高中数学教案选修1-21.1回归分析的基本思想及其初步应用第1课时

PAGEPAGE1§1.1回归分析的基本思想及其初步（一）【学情分析】：教学对象是高二文科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。【教学目标】：（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。【教学重点】：1、了解线性回归模型与函数模型的差异；2、了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。【教学难点】：1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；2、了解偏差平方和分解的思想。【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性）提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）（学生思考、讨论。）问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。（由学生回忆、叙述）回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；⑵判断是否线性相关⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）⑷并用回归直线方程进行预报复习回归分析用于解决什么样的问题。复习回归分析的解题步骤二、例题选讲问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359题目中表达了哪些信息？师：读例1的要求，引导学生理解例题含义。（例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系②求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。③由方程求出当x=172时，y的值。生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程求解过程如下：①画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？②列表求出相关的量，并求出线性回归方程代入公式有所以回归方程为③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？当时，引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算复习统计方法解决问题的基本过程。学生动手画散点图，老师用EXCEL的作图工作演示，并引导学生找出两个变量之间的关系。学生经历数据处理的过程，并借助EXCEL的统计功能鼓励学生使用计算器或计算机等现代工具来处理数据。三、探究新知问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。生：思考、讨论、解释解释线性回归模型与一次函数的不同从散点图可观察出，女大学生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）.在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同.这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分.当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同引导学生在解决具体问题的过程中，通常先进行相关性的检验，确认两变量间的线性相关关系的强弱再求线性回归方程。结合实例的分析和研究，正确地进行相关性检验。四、巩固练习假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0⑴画出数据的散点图；⑵若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程y＝bx+a的回归系数a、b；⑶估计使用年限为10年时，维修费用是多少？答案：⑴散点图如图：⑵由已知条件制成下表：12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536；；；于是有⑶回归直线方程是，当时，（万元）即估计使用10年时维修费用是12.38万元。巩固知识五、小结熟练掌握求线性回归方程的步骤；⑴画出两个变量的散点图；⑵判断是否线性相关；⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）；⑷并用回归直线方程进行预报。理解线性回归模型与一次函数的不同；一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.了解相关系数的计算与解释。相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。反思归纳练习与测试设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时，则（C）A．平均增加个单位B．平均增加个单位C．平均减少个单位D．平均减少个单位在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（B）A．预报变量在轴上，解释变量在轴上B．解释变量在轴上，预报变量在轴上C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过（D）A．（2，2）点B．（1.5，0）点C．（1，2）点D．（1.5，4）点已知两个相关变量与具有线性相关关系，当取值1，2，3，4时，通过观测得到的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（D）A．(2，4.9)B．(3，8.1)C．(2.5，7)D．(2.5，6.75)一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（C）A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（A）A．B．C．D．有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是__________。答案：⑴⑶⑷许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）的数据，建立的回归直线方程如下：。斜率的估计等于说明__________________，成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）之间的相关系数__________________（填充“大于0“或”小于0“）。答案：⑴⑶⑷若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为__________。解析：当时，。答案：。