2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图，BC//DE,若NA=35°,/E=60°,则NC等于（）

B.35°C.25°D.20°

2.（3分）如图，A8是O。的直径，弦CD_LAB,ZCDB=30°,CD=2®则阴影部分的面积为（

D.2n

3.（3分）在3,0,-2,一企四个数中，最小的数是（）

A.3B.0C.-2D.-V2

4.（3分）四个有理数-1,2,0,-3,其中最小的是（）

A.-1B.2C.0D.-3

5.（3分）若一次函数y=（2相-3）x-1+m的图象不经过第三象限，则根的取值范围是（）

3333

A.l<m<^B.l<m<^C.l<m<|D.l^m<

6.（3分）全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代.中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机,

是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数

法表示为（）

A.0.7X10-8B.7X10-8C.7X109D.7X1O-10

7.（3分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表:

计费项目里程费时长费远途费

单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；

时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）

不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里.如果下车时两人所付车费相同，那

么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）

A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.19分钟

8.（3分）如图，在△ABC中，点。是AB边上的一点，若/ACD=/B,AD=1,AC=2,△ADC的面积

为1,则的面积为（）

9.（3分）已知关于x的一元二次方程3/+4x-5=0,下列说法正确的是（）

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”°：

任意两点横坐标差的最大值，''铅垂高"〃：任意两点纵坐标差的最大值，则'‘矩面积"S=a九例如:

三点坐标分别为A（1,2）,B（-3,1）,C（2,-2）,则“水平底”a=5,“铅垂高”/i=4,“矩面积”

S=M=4X5=20.若。（1,2）,£（-2,1）,F（0,0三点的“矩面积”为18,贝卜的值为（）

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）将函数y=3x+l的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为.

12.（3分）如图，已知Zl=130°,N2=28°,则NC的度数为.

13.（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生

有X人，女生有y人.根据题意，所列方程组正确的是（）

（x+y=78（x+y=30

A*（3x+2y=30B，（3%+2y=78

fx+y=30Cx+y=78

C（2x+3y=78D，（2%+3y=30

―>_―>—>—>

14.（3分）在442。中，点£）在边8。上,2。=2。,48=a,AC=6,那么2。=.

15.（3分）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点的在y轴上，顶点Ci,Ei,Ei,C2,田，&,

一1

C3.......在x轴上，已知正方形AiBiCiOi的顶点Ci的坐标是（一右0）,ZBiCiO=6Q°,B1C1//B2C2

16.（3分）近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知

识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：

成绩（分）60708090100

人数4812115

则该班学生成绩的众数和中位数分别是（）

A.70分，80分B.80分，80分C.90分，80分D.80分，90分

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌小明在山坡

的坡脚A处测得宣传牌底部。的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已

知山坡的坡度i=l：V3,A8=10米，AE=15米，求这块宣传牌C。的高度.（测角器的高度忽略

不计，结果精确到0.1米.参考数据：V2«1.414,旧=1.732）

18.(8分)如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

(1)用a,b,尤表小纸片剩余部分的面积；

(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

20.(8分)定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.

如图所示，已知：是aABC的8C边上的旁切圆，E、尸分别是切点，于点D.

(1)试探究：D、E、尸三点是否同在一条直线上？证明你的结论.

(2)设AB=AC=5,BC=6,如果△£)/£1和△AEP的面积之比等于根，—=n,试作出分别以二、—

EFnm

为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程.

21.(8分)如图，据热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底

部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m求这栋高楼3c的高度.

22.（10分）如图，抛物线y=a7-2依+c（0力0）与y轴交于点C（0,4）,与x轴交于点A、B,点A坐

标为（4,0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小，并求出点K的坐标；

（3）点。是线段A8上的动点，过点。作QE〃AC,交BC于点、E,连接CQ.当△CQE的面积最大时，

求点。的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线/与该抛物线交于点P,与直线AC交于点R点。的坐标为（2,0）.问：

是否存在这样的直线/,使得△O。尸是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

23.（12分）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24血机比的速度攀登，同时，李

强从南坡山脚8处出发.如图，已知小山北坡的坡度（i=l：百），山坡长为240帆，南坡的坡角是45°.问

李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?（将山路AB,AC看成线段，结果保留根号）

24.（10分）如图，四边形中，NA=/ABC=90°,AO=1,BC=3,E是边C。的中点，连接BE

并延长与AD的延长线相交于点F.

