故选：C二、多选题21．无22．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.23．ABC【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.【详解】因为数列为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正确；的前2n项和为=，因为，则，所以，则的2n项和为=，当n=1时，，所以，故D错误；当时假设当n=k时，，即，则当n=k+1时，所以对于任意，都有，即，故C正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.24．BD【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.【详解】当时，，当时，由，得，两式相减得：，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，，数列的前项和为，则，所以，所以，故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．25．ABC【分析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.26．ABD【分析】根据等差中项列式求出，进而求出等比数列的通项和前项和，可知A，B正确；根据求出或或或，可知的最小值为，C不正确；利用关于单调递增，求出的最大、最小值可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，所以，；；所以A，B正确；若，则，，所以，所以，则或或或，此时或或或；C不正确，，当为奇数时，，当为偶数时，，又关于单调递增，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，所以，D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题.27．AC【分析】求出等比数列的公比，再利用通项公式即可得答案；【详解】，当时，，当时，，故选：AC.【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.28．AD【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，故A正确；对选项B，因为，所以或，即或，故B错误；对选项C，D，因为异号，，且，所以中至少有一个负数，又因为，所以，，故C错误，D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.29．BD【分析】证明，所以选项B正确；设（），易得，显然不是同一常数，所以选项A错误；数列{}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，所以选项D正确，易得，选项C不正确.【详解】因为，所以，所以,所以，所以选项B正确；设（），则当n≥2时，由，所以，所以，，所以，易得，显然不是同一常数，所以选项A错误；因为-=4，，所以数列{}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，所以选项D正确，易得，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.30．ABD【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【详解】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；，因此，即B正确；因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．BD【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.【详解】由于是等比数列，，所以，当时，，符合题意；当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.综上所述，的取值范围是.，所以，所以，而，且.所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.当时，，即.当或时，，A选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.32．ABC【分析】利用代入法求出前几项的关