高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入

基础部要打牢得基础分|掌握程度

［知识能否忆起］

一、复数的有关概念

1,复数的概念：形如a+历(a,6GR)的数叫复数，其中a,6分别是它的实部和虚部.若b=0,则a

+历为实数；若^0,贝a+历为虚数；若a=0,bWQ、贝a+bi为纯虚数.

2,复数相等：a+6i=。+dloa=c,b=d(a、b,c,dE.R).

3.共辗复数：a+历与c+di共辗b+d=G(a,b,c,dER).

4.复数的模：向量。2—的长度叫做复数z=。十历的模，记作|z|或|a+历|,即|z|二|a+历|二

43+廿、

二、复数的几何意义

复数z=a+6i-复平面内的点/36)—平面向量0Z.

三、复数的运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则

设Zi=a+6i,Z2-c+di(a,b、c,^ER),贝：

(1)力口法：zi+Z2=(a+bi)+(c+di)=(.+c)+(6+/i；

(2)减法：zi-z2=(a+历)-(c+di)=(--c)+(6-♦i；

⑶乘法：zi•z2=(a+8i)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+b0i；

2.复数加法、乘法的运算律

对任意Zl,Z2,Z3GC,有Z1+Z2=@+0,（Z1+Z2）+Z3=/+（@+@）；Z1•Z2=Z2•Z1,（Z1•Z2）•Z3

=Z1•（@•Z3）,Z1（Z2+Z3）=ZlZz+@Z3.

［小题能否全取］

1.(教材习题改编)已知aER,i为虚数单位，若(1-2i)S+i)为纯虚数，则H的值等于()

A.-6B.-2

C.2D.6

+2=0,

解析：选B由(1-2。(@+。=%+2)+(1-2①是纯虚数，得由此解得。=-2.

[1-2H子。，

2.(•湖南高考)若a,bER,i为虚数单位，且Q+i)i=8+i,则()

A.a=1,b-1b=l

C.a--1,b--1D.a=l,b--1

解析：选D由(a+i)i=6+i,得-1+&1=6+£根据两复数相等的充要条件得@=1,b=-1.

5+3i

3.(-天津高考)i是虚数单位，复数7丁二()

4—1

A.1-iB.-1+i

C.1+iD,-1-i

5+3i5+3i4+i20+5i+12i+3i217+17i

解析：选C7—=^——二]=石=7—=^^=1+i-

z

4.若复数z满足E=2i,则2对应的点位于第象限.

解析：z=2i(l+i)=-2+2i,因此z对应的点为(-2,2),在第二象限内.

答案：二

_3+i

5.若复数z满足z+i贝力z|=.

解析：因为z=+一i=l-3i-i=l-4i,贝/z|=V17-

答案:F

1.复数的几何意义

除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意

(1)|z|=|z-0=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；

(2)|z-z0|表示复数2对应的点与复数z。对应的点之间的距离.

2,复数中的解题策略

⑴证明复数是实数的策略：①z=a+历GR=Z)=0(a,6ER)；(g)zGR<=>z=z.

⑵证明复数是纯虚数的策略：①2=a+沅为纯虚数oa=0,6W0(a,AER)；

②好0时，z-7=2历为纯虚数；③z是纯虚数=z+7=0且z#0.

超।福频考点要遍差TONGGUAN抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

3复数的有关概念

典题导入

b

［例1］(1)(•陕西高考)设a,作R,i是虚数单位则“a6=0”是“复数a+:为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2—Z?i

(2)(•郑州质检)如果复数(其中i为虚数单位，6为实数)的实部和虚部互为相反数，那么6等

于()

22

A--3K3

C.72D,2

［自主解答］⑴若复数a+3-历为纯虚数，则a=0,6W0,助二0；而加二。时”0或6二0,

bb

a+工不一定是纯虚数，故"ab=Q”是“复数a+不为纯虚数”的必要不充分条件.

⑵2-bi2-bi1-2i2-26-4+6i

⑷-l+-2-i=--1-+-2-i---1--2-i-=-------5-----'

,2

依题意有2-22=4+瓦解得6=-亍

［答案］(DB(2)A

由题悟法

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数

问题来处理.由于复数z=a+历(a,6ER)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a,⑹相对应.

