数学竞赛讲座-多元积分学

重积分曲线与曲面积分1一、重积分2

1.二重积分⑴二重积分定义⑵二重积分的积分方法①在直角坐标下的积分3积分方法:1.将区域投影至

轴,得区间2.以将区域的边界分割成曲线

此方法称为先后的积分.则:4

平行可得到另一种积分方法.②在极坐标下的积分计算5若则6无论是在直角坐标下或是在极坐标下,都要注意积分过程中对对称性的使用.7例

设积分区域是以原点为中心,为半径在第一，第二象限区域,则

.解由积分中值定理8注意到故有从而有9例

求积分其中是由及所围成的区域.解由对称性,得所以10由此得11注意这种对称性的使用.⑴函数满足⑵积分区域关于对称.条件是:对于三重积分有相似的结论.12例

将二重积分化为二次积分:其中积分区域为介于两圆环中的部分.解积分区域如图:因而将区域分解成三个型区域,从而有13用同样的方法可以得到另一个形式的积分表达式.本题容易出错的地方是用大区域的积分减小区域的积分.14例

求二重积分其中积分区域为解此积分应先对进行积分.此时有1516例

计算积分解其中1718所以19还要注意另一类积分,这类积分只能通过交换积分次加以完成.这类积分主要有等形式.20例

求积分解由于函数的原函数不是初等函数,故不能使用牛顿—莱布尼兹公式,为此先对进行积分.21例

求积分其中解本题在直角坐标下积分将时比较繁琐的,将本题化为在极坐标下的积分.由此得2223例

求积分其中解此积分为二重反常积分.但在积分过程中仍将其视为常义积分.此时有242526例

计算三重积分其中是由和所围成的区域.解27例

求积分其中解对于这类形式的积分,首先考虑用截面法的积分.由对称性得:此时平面与空间区域相交的截面为一椭圆,因而相应的二重积分为对应的面积.从而有28这里表示区域的面积.故原积分改变为29注意这种积分方法以及使用这种方法的条件.30例

求积分其中是由三坐标平面及所围成的区域.解由对称性得31另一类对称性指的是关于坐标平面的对称性.32例

求积分其中是由所围成的区域.解由对称性得3334所以原积分为35例

求积分其中解因又由对称性,得36从而有3738例计算积分其中是由曲面所围成.39例

设其中为连续函数,试将上式化为对的积分,并求解首先考虑积分次序此时积分区域为因而有40从而上述原积分为41由含参变量积分的求导公式,得42例

求积分解该积分直接求解时比较繁琐的.现将其化为截面积分.此时积分为这里的为平面区域在该区域上由极坐标的积分得4344例

求积分其中为空间区域解由对称性得而45所以原式为46例

设为区间上的连续函数,其中求解积分区域为一个圆柱形区域,因而由柱面坐标积分得4748所以49二、积分应用50积分的应用主要包括有

1.面积的计算

2.质量及重心坐标的计算

3.转动惯量的计算

4.引力的计算51面积计算公式设空间有界曲面块

方程为在

上有连续偏在

平面上的投影,

导,则曲面面积52设平面薄片,在平面上占有有界闭区域密度函数在上连续,则平面薄片对

轴和

轴的质心其中,

为平面薄片的质量.坐标分别为同样有空间物体质心坐标计算公式.53

当平面薄片的密度函数为常数,即物体是均匀物体,其中

为平面薄片的面积.相应的质心坐标称为形心坐标,计算公式为54同样得到空间物体的质心坐标的计算公式:其中

为空间物体的质量.55空间物体对三坐标轴的转动惯量为56例

曲面将球体分成两部分,求这两部分的表面积比和体积比.解两曲面的交线为故球面位于平面下的面积为:57此时曲面方程为因而58相应的从而5960又整个球面面积为所以上半部分的球面面积为相应的面积之比为再计算体积之比.此时位于两曲面内的体积为61从而在球内但在抛物面外的体积为由此得到相应的体积之比为62例

求位于两圆内的均匀薄片（密度取为）的形心坐标.解容易得到在两圆之间的面积为由对称性知又63即有相应的形心坐标为64例

证明:由所围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的体积对轴的的转动惯量（密度取为）为证旋转曲面方程为因而相应的转动惯量为6566对直线的转动惯量,并求此转动惯量的最大和最小值.解设是区域内任意点,则由距离公式得例

质量分布均匀（密度取为）的椭球体67所以相应的转动惯量为6869不妨设则有此时当而当则有70例

求高为底面半径为的均匀的正圆锥对其顶点处单位质点的引力.解设曲面方程为则由对称性,知引力在两个方向上的分力为0.只需计算在垂直方向上的分力.此时有由柱面坐标计算得:717273

本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分,以及一、第一类曲线积分1.积分形式⑴平面曲线积分三、曲线与曲面积分各类积分的计算方法及相互的关系.74⑵空间曲线积分2.积分方法⑴平面曲线积分直角坐标下:设曲线则75则参数方程设曲线极坐标设曲线