(1)求证：四边形8OFC是平行四边形；

(2)若△BC。是等腰三角形，求四边形BOFC的面积.

2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图，BC//DE,若NA=35°,NE=60°,则NC等于（）

【解答】解：

:./E=/CBE=60°；

：NA=35°,

；./C=NCBE-/C=60°-35°=25°,

故选：C.

2.（3分）如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB,ZCDB=30°,CD=2W,则阴影部分的面积为（

\'CD±AB,

；.CE=DE=^CD=V3（垂径定理），

故SAOCE—SAODE）

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,

又：/Cn8=30°,

・・・NCO8=60°（圆周角定理），

，0。=2,

7

i0607rx227r

故/rS扇形OBD=-360=，

271

即阴影部分的面积为不，

故选：A.

3.（3分）在3,0,-2,一/四个数中，最小的数是（）

A.3B.0C.-2D.-V2

【解答】解：：-2V-V^<0<3,

•••四个数中，最小的数是-2,

故选：C.

4.（3分）四个有理数-1,2,0,-3,其中最小的是（）

A.-1B.2C.0D.-3

【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

-3<-1<0<2,

四个有理数-1,2,0,-3,其中最小的是-3.

故选：D.

5.（3分）若一次函数y=（2相-3）尤-1+"的图象不经过第三象限，则根的取值范围是（）

3333

A.l<m<^B.C.l<m<D.l^m<

【解答】解：二.一次函数y=（2m-3）x-1+机的图象不经过第三象限，

,f2m-3<0,

t-1+m>0

解得iWwzV^.

故选：B.

6.（3分）全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代.中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，

是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数

法表示为（）

A.0.7X10-8B.7X10-8C.7X109D.7X1O10

【解答】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7X10?

故选：C.

7.（3分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目里程费时长费远途费

单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；

时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）

不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里.如果下车时两人所付车费相同，那

么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）

A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.19分钟

【解答】解：设小王的行车时间为尤分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：

1.8X6+0.3x=1.8X8.5+0.3j+0.8X（8.5-7）,

10.8+0.3x=16.5+0.3y,

0.3（尤-y）=5.7,

x-y=19.

故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟.

故选：D.

8.（3分）如图，在△ABC中，点。是A8边上的一点，若NACD=NB,AD=1,AC=2,△AOC的面积

为1,则的面积为（）

【解答】解：：/人⑺=/台，ZA=ZA,

AACD^AABC,

,SAACD/AQ、21

..--------=(-----)=-r.

SAABCAC4

"."SAACD=1,

••SAABC~4FSABCD-S/^ABC~S/^ACD~3.

故选：C.

9.（3分）已知关于x的一元二次方程3尤2+4x-5=0,下列说法正确的是（

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

【解答】解：：A=42-4X3X(-5)=76>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

10.(3分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”。：

任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”/任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积"S=M.例如：

三点坐标分别为A(1,2),8(-3,1),C(2,-2),贝ij“水平底”a=5,“铅垂高”仁4,“矩面积”

S=ah=4X5=2Q.若。(1,2),£(-2,1),F(0,力三点的“矩面积”为18,贝h的值为()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

【解答】解：由题意可得，

“水平底”。=1-(-2)=3,

当t>2时，h—t-1,

则3(/-1)=18,

解得f=7,

故点尸的坐标为(0,7)；

当1W/W2时，h=2-1=17^6,

故此种情况不符合题意；

当f<l时，h—2-t,

则3(2-力=18,

解得t=-4,

故选：C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)将函数y=3x+l的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为y=3x-l.