以题试法

X

1.(•东北模拟)已知E=l-yi,其中X,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共枢复数为()

A.1+2iB.1-2i

C.2+iD.2-i

(x=l+y,

解析：选D依题意得x=(l+i)(l-yi)=(1+y)+(l-y)i；又x,yER,于是有解

U-y=o,

得x=2,y=1.

x+yi=2+i,因此x+yi的共轨复数是2-i.

3复数的几何意义

典题导入

2-i

［例2］（•山西四校联考）已知复数z的实部为-1,虚部为2,则「（i为虚部单位）在复平面内对

应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2-i2-i2-i-1-2i

［自主解答］选C依题意得z因此该复数在复

--1+2i--l+2i-1-2i

平面内对应的点的坐标是［-a-1）位于第三象限.

由题悟法

复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数

加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.

以题试法

2.⑴在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为4B,若C为线段相的中点，则点。对应

的复数是（）

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

（2）（•连云港模拟）已知复数幻=-l+2i,Z2=l-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为4

B,C,若+（2,“ER）,贝的值是.

解析：⑴复数6+5i对应的点为4（6,5）,复数-2+3i对应的点为6（-2,3）.利用中点坐标公式得

线段47的中点。（2,4）,故点C对应的复数为2+4i.

⑵由条件得。。=（3,-4）,0A=（-1,2）,OB=（1,-1）,

根据=A0A+”05得

（3,-4）=八（-1,2）+〃（1,-1）=（-儿+〃，24—〃），

j—4+//=3,fA——1（

解得

A+〃1.

答案：(1)C(2)1

复数的代数运算

典题导入

［例3］(1)(•山东高考)若复数Z满足z(2-i)=ll+7i(i为虚数单位)，则2为()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3-5i

i2+i3+i4

(2)(•重庆高考)复数［：=()

1-1

111

A----B--1.

222+p

1111

---+-

22D.221

ll+7ill+7i2+i15+25i

［自主解答］（1）2==3+5i.

-2-i-2-i2+i—5-

i2+i3+i4-1+-i+1-i

(2)i.—

1-11-i1-i

-il+i1-i11.

=----------------=----二一—一1

1-i1+i222

［答案］（DA（2）C

由题悟法

1,复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共舸复数,

注意要把i的鬲写成最简形式.

2.记住以下结论，可提高运算速度：

①（1士i）2=±2i；；③三二-i；城产=6-ai；⑤i*l,i4，，+1=i,i4,7+2=-1,i4，，+

3=-i（/?GN）.

以题试法

_z

3Q）（•山西四校联考）设复数z的共辗复数为z,若z=l-i（i为虚数单位），则的值为（）

A.-3iB,-2i

C.iD.-i

（2）i为虚数单位，住土.

一_z1+i-i+i

解析：⑴依题意得+z~+(1-i)=~__2i=i-2i=-i.

zi—ii-i

答案：（1）D（2）1

抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

1Hl薪电酬新序效

A级全员必做题

1.（•江西高考）若复数z=l+i（i为虚数单位），7是z的共轨复数，则z、7,的虚部为（）

A.0B,-1

C.1D.-2

解析'选Az=1+i,z=1-i,z2+z2=（z+z）2-2zz=4-4=0,z+z2的虚部为

0.

2.（•北京高考）在复平面内，复数翼对应的点的坐标为（）

O"T1

A.（1.,3）B.（3,1）

C.（-1,3）D.（3,-1）

10i10i3-i10l+3i

解析：选A由^=下7^----丁丁=-----w-----=1+3i得，该复数对应的点.为（1.3）.

3.（•长春调研）若复数（a+iT在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）

A.1B.-1

C.72D.-^2

解析：选B因为复数（a+i）、（a?-l）+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是（a?-1,2a）,又

fa-1=0,

因为该点在y轴负半轴上，所以有…解得a=-1..

[2水0,

l+2i2+i

4.（•萍乡模拟）复数-----7^—2-----等于（）

i—1

55

A.-B.-2

55.

C.~1D.-p

l+2i2+i2+4i+i+2i25i5

解析：选B-

1-i2-2i.—2i一

2+i,।1

5.(•河南三市调研)已知i为虚数单位，复数z则|/|十三二()

1—Z1Z

A.iB.1-i

C.1+iD.-i

2+i-2i2+iil-2i,1,1

解析：选B由已知得z=~斤二1一五-二—i-—=1,1^1+-=11|+7=1-1.