则76⑵空间曲线积分设曲线则77二、第一类曲面积分1.积分形式积分方法设曲面方程投影区域为则78三、第二类曲线积分1.积分形式⑴平面曲线设有向曲线

函数连⑵空间曲线设有向曲线

函数续,曲线积分为连续,曲线积分为79则2.积分方法⑴平面曲线80⑵空间曲线则,81四、第二类曲面积分1.积分形式2.积分方法设投影区域为,则其中:上侧取正,下侧取负.82五、基本公式1.格林公式曲线积分与路径无关条件:曲线积分设

是平面上的有界闭区域,函数与路径无关在上有连续偏导,则83此时,全微分求积满足表达式为全微分且842.高斯公式设

是空间的有界闭区域,函数

在

上有连续偏导,则853.斯托克斯公式设

为分片光滑曲面,函数在

上有连续偏导,则86空间曲线积分与路径的无关性与路径无关设

是一维单连通区域,函数

在

内有连续偏导,

为

内曲线,则曲线积分其中87例

求解由极坐标下的曲线积分公式,88例

求解由积分公式89解曲线质量例

求摆线的质心对

轴和对

轴的静矩分别为摆线方程9091即,质心坐标为所以92解由积分公式例

求93解作由此构成封闭曲线,例

求取上半圆周,逆时针方向.则因令94所以95例

求积分解积分曲线如图所示,则而其中取逆时针.96所以97解2利用对称性,得再由曲线关于轴对称,但方向相反,被积函数关于为从而偶函数,则积分为零,即98上述情况的一般结论是:若积分曲线关于轴对称,但上下曲线方向相反,被积函数满足:即被积函数关于是偶函数,则99质点沿曲线例

设平面力场的大小与作用点到原点的距离成正比,移到点时,场力做的功.解先求力的表达式.由条件得相应的同向的单位向量为方向为作用点的向径方向按逆时针方向旋转角,试求从点按逆时针方向100从而与力同向的单位向量为101从而相应的功为曲线的参数方程为所以102103例

求则解令取逆时针方向.104作椭圆周xy取顺时针方向,则105解令则例

求曲线,取逆时针.其中为任一不过原点的106即:从而若曲线不包含原点时,则由格林公式,并取顺时针方向,这使得曲线为所围区域的正xy积分为零;若曲线包含原点时,作曲线向边界.再一次使用格林公式,得107不妨设在

的内部,则又因其中

为椭圆所围的面积.由面积公式,为求108令则109所以110则例

设是连点证

的方程的直线段,证明111即

112由此得到,对一多边形区域的正向边界,顶点依次为事实上,若区域的边界由线段则相应的面积为组成,则113解令例

已知在右半平面存在函数试求常数

及函数使得114令115则116例

设的切向量顺时针旋转所得到的法量,求解在任意点处的切向量为故所以为117118则，法向量的方向余弦为证设曲线

上点处的切向量的方向余弦为例

设为闭曲线

的外法向量,

为

围成的闭区域,函数在

上有连续二阶偏导,则119120例

如果函数在区域内有二阶连续偏导,且满足称是

内的调和函数.设函数是单连通区域中的调和函数,有向曲线⑴证明曲线积分在内与路径无关;⑵记则也是内的调和函数.弧为的切向量顺时针旋转所得到的法向量,121所以曲线积分与路径无关.证1.由条件所设,为在

内从

到的任一条曲线,为从

到

的曲线,由于

是单连通区域,再设

所包含的区域为

则1222.记切向量与法向量分别为故123所以124例

求所围成区域的整个边界.解积分区域如图.则注意到在平面上的投影区域其中为圆柱面及和为单位圆,从而125将分成前后两张曲面,并投影到平面上,得投影则前半曲面的积分为区域126后半曲面的积分为127所以,原积分为128解2将积分区域向平面作投影,投影区域为再由对称性,知积分为前半曲面积分的二倍.所以129由此可见,不同的积分方法对计算过程有很大的影响.130解由对称性.曲面面积为例

求均匀半球面动惯量和的质心及转131静矩由此得到:重心坐标132转动惯量133由前面的计算,得所以134例

求其中为锥面取下侧.解为使用高斯公式,增加平面

1,取上侧,135又136例

求取前侧.解1137138解2添加平面及注意到139140同理,在其它几个平面块上的积分也为零.例

为平面被三坐标平面截下部分,取上侧.解为使用Gauss公式,添加三坐标平面,设为o上在第一象限的三角形区域,则141所以142例半球面取上侧.解作平面其中为下取下侧,则所以143144145所以146曲面截下部分,取下侧,取上侧.例

求向量流向下侧的流量.xyzoz=z0

1

2解设为给定曲面,和分别为平面被流过曲面147故所求流量为148故,流量为又149例

求意闭曲面,为外侧的单位法向量.设解设法向量为其中为不经过原点的任则则15