【解答】解：♦；y=3x+l的图象沿y轴向下平移2个单位长度，

.••平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x-l,

即y—?!x-1.

故答案为：尸3尤-1.

12.（3分）如图，已知Zl=130°,Z2=28°,则/C的度数为22°

【解答】解：'：AE//BD,Zl=130°,Z2=28°,

：.ZCBD=Z1=13O°,NCDB=N2=28°,

AZC=180°-NCBD-NCDB=180°-130°-28°=22°.

故答案为：22°

13.（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生

有x人，女生有y人.根据题意，所列方程组正确的是（）

（x+y=78（x+y=30

A，（3%+2y=30B'（3%+2y=78

Cx+y=30（x+y=78

[2x+3y=78[2x+3y=30

【解答】解：根据题意，所列方程组为《3°

（3%+2y=78

故选：B.

TIT2T

14.（3分）在△ABC中，点。在边3。上，BD=2CD,AB=a,AC=b,那么A。=~a+~b.

一33一

TTT->

【解答】解：=a,AC=b,

—>—>TT

:・BC=AC-AB=b—a,

■:BD=2CD,

T2T2TT

：.BD=^BC（Z?-a）,

T——T2TT2T

**•AD=AB+BD=ci+2（b—CL）=可。+@/）.

1-2T

故答案为：-a+-b.

33

A

15.（3分）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点囱在y轴上，顶点Ei,E2,。2,E3,&,

1

C3……在x轴上，已知正方形AiBCiDi的顶点。的坐标是（一彳0）,ZBiCiO=60°51ci〃32c2

〃B3c3...则正方形42018320180201802018的顶点。2018纵坐标是-X（―）2017.

-2-3-------------

.".BiCi=l,ZDiCiEi=30°

VsinZDiCiEi=p1^1=*

1

：.DiEi=

60°=NBiCiO=NB2c20=/B3c30=…

I

••B2c2=~•~7-DKF*-=后=Q

SlTlZ-B2c2*2v33

~2

83c3=.箫石J=蟀=(刍2

SlTlZ-B3c3。-v33

~2,

V3_,

故正方形即G:。几的边长=(―)n.

；・3201802018=(―)2°17.

3

:・£)2018及018=£X(―)2017

23

.'.D的纵坐标为工x（―）2017

23

故答案为:XA2017

23

16.（3分）近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知

识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：

成绩（分）60708090100

人数4812115

则该班学生成绩的众数和中位数分别是（）

A.70分，80分B.80分，80分C.90分，80分D.80分，90分

【解答】解：总人数为:4+8+12+11+5=40（人），

:成绩为80分的人数为12人，最多，

，众数为80,

中位数为第20和21人的成绩的平均值，

则中位数为：80.

故选：B.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌。、小明在山坡

的坡脚A处测得宣传牌底部。的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已

知山坡A8的坡度i=l：V3,AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度.（测角器的高度忽略

不计，结果精确到0.1米.参考数据：V2«1.414,遍"732）

【解答】解：过8作叫LLAE,交EA的延长线于R作BG_LOE于G.

RtAABF中,i^lanZBAF=［二"

：.ZBAF^30°,

-1

；.BF=^AB=5,AF=5®

：.BG=AF+AE=543+15.

RtZXBGC中，NCBG=45°,

:.CG=BG=5痘+15.

RtAWE中，Z£)AE=60°,AE^15,

.,.Z)E=V3A£=15V3.

ACD=CG+GE-DE=543+15+5-15V3=20-10V3=2.75.

答：宣传牌CO高约2.7米.

18.(8分)如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a=6,6=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

(2)依题意有：ab-4X2=4X2,

将a=6,b=4,代入上式，得f=3,

解得X1=V5，X2=—V3(舍去).

即正方形的边长为百

X1

19.(8分)解方程：—+—=3.

V1

【解答】解：方程整理得：三一三=3,

去分母，得x-l=3x-6,

解得：x=

经检验，原方程的解为x/

20.（8分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.