1—Z11—Z11--Z1Z1

6.(•安徽名校模拟)设复数z的共轨复数为7,若(2+i)z=3-i,则的值为()

A.1B,2

C.\[2D.4

解析：选B设2=3+沅(&分ER),代入(2+i)z=3-i,得(2a-6)+(26+a)i=3-i,从而可得a

=1,b=-1,那么7=(1-i)(1+i)=2.

[„11+i21

7.(•长沙模拟)已知集合〃=[i,i2,一：一)i是虚数单位，Z为整数集，则集合ZA〃中的

元素个数是()

A.3个B.2个

C.1个D.0个

解析：选B由已知得〃二{i,-1,-i,2},Z为整数集，即集合ZC〃中有2个

兀素•

8.定义：若/=a+历（a,6GR,i为虚数单位）,则称复数z是复数a+历的平方根.根据定义，则

复数-3+4i的平方根是()

A.l-2i或-l+2iB.l+2i或-l-2i

C.-7-24iD.7+24i

「22

,|x-y=-3o,

解析：选B设(x+yi)"=-3+4i(x,yER),贝IJ

〔盯=2,

fx=1,-1,

解得或

[y=29,[尸-29.

9.在复平面内，复数1+i与-l+3i分别对应向量。汗和。5,其中0为坐标原点，贝力AB|=

解析:由题意知力(1,1),庾-1,3),

故|A5|=q-1-12+3-12=272.

答案：272

z-2z

10.已知复数z=l—i,贝IJ——「二.

2

Z-1-11zx1]

解析：-------；----二Z-1----7=(-i)---2i.

Z-1~-i,i

答案：-2i

11.设复数z满足3=5且(3+4。2是纯虚数，则》=,

解析：设z=a+6i(&6GR),则有口才+廿二5.

于是(3+4i)z=(3H一46)+(4a+3Z?)i.

13a一46二0Q(3、fa=4,(a=-4,

由题设得4a+滓。得崂a代入得扑印=25,a=土…"或"-3.

z=4-3i或z=-4+3i.

答案：±(4-3i)

-1+i2+i-3+i

解析：--------73--------=——=-l-3i.

1—1

答案：T-3i

13.(•上海高考改编)已知复数©满足(zi-2)(l+i)=l-i(i为虚数单位)，复数Z2的虚部为2,且

Z「Z2是实数，贝ljzz=.

解析：(幻一2)(1+i)=l-i=>Z1=2-i.

设%=3+2i,aER.

则zi•Z2=(2-i)(a+2i)

—(2刘+2)+(4—a)i.

zi,Z2ER,乃二4.Z2=4+2i.

答案：4+2i

14.若复数z=a?-l+(a+l)i(aCR)是纯虚数，则■的虚部为

Z~va

fa-1=0,

解析：由题意得一八

[a+1W0,

12

部的概念，可得77^的虚部为一己

ZiaO

答案：-|

B级重点选做题

。+x,xER,

1.(•山东日照一模)在复数集C上的函数F(x)满足F(x)"1则Hl+i)”等于

11-1区游R,

()

A.2+iB,-2

C.0D,2

解析：选D1+R,"(1+i)=(l-i)(1+i)=2.

2.已知i为虚数单位，a为实数，复数z=(l-2i)(a+i)在复平面内对应的点为四则“a>!”是“点

〃在第四象限”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选Cz=(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i,若其对应的点在第四象限，贝l]a+2>0,且1-

2a<0,解得a>|.即“ag”是“点〃在第四象限”的充要条件.

3.已知复数z=x+yi(x,yER),且|z-2|=/,贝?的最大值为一..

解析：|z-2|=y]~x-2—。+析=/,

(x-2)2+y=3.

由图可知曰皿二乎=嫡.

答案:小

4.复数z=3+50+6)+(必-2*15)i,与复数12+16i互为共辗复数，则实数/=.

解析：根据共辗复数的定义得

m+5勿+6=12,

解之得"=1.

m-2m-15=-16.

答案：1

5.已知z是复数，z+2i,二二均为实数6为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第

Z-1

一象限，求实数3的取值范围.

解：设z=x+yi(x,y£R),

则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.

zx-2i1

'・百===kdi)(2+i)

lz、1/、

=-(2^+2)+-(^-4)i.

由题意得，=4,，z=4-2i.