在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：时间t（s）5101520304050607090120深度y（μm）610101316171923252946（1）画出散点图；（2）求腐蚀深度y对腐蚀时间t的回归直线方程.解：（1）散点图为（2）经计算可得b=≈0.3，a=－b=19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的线性回归方程为=0.3t+5.542.§1.1回归分析的基本思想及其初步（二）【学情分析】：教学对象是高二文科学生，学生已掌握建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。在教学中，要结合实例让学生了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。初步了解可以通过求回归模型的相关指数或利用残差分析不同的回归模型的拟合精确度。在起点低的班级中注重让学生参与实践，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而进一步体会回归分析中的数理计算，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。【教学目标】：（1）知识与技能：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。【教学重点】：1、了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2、通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。【教学难点】：解释残差变量的含义；2、了解偏差平方和分解的思想。【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响。2．问题一：为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。引入回归分析的效果评价的三个统计量二、探究新知⑴总偏差平方和：每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用表示总的效应；学生动手计算出例1中的总偏差平方和。⑵残差平方和：数据点和它在回归直线上相应的位置的差异是随机误差的效应，称为残差，为残差平方和；学生动手计算出例1中的残差（如下表）与残差平方和。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359yi54.37354.37347.58158.61862.86354.37345.88358.618ei-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382⑶回归平方和：解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和），即总的偏差平方和＝回归平方和＋残差平方和，所以回归平方和=总的偏差平方和－残差平方和学生动手计算出例1中的回归平方和。学习要领：①注意、、的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率.的值越接近于1，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，即解释变量和预报变量的线相关性越强.代入例1中的数据知例1中的，即解释变量对总效应约贡献了64%，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。问题二：观察图1．1-5中的残差图，样本点是如何分布？有无异常情况（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等）？师：提出问题，指导学生画出残差图（以残差为纵坐标，样本编号或身高或体重为横坐标作出图形），引导学生进行残差分析，从而做到检查数据是否有误，或模型是否合适等。生：分析、讨论。从残差图中可以看到第1个样本点和第6个样本点的残差较大，需要确认是否出现采集的错误，指导学生去掉这两个数据后重新再计算回归方程与相关指数，了解到拟合的效果会更好。引导学生归纳残差所能说明的情况：样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错误或其他原因；残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。结合实例由结果分析残差图是否异常，养成从实际问题出发，抽象为数学问题中的线性回归问题，从而指导实际问题的解决。引导学生利用残差也可以分析所求出的模型的拟合效果通过学生动手计算感受相关指数与残差分析说明回归方程的预报情况。三、例题选讲例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程。编号1234567温度x/°C21232527293235产卵数y/个711212466115325问题三：例2中如何选择解释变量与预报变量？师：读例2的要求，引导学生理解例题含义。生：思考、讨论、叙述自己的理解。形成把温度x作自变量，红铃虫的产卵数y作因变量的共识问题四：观察图1．1-6中的散点图，红铃虫的产卵数y与温度x具有线性关系吗？除线性关系外，还学过哪些常见的函数关系？师：绘制散点图1．1-6，引导学生观察散点图的特点：随着自变量的增加，因变量也随之增加。引导学生探究红铃虫的产卵数y与温度x更可能是什么关系，选择几个模型，比如线性回归模型、二次函数模型、指数函数模型。而二次与指数函数模型是属于非线性回归模型。生：讨论、回忆一些常见函数图象的特点，判断红铃虫的产卵数y与温度x的可能关系从散点图中可以看到样本点分布在指数函数曲线的周围。问题五：请学生思考能否把模型经过变换后转化为另外两个变量的线性关系？师：提出问题，引导学生寻找变换的方法，在学生讨论后给出具体的方法。生：思考、讨论、解释。解答过程如下：对两边取自然对数令，建立与之间的线性回归方程问题六：经过变换后指数函数模型转化为线性回归模型，你如何得到这个线性回归模型的参数估计？师：提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据，然后让学生给出每种线性回归模型的参数估计。生：以组为单位进行数据变换，求参数的最小二乘估计（可以用计算器）解答过程如下：令，，即分析与之间的关系，通过画散点图（如下图），可知与之间是存在着线性回归关系，可以用最小二乘法求出线性回归方程列表计算出各个量编号1234567合计温度x/°C21232527293235192产卵数y/个711212466115325569z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.78425.285xi2441529625729841102412255414xizi40.955.276.185.8121.5151.8202.4733.727.4293.6125414733.71问题七：我们的目标是建立红铃虫的产卵数y与温度x的模型，如何使得到的线性回归模型再变回红铃虫的产卵数y与温度x的模型？师：提出问题。生：进行变换，每组得到红铃虫的产卵数y与温度x的模型。因为，所以，即。