如图所示，已知：。/是△ABC的边上的旁切圆，E、尸分别是切点，AOL/C于点D.

（1）试探究：D、E、尸三点是否同在一条直线上？证明你的结论.

DEmn

（2）设A3=AC=5,BC=6,如果△。血和△?!£；方的面积之比等于相，一=几，试作出分别以一、一

EFnm

为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程.

【解答】解：（1）结论：D、E、尸三点是同在一条直线上.（1分）

证明：分别延长A。、BC交于点K,

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK,AC=CK,

再由切线长定理得：AC+CE^AF,BE=BF,（3分）

KDAFBE

•*.KE=AF.—•—•—=1,

DAFBEK

由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D、E、尸三点共线，

即。、E、尸三点共线.（3分）

(2)VAB=AC=5,BC=6,

：.A.E、/三点共线，CE=BE=3,AE=4,

连接〃贝!)△ABEs△A//，AAD/^ACE/,A、F、I、。四点共圆.(2分)

,34

设O/的半径为r,则：一=一，r=6,

v8

：.AI=10,第=\，即4。=2圾ID=4V5,

・••由△AE7?s2\£）£7得：771=（―^）2=1=卓，DE=2小,—=-—,EF=­V^,「・

v874AE82EF25

n=1.（4分）

fmn_13

•.nm~6

**）mn.'

——•——=1

\nm

77272

因此，由韦达定理可知：分别以一、一为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x2-13尤+6=

nm

0.（3分）

21.（8分）如图，据热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底

部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120处求这栋高楼BC的高度.

【解答】解：过A作AD_LBC,垂足为Q.

在RtAABD中，VZBAD=30°,4。=120m,

F5

：.BD=AD'tan300=120x号=40旧机，

在RtZ\ACZ）中，VZCAD=60°,AD=l20m,

：.CD=AD'tan600=120x百=120何z,

：.BC=BD+CD=40y/3+120V3=160百加.

22.(10分)如图，抛物线>=--2"+c(0力0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、8,点A坐

标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小，并求出点K的坐标；

(3)点。是线段A8上的动点，过点。作QE〃AC,交BC于点E,连接CQ.当4005的面积最大时，

求点Q的坐标；

(4)若平行于x轴的动直线/与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点。的坐标为(2,0).问：

是否存在这样的直线/,使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

【解答】解:

(1):抛物线经过点C(0,4),A(4,0),

=

.16a—8a+4=O'解得d­

c=4

/.抛物线解析式为y=—+x+4；

9

(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1,-)

2

如图1,作点C关于x轴的对称点C'(0,-4),连接C'N交x轴于点K,则K点即为所求,

设直线CN的解析式为y=kx+b,把C‘、N点坐标代入可得k+Z?=1解得k=T,

(b=-4l/j=-4

直线C'N的解析式为y=¥%-4,

令y=0，解得x=^,

g

・••点K的坐标为(一，0)；

17

(3)设点。(m,0),过点E作轴于点G,如图2,

yA

图2

1

由-2%2+刀+4=0,得xi=-2,X2=4,

.•.点B的坐标为(-2,0),AB=6,BQ=m+2,

又,：QEJ/AC,

:.△BQEsABAC,

EGBQEGm+22m+4

,即一=——，解得EG=2p；

COBA463

1281

2

112??i+4--+-m+--

・•・SACQE=SACBQ-SAEBQ=^CO-EG)•BQ=共租+2)(4-3333

I)2+3.

当机=1时，SACQE有最大值3,此时0(1,0)；

(4)存在.在△0。尸中，

(i)若DO=DF,'：A(4,0),D(2,0),

:.AD=OD=DF=2.

又在Rt^AOC中，OA=OC=4,

：.ZOAC=45°.

：.ZDFA=ZOAC^45°.

：.ZADF^9Q°.

此时，点尸的坐标为(2,2).

由-尹2+乂+4=2,得犬1=1+4，X2—1—