(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.

由于(z+ai)z在复平面上对应的点在第一象限,

fl2+4a-a2>0,

.'J解得2〈a〈6.

〔8a-2>0,

.•・实数a的取值范围是⑵6).

6.设z是虚数，0=z+：且

(1)求I/的值及z的实部的取值范围；

\~Z

⑵设〃二=,求证：〃为纯虚数.

解：⑴设z=a+6i(26ER,6W0),

1(己、乙bY

G=W+历+---=a+2,,2+b-2,,2i,

biIa+b)(a+b),

.「G是实数，「"一言/二0.

又6W0,a2+Z?2=1./.|z|=1,co-2a.

1

v-1<^<2,

即Z的实部的取值范围是［一/1).

1-z1-a-bi\-a-IJ-2bib

(2)u~~"~~'2~~~72~——"~ri-

1+zl+a+/n1+a+b3+1

・・•一)<水1,6W0,「•〃为纯虚数.

I4师各选题I

a+2i

1.已知6GR),其中i为虚数单位，贝IJa+6=()

A.-1B.1

C.2D.3

a+21i3+21

解析：选B^―=——p——=2-ai=b+i,由复数相等的条件得6=2,己=-1,则"力=1.

2.对任意复数z=x+yi（x,y£R）,i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.|z-z\=2yDi5.z2=x2+.y2

C.|z-z|22xD.|z|<|x|+3

解析：选D-/z-z=2yi,/.|z-z\=2\y\,选项A、C错误；而/二（x+力尸=V一/+2xyi,

选项B错误；而|?|=y]x+y,\z\2=x+y,（kl+\y\）2=x+y+2|xy|+y,因此Iz|W|x|+|y|.

z/

3.已知虚数z,使得为二K和0二一都为实数，求z.

解：设z=x+yi（x,yER,且产M）,则

2,2,t,122

xx+y+1+yx-yi

222

z=x-y+1Oz^yi,二•Z1=2F-~J2.22

x-y+1+4xy

,/ziER,又#0,x+y=1,

同理，由zzGR得f+2x+/=0,解得＜

z=-扛坐L

阶段验收评估（二）

三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的弓I入

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

—3+i

1.（-新课标全国卷）复数z=37丁的共辗复数是（）

A.2+iB.2-i

C,-1+iD.-1-i

-3+i-3+i2-i——

解析：选Dz=-=--------:---=-1+i,所以z=-l-i.

/十1Z+1Z—1

2.（•潍坊模拟）已知xE（一万，。）cosx=^,贝1Jtan2x=（）

77

AB.

-2424

2424

C，TD.T

%_八/-------3sinx3…，2tanx

解析：选D依题尽得sinx=-yll-cos~x=tanx=-----=所以tan2x=2=

v0cosxqJL—"canx

3.（•广州调研）设复数z1=l-3i,z?=3-2i,则包在复平面内对应的点在（）

Z2

A.第一象限B..第二象限

C.第三象限D.第四象限

zil-3i1-3i3+2i9-7i©<97'

解析：选D因为一—^7=—；~百---TTTi—=，所以一在复平面内对应的点为|正，

Z23-213-Z13+2113Z211313

在第四象限.

2

4.(•召R阳模拟)已知(1,sin^),6=(2,sin2x),其中xE（0,兀）.若|司・引=\a\\b\,则

tanx的值等于（）

A.1B.-1

A/2

D.-^-

解析：选A由|a•引二㈤|引知,

a//b,所以sin2x=2sir?x,

即2sinxcosx=2sin2jr,而xE(0.,兀)，

所以sinx-cosx、tanx-1.

3„7

5.（福州质检查）“cosa是“cos2。=-宏”的（)

•5

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

33、

297

解析：选AVcosa=-,/.cos2CL-2cosQ-2X--1/.由cosa二三可推出cos2a

o2525,u

7

25,

733

由

由

s24--得s4-+-cos2q4--

--co--5-5

co25

37

综上，“COSa=/'是"COS2a=-版”的充分而不必要条件.

0ZJO

x+0

6.若函数F(x)=sin是偶函数，贝IJ。=()

JI2兀

A,万B.-

3兀5兀

C.D."z-

/0

(b兀

解析：选c•••F(x)为偶函数，.•.可=4：11：+3(AEZ),

33

。=34兀+-Jt(AGZ).又：。C[0,2n],<p=~TI.