引导学生分析哪个变量作自变量，哪个变量作因变量引导学生根据散点图判断两个变量的关系，使学生了解不是任何两个变量都一定是线性关系。使学生进一步体会把因变量与自变量的非线性关系经过变换后转化为另外两个变量的线性关系的方法。使学生熟悉线性回归模型的参数估计的方法得出红铃虫的产卵数y与温度x的模型四、练习试对下列非线性模型进行适当的变形，使之线性化⑴；⑵解：⑴对两边取自然对数，即令，则有⑵令，则有巩固知识五、小结分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价模型拟合效果的好坏；注意回归方程适用的范围、时间。归纳非线性回归模型的求解步骤：⑴画出两个变量的散点图；⑵判断是否线性相关；⑶非线性相关模型要进行变换，转为线性回归模型；⑷求出回归模型的方程（利用最小二乘法）。练习与测试下面4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（A）A．B．C．D．将非线性模型进行适当变形使之线性化。答案：已知回归方程，则样本点P（4，2．71）的残差为________________。答案：已知线性相关的两变量，的三个样本点A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直线AB作为其预测模型，则点C的残差是________。答案：，，。若一组观测值（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn）之间满足yi=bxi+a+ei(i=1、2.…n)若ei恒为0，则R2为答案：1已知线性相关的两变量，的三个样本点A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直线AB作为其预测模型，则其相关指数________。答案：，，，，，，，，现有一个由身高预测体重的回归方程：体重预测值＝4（磅/英寸）×身高－130（磅）。其中体重和身高分别以磅和英寸为单位，已知1英寸≈2．5cm，1磅≈0．45kg，则该回归方程应该是______________。答案：体重预测值＝0．72（kg/cm）×身高－58．5（kg）§1.1回归分析的基本思想及其初步（三）【学情分析】：教学对象是高二文科学生，学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度的方法，并能解决一些实际问题。两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同模型拟合数据的效果。【教学目标】：（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。【教学重点】：1、加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；2、了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。【教学难点】：1、了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；2、通过比较相关指数对不同的模型进行比较。【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题一：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤？师：提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析与预测）生：回忆、叙述建立回归模型的基本步骤复习建立线性回归模型的基本步骤二、探究新知问题二：观察例2的图1．1-6中的散点图，红铃虫的产卵数y与温度x的图像特点：随着自变量的增加，因变量也随之增加。这些点可以除了可以看作是落在指数函数模型上，还可以认为它是落在什么函数的模型上？师：引导学生观察散点图的特点，并引导学生探究红铃虫的产卵数y与温度x还可能是什么关系。（二次函数模型）生：讨论、回忆一些常见函数图像的特点，判断红铃虫的产卵数y与温度x的可能关系样本点还可以看作是分布在二次函数曲线的周围。问题三：对模型是否有办法求参数和的最小二乘估计？师：从简单的模型入手，逐步引导学生思考把原来两个变量的非线性关系转化为另外两个变量的线性关系生：观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见。最后给出具体的方法。令，建立与之间的线性回归方程问题四：经过变换后这个模型都转化为线性回归模型，你如何得到这几个线性回归模型的参数估计？师：提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据，然后让学生给出每种线性回归模型的参数估计。生：以组为单位进行数据变换，求参数的最小二乘估计（可以用计算器）解答过程如下：令，，即分析与之间的关系，通过画散点图（如下图），可看到与的散点图并不分布在一条直线的周围，即不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线来拟合与之间的关系，这个结论还可以用残差分析得到。为比较两个不同模型的残差，需建立相应的回归模型，让学生用线性回归模型拟合回归方程。所以因为，即y关于x的二次回归方程为。问题五：指数回归模型与二次回归模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x的关系？通过什么数据说明？师：提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟合好坏的标准（相关指数、残差平方和），进一步引导学生探讨如何进行不同模型的比较，介绍计算模型相关指导数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数一定的条件下，相关指数越大或残差平方和越小说明模型拟合得越好。生：讨论，提出自己的想法，计算每个模型的相关指数，并进行模型的比较。指数函数模型的相关指数二次函数模型的相关指数从相关指数的计算结果来看，指数函数模型的比二次函数模型的更接近于1，所以指数函数模型的回归效果好。再从残差图看：从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法：⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归方程；⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果。一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。引导学生根据散点图判断两个变量的关系，使学生了解不是任何两个变量都一定是只有一种关系。让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换后可以转化为两个新变量间的线性关系使学生进一步体会把因变量与自变量的非线性关系经过变换后转化为另外两个变量的线性关系的方法。使学生熟悉线性回归模型的参数估计的方法得出红铃虫的产卵数y与温度x的模型引导学生尝试进行不同模型的比较。三、练习某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数倒数之间是否具有线性