7.在△/及7中，a,b,。分别为角4B,C所对的边，若ccos/=〃则以)

A.一定是锐角三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形

D.一定是斜三角形

1}+c-a_

解析：选C在中，因为ccos/=6,根据余弦定理，得。・一——=b,=a+b,因此

△/以一定是直角三角形.

8.设点4(.2,0),8(4,2),若点尸在直线四上.，H|AB\=2|AP\,则点尸的坐标为()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.⑶1)或(1,-1)D.无数多个

解析：选C设2(x,力，则由|A公|=2|得A9=24>或4公=-2通.

AB=(2,2),AP=(x-2,力，即(2,2)=2(x-2,力，x=3,y=l,尸(3,1),或(2,2)=-2(x-2,

y),X=l,y=-1,Al,-1).

JI

9.(-福州质检)将函数f(x)=sin2x(xER)的图象向右平移了个单位后，所得到的图象对应的函数

的一个单调递增区间是()

(JI3吟(3it、

■万，—}D.L,"J

解析：选B将函数『(x)=sin2x(xER)的图象向右平移?个单位后得到函数g(x)=sin2(x

JI

-COS2x的图象，则函数g（x）的单调递增区间为卜九+yj,应1,而满足条件的只有B.

45

10.（,西安名校三检）已知tan£=-,sin（。+£）,且a,££（0,兀），则sina的值为（）

A——63R——13

6565

3363-33

6565d65

435兀

解析：选A依题意得sinP=~cos£二三；注意到sin（。+£）=n<sin£,因此有。+£>了

,jiJi

（否则，若。丁，则有0〈〈。+・丁，0<sin£<sin（e+£）,这与“sin（。+£）<sin£"

乙乙££

]263

矛盾）,cos（a+£）=,sin。=sin[（q+£）-£]=sin（a+£）cos£-cos（。+£）sin£=—

1ooo

11.（•河南三市调研）在△/回中，三个内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且62=a2-ac+c；

1

CD

•~44

a+c-Bac1「

解析：选c依题意得a+c-I）-ac,cosB=一0-2-a-c=-2.VX0<^<180°,所以6=60°,

0+4=120°.又C-A=90°,

±111

+冷24

所以。=900+44=15°,cosAcosC-cosAcos(90-_-2-30-4-

a•p

12.（•广东高考）对任意两个非零的平面向量。和昆定义。。£若两个非零的平面向

6•印

JIJI­°6和加d都在集合刀ez]中，则a。b=（）

量a,6满足a与b的夹角0ErT,且a

53

A."B-i

1

C.1

a•b|H||6/cos0|H|COS。

解析：选Da。b=

b•b\b\2\b\1

b,a1611aleos8161cos°

b°a=----------二-------------1p----=------1---.(2)

a•aa\a\

JIJI\

■：eEr/.0<cose

①义②得(£。6)(6。a)=cos2夕E(0,

因为a。6和加a都在集合仔〃ez］中，设a。Z?=y,

b。a=^(ni,/?2EZ),即(a。6)•(b。a)=cos23=^~,所以0〈77ITM2,所以〃I,刀2的值均为1,故a

1

±

6

-77-1--

2C

J\

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知a=2,6=3,则=_______.

sin/IIu

sinAsinAa2

解析：sinA+C=sinB=6=3'

答案：|

14.(•安徽高考)设向量(1,24，b-(/Z7+1,1),c=(2,ni).若(a+c)J_〃贝1J|a|=.

解析：c=(1,2ni)+(2,ni)=(3,3ni).

,/(a+c)_Lb、

(a+c)•b-(3,3/77),(勿+1,1)=6/77+3=0.

1

••,m=~2'

(1,-1).|a\=y/2.

答案：72

15.如图，在坡度为15。的观礼台上，某一列座位所在直线„46与旗杆所

在直线脉共面，在该列的第一个座位/和最后一个座位方测得旗///杆顶端N的仰

角分别为60。和30°,且座位从6的距离为10m米，则旗杆的V，/旗杆高度为

米偎二/

--------米-I观礼台iA、」60。I”

AAN

解析：由题可知乙员W=105。，乙BNA=30°,由正弦定理得记二

s；%,解得砂=204(米)，在中，肮=20第sin60。=30(米).故旗杆的高度为30米.